一種新灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法講解

第25卷第5期2010年5月樂山師范學(xué)院學(xué)報(bào)JournalofLeshanTeachersCollegeVol.25,No.5May.2010一種新灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法陳瑤，魏勇(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002)摘要：本文在已有灰色關(guān)聯(lián)理論的基礎(chǔ)上，提出了一種新型關(guān)聯(lián)度，并通過實(shí)例的比較和分析說(shuō)明了該關(guān)聯(lián)度比概率相關(guān)系數(shù)和現(xiàn)有關(guān)聯(lián)度更具合理性。關(guān)鍵詞：灰色關(guān)聯(lián)度；相關(guān)性；接近性中圖分類號(hào)：N941.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-8666(2010)-05-0014-050引言灰色系統(tǒng)理論是最常用的不確定性系統(tǒng)的研究方法，包括灰建模和灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)分析等。其中，灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)分析不僅是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分之一，而且是灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測(cè)、決策的基石。從現(xiàn)有的灰色關(guān)聯(lián)分析的思想方法來(lái)看，屬于幾何處理的范疇，其實(shí)質(zhì)是對(duì)反映各因素變化特性的數(shù)據(jù)序列所進(jìn)行的幾何比較。正是由于所有的灰色關(guān)聯(lián)分析均是在灰色關(guān)聯(lián)度的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，灰色關(guān)聯(lián)度模型的精度和準(zhǔn)確性直接影響著關(guān)聯(lián)分析和應(yīng)用的結(jié)果。因此，對(duì)灰色關(guān)聯(lián)模型的研究成為灰色理論學(xué)術(shù)界目前廣泛關(guān)注的焦點(diǎn)，也是灰色系統(tǒng)研究領(lǐng)域中最活躍的分支。故研究關(guān)聯(lián)度模型及其算法具有十分重要的意義?；疑到y(tǒng)理論的創(chuàng)始人鄧聚龍教授基于討論模式之間的接近性提出了灰關(guān)聯(lián)公理及灰關(guān)聯(lián)度的計(jì)minmin{Ix()-x()1}+，maxmax{Ix()-x()1}0kik0kikikik［1-3］算式=r(x()，x())后，該關(guān)聯(lián)度在灰局勢(shì)決策、灰關(guān)0kikIx()-x()1+Zmaxmax{Ix()-x()1}0kik0kikik聯(lián)決策中發(fā)揮了重要的作用。然而，隨著人們將其用于討論指標(biāo)間的相關(guān)性時(shí)，卻不可避免地發(fā)現(xiàn)了一些缺陷，并針對(duì)這些缺陷作了一系列相應(yīng)的改進(jìn)［4-12］，如絕對(duì)關(guān)聯(lián)度、T型關(guān)聯(lián)度、斜率關(guān)聯(lián)度、改進(jìn)關(guān)聯(lián)度等等。令人遺憾的是，這些新關(guān)聯(lián)度在應(yīng)用于討論指標(biāo)間相關(guān)性時(shí)又重新暴露出新的缺陷［4-12］。依筆者之見，其主要原因是這些新關(guān)聯(lián)度仍未完全擺脫討論指標(biāo)間接近性的思路，凡在式中有|**-**|形式的關(guān)即使T型關(guān)聯(lián)度，其計(jì)算^y()△y()豐。聯(lián)度都有討論接近性的痕跡，尤其不能反映序列間的負(fù)相關(guān)性。0kik(I△ynsgn(△y()?△y()min0kik，^max(I△y(k)|，|△y(k))|0i式為Z(k)=其中y(k)=D=I△x()I，y()=i000kikD0n-1k=20，△y()△y()=00kik拜拜拜^拜收稿日期：2009-11-25基金項(xiàng)目：四川省教育廳基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：2006A077)作者簡(jiǎn)介：陳瑤(1978-)，女，四川仁壽人，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院講師，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。