數(shù)值分析課程設計new

數(shù)值分析上機實驗報告物理科學與技術學院電子科學與技術專業(yè)楊倩200531510031輔修數(shù)值分析上機實驗報告

武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)值分析實驗報告學院：物理科學與技術學院專業(yè)：電子科學與技術專業(yè)實驗名稱使用matlab編寫數(shù)值計算程序指導教師吳老師姓名楊倩年級2005學號200531510031輔修成績實驗一、用Jacobi迭代法計算迭代次數(shù)一、實驗目的：１、學習使用matlab編寫數(shù)值計算程序。２、了解Jacobi迭代法的迭代原理和編程方法。３、根據(jù)Jacobi迭代法的迭代原理編寫matlab程序，并運行的出結果。二、實驗原理：設n階非奇異矩陣Ａ的主對角元全不為０，記Ｄ＝diag（）是非奇異對角陣，做Ａ的一個分裂：。記。迭代過程式為。這種迭代方法稱為Jacobi迭代法。其迭代矩陣記為：右端向量記為：=-記，Jacobi迭代過程為：對照等號兩邊，得到計算(i=1,2,…,n)的公式為，或，i=1,2,…,n三、實驗內容與步驟：１、實驗內容：依照實驗原理編寫Jacobi迭代法的程序。２、實驗步驟：首先，在電腦上安裝matlab，然后，啟動matlab，新建一個M文件。實驗程序如下：程序代碼程序代碼說明function[x,k]=jacobi(,b);x=zeros(size(b));D=diag(diag());B=inv(D)*(D-);g=inv(D)*b;tol=1e-6;err=2;k=0;while(err>tol)x1=B*x+g;err=max(abs(x1-x));x=x1;k=k+1;end％usethefunction。％初始化x0。％D為的主對角元上的值。％根據(jù)公式。％最小精度設為tol。％從k=0開始迭代。％先要判斷是否收斂，如果不收斂，則提示出錯。如果收斂，則根據(jù)x1=B*x+g，計算出第一步迭代的值。％把x的值放在x1中，k加一繼續(xù)迭代，直到達到設定的精度為止。四、實驗數(shù)據(jù)及結果：１、實驗送的初值為：=[-210;1-21;01-2];b=[-20-3]'；２、實驗結果為：X=2.25002.50002.7500K=43五、實驗分析：１、在本次實驗中所輸?shù)某踔邓鶎木仃嚍槭諗康?，所以會產(chǎn)生結果，如果當輸入一個Jacobi矩陣為發(fā)散的初值時，則matlab會提示出錯。同時也可能會導致死機。２、在本次實驗中，很容易把迭代矩陣中各分量的代碼的寫錯，因為編程技術還不夠熟練，所以在使用數(shù)學指令上還不夠全面，因此常翻閱書籍找指令代碼，這在以后的實驗中是應該加強訓練的。３、通過本次實驗也增強了我對matlab這個軟件的了解。實驗二、用最小二乘法計算一、實驗目的：１、學習使用matlab編寫數(shù)值計算程序。２、了解最小二乘法的擬合原理和編程方法。３、根據(jù)最小二乘法的擬合原理編寫matlab程序，并運行的出結果。二、實驗原理：設A是階矩陣，稱線性方程組：(1)為超定方程組，這里。如果Ａ的秩r(A)=n，稱Ａ為列滿秩矩陣。記殘向量ｒ=b-Ax，考慮確定一個向量ｘ，使達到最小的問題稱為線性最小二乘問題，這樣的ｘ稱為方程組（１）的最小二乘解。線性最小二乘問題與歐式空間的正交性等有密切聯(lián)系。設超定方程組（１）的系數(shù)矩陣A是列滿秩矩陣，由定理（當m>n時，超定方程組（１）的最小二乘解總是存在。最小二乘解惟一的充分必要條件是）知，方程組（１）的最小二乘解總是存在而且惟一的。設x是最小二乘解，。由定理（當m>n時，超定方程組（１）的最小二乘解總是存在。最小二乘解惟一的充分必要條件是），殘向量，因此，（２）也就是說。X是方程組（１）的最小二乘解等價于是方程組（２）的解。方程組（２）稱為最小二乘問題的正則方程組或法方程組，由于是列滿秩的，因此，方程組（２）是正定方程組。用正則方程組求最小二乘解的計算步驟為如下：①形成；②計算的分解，記；③求解下三角方程組；④求解上三角方程組。三、實驗內容與步驟：１、實驗內容：依照實驗原理編寫最小二乘法的程序。２、實驗步驟：首先，在電腦上安裝matlab，然后，啟動matlab，新建一個M文件。實驗程序如下：程序代碼程序代碼說明functionc=ercheng(x,y,m)fori=1:m+1a(i,:)=x.^(i-1);end=a*a';b=a*y';c=inv()*b;x0=-100:100;y0=0;fori=1:m+1y0=y0+c(i).*x0.^(i-1);endplot(x,y,'+',x0,y0,'k:')％usethefunction。％定義范圍為１到ｍ＋１。％分別表示出Ａ和b,c的表示式。％x0的范圍是從-100到100。％y0的范圍從0開始，并根據(jù)輸入的數(shù)值大小決定上限。％計算縱坐標的大小。％畫圖，表示輸入的點和擬合的曲線。