（通用版）2023屆高考數(shù)學(xué)考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練第一部分知識(shí)方法篇專題8概率與統(tǒng)計(jì)第34練概率的兩類模型文

PAGEPAGE11第34練概率的兩類模型[題型分析·高考展望]概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考知識(shí)點(diǎn)．在高考中，概率局部的命題主要有三個(gè)方面的特點(diǎn)：一是以古典概型的概率公式為考查對(duì)象，二是以幾何概型的概率公式為考查對(duì)象，三是古典概型與其他知識(shí)相交匯，題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．體驗(yàn)高考1．(2022·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，那么稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，那么這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)答案C解析從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).應(yīng)選C.2．(2022·山東)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，那么事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案A解析由－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，∴0≤x≤eq\f(3,2).∴由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).3．(2022·福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的圖象上．假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)答案B解析由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S四邊形ABCD＝6，S陰＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).4．(2022·課標(biāo)全國(guó)乙)某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，那么他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案B解析如下圖，畫(huà)出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2)，應(yīng)選B.5．(2022·天津)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，那么甲不輸?shù)母怕蕿?)A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)答案A解析事件“甲不輸〞包含“和棋〞和“甲獲勝〞這兩個(gè)互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).高考必會(huì)題型題型一古典概型問(wèn)題例1(1)(2022·課標(biāo)全國(guó)丙)小敏翻開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，那么小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)答案C解析第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，所以總的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為eq\f(1,15)，應(yīng)選C.(2)某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生，其中4位男生，2位女生，現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組，求以下事件的概率：①選取的2位學(xué)生都是男生；②選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生．解①設(shè)4位男生的編號(hào)分別為1,2,3,4,2位女生的編號(hào)分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種．從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生，所取的2位全是男生的方法數(shù)，即從4位男生中任取2個(gè)的方法數(shù)，共有6種，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以選取的2位學(xué)生全是男生的概率為P1＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).②從6位學(xué)生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8種．所以選取的2位學(xué)生一位是男生，另一位是女生的概率為P2＝eq\f(8,15).點(diǎn)評(píng)求解古典概型問(wèn)題的三個(gè)步驟(1)判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是不是等可能的，設(shè)出所求事件A.(2)分別計(jì)算根本領(lǐng)件的總數(shù)n和所求事件A所包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率．假設(shè)直接求解比擬困難，那么可以利用間接的方法，如逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率．變式訓(xùn)練1(2022·北京)從甲，乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，那么甲被選中的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)答案B解析從甲，乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2人共有10種情況，甲被選中有4種情況，那么甲被選中的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).題型二幾何概型問(wèn)題例2(1)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，那么此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)(2)在區(qū)間[0，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，那么使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案(1)D(2)B解析(1)如下圖，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影局部表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影局部的面積為4－π.因此滿足條件的概率是eq\f(4－π,4)，所以選D.(2)所求概率為幾何概型，測(cè)度為面積，那么Δ＝4a2＋4b2－4π≥0?a2＋b2≥π得所求概率為1－eq\f(\f(1,4)π2,π2)＝eq\f(3,4).點(diǎn)評(píng)(1)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的根本結(jié)果，每個(gè)根本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示，而所有根本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題即可利用幾何概型來(lái)解決．(2)幾何概型的概率求解，一般要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積或體積等幾何問(wèn)題．在轉(zhuǎn)化中，面積問(wèn)題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí)，也就是用二元一次不等式(或其他簡(jiǎn)單不等式)組表示區(qū)域．幾何概型的試驗(yàn)中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)．變式訓(xùn)練2(1)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，那么黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)(2)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到點(diǎn)答案(1)D(2)1－eq\f(π,12)解析(1)由eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，可得eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，由向量加法的幾何意義可知點(diǎn)P在△ABC的中線AD上，且eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PE,\s\up6(→))，如下圖，由共線向量定理知eq\o(PE,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\o(PA,\s\up6(→))，所以P為AD的中點(diǎn)，所以△PBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，根據(jù)幾何概型可知黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，應(yīng)選D.