14nnllx，ZI△xZ￡Di=()1，ri=()具有能反映負(fù)相關(guān)性的優(yōu)勢(shì)，但仍然有不合理之處。在計(jì)算各ikikDin-1k=2n-1k=2)或y()中出現(xiàn)常數(shù)數(shù)列時(shí)，那△y()或^y()中就會(huì)出現(xiàn)全為零，按規(guī)定時(shí)段的關(guān)聯(lián)系數(shù)時(shí)，若當(dāng)y(0kik0kik此時(shí)T型關(guān)聯(lián)度為0，即不相關(guān)。然而常值序列與任何序列都應(yīng)完全相關(guān)，即關(guān)聯(lián)度應(yīng)為1。那么是否將0改為1就能解決問題呢？但事實(shí)并非如此，這樣修改又會(huì)導(dǎo)致新的問題。如{1，1，1，4，4，15，12}與{1，3，8，8，12，12，12}利用修正后的關(guān)聯(lián)度計(jì)算出的值為1，但實(shí)際上兩序列不完全相關(guān)，更談不上成比例或完全重合。由此看來(lái)，似乎只有概率統(tǒng)計(jì)中傳統(tǒng)的相關(guān)系數(shù)才能如實(shí)反映序列之間的相關(guān)性。從所有的修正后的關(guān)聯(lián)度來(lái)看，文獻(xiàn)［13］所給出的新關(guān)聯(lián)度在反映序列間相關(guān)性效果上與傳統(tǒng)的概率相關(guān)系數(shù)相當(dāng)，但有計(jì)算簡(jiǎn)便之優(yōu)勢(shì)，本文在其基礎(chǔ)上提出了一種新關(guān)聯(lián)度，該關(guān)聯(lián)度能更好地反映序列間的相關(guān)性。1一種新的關(guān)聯(lián)度1.1新的關(guān)聯(lián)度的提出為了闡述方便，首先引入下列記號(hào)：Xi為第i，xi(k)為第i個(gè)模式的第k個(gè)指標(biāo)。X1=(x()，x()，…，x()，…，x())11121k1nX2=(x()，x()，...，x()，...，x())21222k2n??，???，???，???，Xi=(x()，x()，...，x()，...，x())i112ikin??，???，???，???，Xm=(x()，x()，...，x()，...，x())m1m2mkmn固定i變動(dòng)k得行向量Xi=(x()，x()，...，x()，...，x())，固定k變動(dòng)i得列向量X(K)=(x()，i112ikin1kTx()，...，x()，...，x())={x()}i=12k3kmkikm定義1［13］：如果存在C=(c，c，c，...，c)及不全為0的a，p滿足aX(k1)邛X(k2)+c，則稱X(k1)與X(k2)同構(gòu)，或稱X(k1)、X(k2)完全相關(guān)。當(dāng)ap>0時(shí)，稱為完全正相關(guān)，當(dāng)ap<0時(shí)，稱為完全負(fù)相關(guān)。定義2：姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨1mm當(dāng)X()-Zx()=(0，0，...，0)或X()-Zx()=(0，0，...，0)時(shí)ik1ik1ik2ik2mi=1mi=1mmm11Z(x()-Zx())?(x()-Ex())ik1ik1ik2ik2i=1i=1i=1221E1ZZZ(x(k)-x(k))(x(k)-x(k))i1i1i2i2i=1i=1i=1i=1此關(guān)聯(lián)度實(shí)際上就是傳統(tǒng)的概率相關(guān)系數(shù)。r((k1),X(k2))=0X姨姨其他定義3[13]：姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨1當(dāng)X()-x()=(0，0，…，0)或X()-x()=(0，0，…，0)時(shí)ik11k1ik21k2E(x()-x())?(x()-x())ik11k1ik21k2i=1mr((k1)，X(k2))=1X定義4：姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨)Z)姨Z(x(k)-x(k)姨(x(k)-x(k)i=1i111i=1i21222其它1當(dāng)X()-xi-1(k1)=(0，0，...，0)或X()-xi-1(k2)=(0，0，...，0)時(shí)ik1ik2Z(x()-xi-1(k1))?