四、實驗數(shù)據(jù)及結果：１、實驗送的初值為：x=[-100-75-50-250255075100];y=[4.066.789.4916.2740.6797.62146.43151.85162.7];m=4;實驗結果為：＝49.2061＝1.4692＝0.0104＝-0.0001＝-0.0000擬合波形為：２、實驗送的初值為：x=[-100-75-50-250255075100];y=[3.8557.55525.55436.24545.54765.55898.587129.548256.3525];m=4;實驗結果為：＝51.2424＝0.4511＝-0.0007＝0.0001＝0.0000擬合波形為：３、實驗送的初值為：x=[-100-75-50-250255075100];y=[25.665.475.5850.6317.5847.5712.5535.2512.35];m=4;實驗結果為：＝32.8234＝-0.5284＝-0.0087＝0.0000＝-0.0000擬合波形為：五、實驗分析：１、在本次實驗中所輸?shù)某踔担cｙ對應的不太好時，就會出現(xiàn)像初值３那樣的，擬合點和擬合曲線之間有很大的差距，但基本上擬合點還是均勻分布在曲線周圍的，初值１和初值２的擬合曲線和擬合點均對應的很好?；驹谇€上，或是曲線附近很小的范圍內。２、這種算法只適用于擬合函數(shù)是多項式的情形。用正則方程組求最小二乘解得方法，有兩個注意的問題：①形成正則方程組時，計算出來的可能不是正定的，也可能是奇異的，以致后面不能用分解來求解正則方程組。比如說：采用六位有限數(shù)位計算，得，這時是奇異的。②矩陣Ａ的狀態(tài)數(shù)與的狀態(tài)數(shù)密切相關，對列滿秩的階矩陣Ａ，有，因此，用正則方程組求最小二乘解時，會增加誤差的敏感性實驗三、復化Simpson求積公式一、實驗目的：１、學習使用matlab編寫數(shù)值計算程序２、了解復化Simpson求積公式的原理和編程方法３、根據(jù)復化Simpson求積公式的原理編寫matlab程序，并運行的出結果。二、實驗原理：設積分區(qū)間等分，，，j=0，1，…，，，。在各長度為的子區(qū)間（j=1，2，…，n）上用復化Simpson求積公式之值代替在這些子區(qū)間上的值，得：。及上式右端為,有：。上式稱為等距情形的復化Simpson求積公式。三、實驗內容與步驟：１、實驗內容：依照實驗原理編寫復化Simpson求積公式的程序。２、實驗步驟：首先，在電腦上安裝matlab，然后，啟動matlab，新建一個M文件實驗程序如下：程序代碼程序代碼說明Function[snf]=Simpson(a,b,n)symsx;h=(b-a)/(2*n);S1=0.0;S2=0.0;fori=1:(n-1)x=a+2*i*h;S1=S1+fc(x);endfori=1:nx=a+(2*i-1)*h;S2=S2+fc(x);endx=a;fa=fc(x);x=b;fb=fc(x);snf=h*(fa+4*S2+2*S1+fb)/3;nhendfunctiony=fc(x)y=exp(x);end％usethefunction。％計算出h的大小。％給S1和S2賦初值。％計算下一個點的x的大小。％計算S1的函數(shù)值。％計算下一個點的x的大小。％計算S2的函數(shù)值。％給ｘ賦值a。％求出當x=a時的f(x)的函數(shù)值。％給ｘ賦值b。％求出當x=時的f(x)的函數(shù)值。％定義最終求出的近似值的大小，并輸出其值。％輸出n,h的值。％定義函數(shù)，并把f(x)函數(shù)的表達式定義為exp(x)。四、實驗數(shù)據(jù)及結果：１、實驗送的初值為：a=4；b=0；n=4；２、實驗結果為：n=4h=-0.5000snf=-53.6162五、實驗分析：誤差估計及收斂性：誤差估計及收斂性的討論和復化梯形求積公式的討論是類同的。設，在j=1個子區(qū)間（j=1，2，…，n）上，誤差估計式：，，，將n個子區(qū)間的誤差相加得：。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性質可知在上至少存在一點，使，而,故，（3）公式，與（3）分別為復化梯形、復化Simpson求積公式，的誤差估計。同樣，當討論的是等距離求積公式時，分劃的最大子區(qū)間的長度為，因此只要，當也即時。故。若只要在上可積，記，則，，這三個累加式都是積分和且極限都為。故（可積），即復化Simpson求積值序列收斂于積分值。實驗總結和感悟：通過使用Matlab編寫數(shù)值計算的程序，讓我加深了對數(shù)學編程軟件的使用，同時也使我對各種算法的原理有了更深的一層理解。這是我第一次使用數(shù)學編程工具，雖然我們學院在本學期同時也開設了關于Matlab編程的課程，但我們主要學習使用其中的Simlink軟件的操作，因此，我對Simulink的使用很熟悉，但在編寫數(shù)值計算的程序時還是有點吃力。不過，我在兩學期前就已經(jīng)跟著2005級的數(shù)學類的同學學習過數(shù)值分析這門課，因此，對各種算法還是有一定的了解，所以，我在課下從網(wǎng)絡上尋找了一些高手們編寫的程序，仔細理解他們的編寫思路