(2)V正＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，eq\f(V半球,V正)＝eq\f(2π,8×3)＝eq\f(π,12)，故點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為1－eq\f(π,12).高考題型精練1．從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，那么取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B解析從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)共有6(種)不同取法，其中取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的有2種不同取法，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，選B.2．?dāng)S兩顆均勻的骰子，那么點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于()A.eq\f(1,18) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)答案B解析擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)有以下情況：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，其中點(diǎn)數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).3．(2022·課標(biāo)全國(guó)甲)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．假設(shè)一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，那么至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)答案B解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，應(yīng)選B.4．在區(qū)間[0,10]內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的平方和在區(qū)間[0,10]內(nèi)的概率為()A.eq\f(π,40) B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(1,10) D.eq\f(π,4)答案A解析設(shè)這兩個(gè)數(shù)為x，y，那么0≤x≤10,0≤y≤10，構(gòu)成一個(gè)正方形，面積為102，這兩個(gè)數(shù)的平方和x2＋y2∈[0,10]，在正方形中形成的陰影面積為eq\f(10π,4)，因此所求概率為eq\f(\f(10π,4),102)＝eq\f(π,40)，選A.5．如圖，點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y＝1上，點(diǎn)C(3,4)，假設(shè)AB≤eq\r(10)，那么△ABC的面積大于5的概率是()A.eq\f(19,24) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,24) D.eq\f(5,27)答案C解析設(shè)B(x,1)，由AB≤eq\r(10)，知eq\r(x2＋1)≤eq\r(10)，解得x∈[－3,3]．根據(jù)題意知點(diǎn)D(eq\f(3,4)，1)，假設(shè)△ABC的面積小于或等于5，那么eq\f(1,2)×DB×4≤5，即DB≤eq\f(5,2)，此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x∈[－eq\f(7,4)，eq\f(13,4)]，又x∈[－3,3]，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x∈[－eq\f(7,4)，3]，所以△ABC的面積小于或等于5的概率為P＝eq\f(3－－\f(7,4),6)＝eq\f(19,24)，所以△ABC的面積大于5的概率是1－P＝eq\f(5,24).6．一只螞蟻在三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形的內(nèi)部爬行，某時(shí)間該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率為()A．6－eq\f(π,2) B．6－eq\f(π,12)C．1－eq\f(π,12) D．2－eq\f(π,12)答案C解析因?yàn)槿切蔚拿娣e為eq\f(1,2)×3×4＝6，離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過(guò)1的面積為eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，所以某時(shí)間該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率P＝eq\f(6－\f(π,2),6)＝1－eq\f(π,12)，應(yīng)選C.7．(2022·四川)從2、3、8、9任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，那么logab為整數(shù)的概率是________．答案eq\f(1,6)解析從2、3、8、9任取兩個(gè)數(shù)分別為記為(a，b)，那么有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況，所以P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).8．假設(shè)袋中5個(gè)外形相同的小球，其中紅球2個(gè)，白球3個(gè)，現(xiàn)從中任取2個(gè)球，那么取出的球中有紅球的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(7,10)解析5個(gè)外形相同的小球，記其中的2個(gè)紅球?yàn)?,2,3個(gè)白球?yàn)閍，b，c.從中任取2個(gè)球，共有10種可能的結(jié)果，其中沒(méi)有紅球有3種可能的結(jié)果．所以有紅球的概率為1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).9．在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，那么方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是________．答案eq\f(1,2)解析∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影局部的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，∴所求的概率為P＝eq\f(1,2).10．連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m〞為事件A，那么P(A)最大時(shí)，m＝________.答案7解析1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8…依次列出m的可能的值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多．11．甲、乙、丙三人組成一組，參加一個(gè)闖關(guān)游戲團(tuán)體賽，三人各自獨(dú)立闖關(guān)，其中甲闖關(guān)成功的概率為eq\f(1,3)，甲、乙都闖關(guān)成功的概率為eq\f(1,6)，乙、丙闖關(guān)成功的概率為eq\f(1,5)，每人闖關(guān)成功得2分，三人得分之和記為小組團(tuán)體總分．(1)求乙、丙各自闖關(guān)成功的概率；(2)求團(tuán)體總分為4分的概率；(3)假設(shè)團(tuán)體總分不小于4分，那么小組可參加復(fù)賽，求該小組可參加復(fù)賽的概率．解記甲、乙、丙三人各自獨(dú)立闖關(guān)成功的事件依次為A、B、C，那么由條件得P(A)＝eq\f(1,3)，P(A·B)＝eq\f(1,6)，P(B·C)＝eq\f(1,5).(1)∵P(A·B)＝P(A)·P(B)，∴P(B)＝eq\f(1,2).同理，P(C)＝eq\f(2,5).(2)∵每人闖關(guān)成功記2分，要使團(tuán)體總分為4分，那么需要兩人闖關(guān)成功，∴兩人都闖關(guān)成功的概率P1＝eq\f(2,3)·eq\f(1,2)·eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·eq\f(3,5)＝eq\f(3,10)，即團(tuán)體總分為4分的概率P1＝eq\f(3,