(x()-xi-1(k2))ik1ik2i=2mr((k1)，X(k2))=2X)Z)姨Z(x(k)-x(k)姨(x(k)-x(k)i=2i1i-11i=2i2i-1222其它為了敘述方便，后面都分別簡(jiǎn)稱為概率相關(guān)系數(shù)、關(guān)聯(lián)度1和關(guān)聯(lián)度2。當(dāng)(rX(k1)，X(k2))>0時(shí)，稱X(k1)，X(k2)為正相關(guān)，15當(dāng)(rX(k1)，X(k2))<0時(shí)，稱X(k1)，X(k2)為負(fù)相關(guān)。以上關(guān)聯(lián)度均有下述性質(zhì)。性質(zhì)1：r((k1)，X(k2))e[-1，1]。r((k1)，X(k2))=±1圳X(k1)，X(k2)完全相關(guān)，且當(dāng)aP>0時(shí)，r(2X2X2X(k1)，X(k2))=±1，當(dāng)邱<0時(shí)，r(2X(k1)，X(k2))=-1。即r(2X(k1)，X(k2))=±1圳X(k1)，X(k2)為完全正相關(guān)，r(2X(k1)，X(k2))=-1圳X(k1)，X(k2)為完全負(fù)相關(guān)。證明：“圮”若X(k1)，X(k2)完全相關(guān)，則蝸C=(c，c，…，c)及不全為零的a，P滿足aX(k1)邛X(k2)+c當(dāng)慚0時(shí)，有：X(k1)邛X(k2)+pc有：r(2X(k1)，X(k2))=r(20X(k2)+。c，X(k2))Zm(px(i=i=1k)2+c-pxi-1(k2)-c?(x(ik)2-xi-1(k2))姨(ax(ik)2+a-ax2i-1(k2)-a?姨(x(ik)2-xi-1(k2))Zm=i=1(px(ik)2-pxi-1(k2))?(x(ik)2-xi-1(k2))姨(ax(ik)2-axi-1(k)2)?姨(x(ik)2-xi-1(k)2)PEm=i=1(x(ik)2-xi-1(k2))?(x(ik)2-xi-1(k2))IP姨(x(ik)2-xi-1(k2))?姨(x(ik)2-xi-1(k2))P==1ap>0姨-1aP<0當(dāng)a=0時(shí)X(ik)2=-c則由定義可得r(2X(k1),X(k2))=1“坩”當(dāng)r(2X(k1),X(k2))=±1時(shí)，m有：r((ki=1(x(ik)1-xi-1(k1))?(x(ik)2-xi-1(k2))1),X(k2))=E2X姨(x()-x=±1ik1i-1(k1))?姨(x(ik)2-xi-1(k2))即有：Emi=1(x(ik)1-xi-1(k1))?(x(ik)2-xi-1(k2))=±姨(乂(ik)1-xi-1(k1))?姨(x(ik)2-xi-1(k2))則由柯西不等式等式成立的條件有：蝸唯一的t滿足x(ik)1-xi-1(k1)=t(x(ik)2-xi-1(k2))^即x(ik)1=tx(ik)2-txi-1(k2)+xi-1(k1)有：x()=tx()-txi-1ik1ik2i-1(k2)+Ej=2(x(jk)1-xj-1(k1))+x(ik)1x(iik)1=tEj=2(x(jk)2-txj-1(k2))=tx(ik)2-tx(1k)2)+x(1k)1令c=x(1k)1-tx(1k)2,整理得：X(ik)1=tX(ik)2+c所以X(k1),X(k2)完全相關(guān)。性質(zhì)2：(對(duì)稱性)r(2X(k1),X(k2))=r(2X(k2),X(k1))證明：直接由定義可以得出顯然有r(2X(k1),X(k2))=r(2X(k2),X(k1))成立16i=1,2,...,m性質(zhì)3：(接近性)存在C=(c,c,...,c)及不全為0的a,P滿足aX(k1)一PX(k0)+C圳Ir((k1),X2X(k0))|一1證明：顯然。概率相關(guān)系數(shù)、關(guān)聯(lián)度1同理可證。1.2三種新關(guān)聯(lián)度與鄧氏關(guān)聯(lián)度的比較設(shè)有原始序列x1=（96，97，95，98，94），x2=（97，96，98，95，99），，x3=（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10），x4=（90，91，92，93，94，95，96,97,98,99，100）。對(duì)于以上四個(gè)序列，利用鄧氏關(guān)聯(lián)度計(jì)算可得r鄧（x1，x2）=0.5333，r鄧（x3，x4）=0.58，利用概率關(guān)聯(lián)系數(shù)、關(guān)聯(lián)度1和關(guān)聯(lián)度2計(jì)算出的（rx1，x2）均為-1，（rx3，x4）均為1。而從實(shí)際情況來(lái)看，序列x1與序列x2增減趨勢(shì)相反，變化幅度相同，且不難由定義驗(yàn)證是完全負(fù)相關(guān)的。