高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)暑假作業(yè)15三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)暑假作業(yè)作業(yè)15三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（2）參考時(shí)量：60分鐘完成時(shí)間：月日一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的圖象(部分)如圖，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))(x∈R)B．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πx＋\f(π,6)))(x∈R)C．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))(x∈R)D．f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πx＋\f(π,3)))(x∈R)解析：由三角函數(shù)圖象可得A＝2，T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－\f(1,3)))＝2＝eq\f(2π,ω)，則ω＝π，將點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))代入f(x)＝2sin(πx＋φ)可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1，解得φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6))).答案：A2．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象()A．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對(duì)稱B．關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))對(duì)稱D．關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱解析：當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，y＝sinπ＝0，當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對(duì)稱．答案：A3．若函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)·cosx,0≤x<eq\f(π,2)，則f(x)的最大值為()A．1B．2C.eq\r(3)＋1\r(3)＋2解析：f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，∵0≤x<eq\f(π,2)，∴f(x)max＝2.答案：B4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在區(qū)間上單調(diào)遞增5．已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)的部分圖象如圖所示，則()A．ω＝1，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝1，φ＝－eq\f(π,6)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)解析：由eq\f(π,2ω)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)解得ω＝2，又當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，ωx＋φ＝eq\f(π,2)，解得φ＝－eq\f(π,6).答案：D6.已知f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，則φ的值可以是()\f(π,2)\f(π,3)\f(π,4)\f(π,6)解析：f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，y＝f(x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)＋φ))圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，即f(x＋φ)為偶函數(shù)．∴eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，φ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝eq\f(π,6).答案：D二、填空題7．函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是________．解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx0≤x＜π，,－sinxπ≤x≤2π.))在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)與y＝k的圖象可知1＜k＜3.答案：(1,3)8．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的圖象上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2eq\r(2)，且過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，則函數(shù)f(x)＝________.解析：據(jù)已知兩個(gè)相鄰最高及最低點(diǎn)距離為2eq\r(2)，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))2＋1＋12)＝2eq\r(2)，解得T＝4，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ))，又函數(shù)圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－eq\f(1,2)，又－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).答案：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6)))9．對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≥cosx,cosx，sinx<cosx))，給出下列三個(gè)命題：(1)該函數(shù)的圖象關(guān)于x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)對(duì)稱；(2)當(dāng)且僅當(dāng)x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；(3)該函數(shù)是以π為最小正周期的函數(shù)．上述命題中正確的是________．解析：由函數(shù)f(x)的圖象知，在x＝0處，函數(shù)也取得最大值，∴(2)錯(cuò)；函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，∴(3)錯(cuò)；由題意可知，(1)正確．答案：(1)10、函數(shù)的最大值為_________.三、解答題11．(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解：(1)令2×eq\f(π,8)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ＋eq\f(π,4)，又－π＜φ＜0，則－eq\f(5,4)＜k＜－eq\f(1,4)，∴k＝－1，則φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)得：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(3π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，可解得eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(5π,8)＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋kπ，\f(5π,8)＋kπ))，k∈Z.12．(本小題滿分12分)如圖，函數(shù)y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤eq\f(π,2))的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,1)．(1)求φ的值；(2)設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求eq\o(PM,\s\up8(→))與eq\o(PN,\s\up8(→))的夾角的余弦．解：(1)由已知：2sinφ＝1，即sinφ＝eq\f(1,2)，又0≤φ≤eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，因此y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6))).(2)令2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))＝0，則πx＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，即x＝k－eq\f(1,6)，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(5,6)，則Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，0))；當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－eq\f(1,6)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，0)).又Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，∴eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，eq\o(PN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).cos〈eq\o(PM,\s\up8(→))，eq\o(PN,\s\up8(→))〉＝＝eq\f(15,17).∴eq\o(PM,\s\up8(→))與eq\o(PN,\s\up8(→))的夾角的余弦為eq\f(15,17).13．(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象按向量d平移，使平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長度最小的d.解：∵a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)＝sin2x－sin