序列x3與序列x4增減趨勢(shì)相同，變化幅度相同，同樣不難由定義驗(yàn)證是完全正相關(guān)的。由此說(shuō)明這3個(gè)關(guān)聯(lián)度的計(jì)算結(jié)果與事實(shí)吻合。再以原始序列y0=（96，97，98，97，95，94，95，95，97，98），y1=（98，95，95，97，97，96，97，96，99，97）為例，通過計(jì)算可得：r鄧（y0，y1）=0.7406，r（y1）=-0.02539，r（y1）=-0.127，r（y1）=0.04963說(shuō)明這兩個(gè)1y0，2y0，3y0，序列的相關(guān)性很小，而且從實(shí)際情況來(lái)看，幾乎不相關(guān)。但采用鄧氏關(guān)聯(lián)度計(jì)算出的關(guān)聯(lián)度卻比較大，因?yàn)樗鼘?shí)際上反映的是序列間的接近程度，從而結(jié)果與事實(shí)不符。通過以上實(shí)例說(shuō)明，概率相關(guān)系數(shù)、關(guān)聯(lián)度1和關(guān)聯(lián)度2都能較準(zhǔn)確地反映序列間的相關(guān)性，尤其當(dāng)兩序列比較接近，但相關(guān)性不大時(shí)，鄧氏能準(zhǔn)確地反映序列間的負(fù)相關(guān)。并且從第2個(gè)例子可以看出，關(guān)聯(lián)度計(jì)算出的值卻較大，從而得出鄧氏關(guān)聯(lián)度主要是考查序列間的接近性，而不是考察其相關(guān)性。因此，在灰色系統(tǒng)分析中對(duì)各指標(biāo)序列間進(jìn)行相關(guān)性分析時(shí)，應(yīng)注意選取適當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián)度，使得計(jì)算結(jié)果更符合邏輯。1.3三種新關(guān)聯(lián)度之間的相互比較設(shè)原始序列y2=（95，97，94，95，94），y3=（98，97，100，96，94），y4=（98，97，99，96，95）（見圖1），考察y2與y3，y4的關(guān)聯(lián)度。計(jì)算結(jié)果見表1。表14種關(guān)聯(lián)度的計(jì)算結(jié)果比較概率相關(guān)系數(shù)關(guān)聯(lián)度1（ry2，y3）（ry2，y4）0000關(guān)聯(lián)度2-0.612826-0.666667鄧氏關(guān)聯(lián)度0.48860110.5268892圖13序列的示意圖由上圖不難看出，增減趨勢(shì)相反，減趨勢(shì)占主導(dǎo)地位，序列3、序列4均與序列2是負(fù)相關(guān)的，只有關(guān)聯(lián)度2如實(shí)的反映了三序列的負(fù)相關(guān)，且關(guān)聯(lián)度的值較大。因此關(guān)聯(lián)度2不僅比鄧氏關(guān)聯(lián)度合理，也比概率相關(guān)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度1更合理、有效的反映了序列間的相關(guān)性表2農(nóng)村主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)與相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)的均值像[5]項(xiàng)目代號(hào)NY1NY2NY3NX1NX2NX3NX4NX5NX6河南0.48830.53880.61480.49460.71760.79030.62740.53610.6663湖北0.64230.79180.94010.60190.91931.56450.70970.93790.8984山東0.68460.7510.79040.7420.71180.90320.83140.7840.925江蘇1.14561.00971.09981.18591.10661.1291.01051.0981.0982上海2.06211.90871.55491.97561.54470.6291.8211.6441.4121平均每個(gè)農(nóng)村勞動(dòng)力創(chuàng)造的農(nóng)村社會(huì)總產(chǎn)值平均每個(gè)農(nóng)業(yè)勞動(dòng)力創(chuàng)造的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值平均每畝土地動(dòng)力產(chǎn)出的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值農(nóng)村中非農(nóng)業(yè)勞動(dòng)力的比例牧副漁業(yè)占農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的比重平均每萬(wàn)名農(nóng)業(yè)勞動(dòng)者中的農(nóng)業(yè)技術(shù)人員數(shù)平均每畝耕地用有的農(nóng)機(jī)總動(dòng)力平均每畝耕地化肥施用量灌溉面積所占的比重172新關(guān)聯(lián)度在農(nóng)村經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用對(duì)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)分析，重點(diǎn)考慮平均每個(gè)農(nóng)村勞動(dòng)力創(chuàng)造的農(nóng)村社會(huì)總產(chǎn)值、平均每個(gè)農(nóng)業(yè)勞動(dòng)力創(chuàng)造的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、平均每畝土地動(dòng)力產(chǎn)出的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值三個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。各具體指標(biāo)相應(yīng)的均值像如表2所示。利用新關(guān)聯(lián)度分別算出NYi與NXj的關(guān)聯(lián)度rij,i=1,2,3；j=1,2,3,4,5,6,最后得到關(guān)聯(lián)矩陣。！r11"A="r21"#r31r12r22r32r13r23r33r14r24r34r15r25r35r16$%r26%%r36&!0.992270.97051-0.218930.963440.884540.91023$"%="0.967310.87179-0.149960.962310.919120.92672%"%70.842730.969630.254360.782050.997130.9537#&從這個(gè)關(guān)聯(lián)矩陣的數(shù)值來(lái)看，矩陣的第三列都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他列，甚至出現(xiàn)負(fù)值，表明平均每萬(wàn)名農(nóng)業(yè)勞動(dòng)者中的農(nóng)業(yè)技術(shù)人員數(shù)與平均每個(gè)農(nóng)村勞動(dòng)力創(chuàng)造的農(nóng)村社會(huì)總產(chǎn)值、平均每個(gè)農(nóng)業(yè)勞動(dòng)力創(chuàng)造的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值以及平均每畝土地產(chǎn)出的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的關(guān)聯(lián)度均較小，說(shuō)明目前農(nóng)業(yè)技術(shù)人員的比例有效地發(fā)揮.雖然人們對(duì)對(duì)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)的影響最小，我國(guó)農(nóng)業(yè)科技人員在農(nóng)業(yè)增產(chǎn)中的作用尚未得到充分、科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力有一定程度的認(rèn)識(shí)，但對(duì)依靠科技投入擴(kuò)大農(nóng)業(yè)收入的積極性并不高。因此，應(yīng)大量、有效地推廣穩(wěn)產(chǎn)高產(chǎn)的農(nóng)業(yè)配套技術(shù)，深化農(nóng)村改革，依靠科學(xué)技術(shù)來(lái)不斷推動(dòng)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。3結(jié)論與其他關(guān)聯(lián)度相比，本文所提出的新關(guān)聯(lián)度與概率相關(guān)系數(shù)以及關(guān)聯(lián)度1即文獻(xiàn)［13］中的關(guān)聯(lián)度均能充分反映序列間的完全相關(guān)性，特別是在負(fù)相關(guān)性方面。但該新關(guān)聯(lián)度通過后項(xiàng)與前項(xiàng)之差使得數(shù)據(jù)變小，從而比它關(guān)聯(lián)度的計(jì)算量小，尤其是序列具有單調(diào)性時(shí)，效果更明顯。此外，對(duì)文中幾個(gè)具體實(shí)例文獻(xiàn)［13］采用不同關(guān)聯(lián)度后的計(jì)算結(jié)果比較表