北師大版選擇性必修第一冊(cè)6.2第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量分布列求法學(xué)案

第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量分布列求法用列舉法求分布列[例1]擲兩枚均勻的骰子,設(shè)擲得點(diǎn)數(shù)之和為隨機(jī)變量ξ:(1)求ξ的分布列;(2)求P(3<ξ<7).解:(1)用數(shù)軸表示出擲骰子的所有結(jié)果如圖所示:所以ξ的取值為2,3,4,…,10,11,12.P(ξ=2)=P(ξ=12)=136P(ξ=3)=P(ξ=11)=236=1P(ξ=4)=P(ξ=10)=336=1P(ξ=5)=P(ξ=9)=436=1P(ξ=6)=P(ξ=8)=536P(ξ=7)=636=1所以ξ的分布列為ξ23456789101112P11115151111(2)P(3<ξ<7)=P(ξ=4)+P(ξ=5)+P(ξ=6)=112+19+536=12確定隨機(jī)變量的可能取值和每一個(gè)可能取值的概率是求分布列的關(guān)鍵,求概率經(jīng)常采用古典概型中的列舉法,列舉法經(jīng)常利用的方法有樹(shù)狀圖法、列表法、借助數(shù)軸等,不管采用什么方法,都要合理分類和分步,注意有序和無(wú)序.[針對(duì)訓(xùn)練]將一枚均勻的骰子連續(xù)擲兩次,求兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)X的分布列.解:將一枚均勻的骰子連續(xù)擲兩次共出現(xiàn)36種等可能基本事件,其最大點(diǎn)數(shù)X的可能取值為1,2,3,4,5,6.設(shè)(x,y)表示第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為x,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為y.當(dāng)X=1時(shí),包含一個(gè)基本事件(1,1),所以P(X=1)=136當(dāng)X=2時(shí),包含三個(gè)基本事件(1,2),(2,1),(2,2),所以P(X=2)=336=1同理可求P(X=3)=536,P(X=4)=7P(X=5)=14,P(X=6)=11所以X的分布列為X123456P1157111利用排列組合求分布列[例2](2021·河北石家莊期中)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽,各射擊4局,每局射擊10次,射擊命中目標(biāo)得1分,未命中目標(biāo)得0分,兩人4局的得分情況如表.甲6699乙79xy(1)若從甲的4局比賽中,隨機(jī)選取2局,求這2局的得分恰好相等的概率;(2)如果x=y=7,從甲、乙兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局,記這2局的得分之和為X,求X的分布列.解:(1)由已知可得從甲的4局比賽中,隨機(jī)選取2局的情況有C4得分恰好相等的有2種,所以這2局的得分恰好相等的概率為26=1(2)當(dāng)x=y=7時(shí),X的可能取值有13,15,16,18,所以P(X=13)=C21C31C4P(X=16)=C21C31C4所以X的分布列為X13151618P3131求分布列中每一個(gè)取值的概率經(jīng)常用到排列組合的知識(shí),有序用排列,無(wú)序用組合,其關(guān)鍵依然是分析基本事件是有序還是無(wú)序.[針對(duì)訓(xùn)練]一個(gè)袋子里面有4個(gè)白球和3個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,現(xiàn)從中依次取2個(gè)球,求下列條件下取出白球個(gè)數(shù)X的分布列:(1)每次取后不放回;(2)每次取后放回.解:(1)由題意知,X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32C72P(X=1)=C41CP(X=2)=C42C所以X的分布列為X012P142(2)由題意知,X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=3×349=9P(X=1)=4×3×249=24P(X=2)=4×449=16所以X的分布列為X012P92416利用獨(dú)立事件求分布列[例3](2021·北京期中)某學(xué)校組織某次知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類問(wèn)題,每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束,若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,無(wú)論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分;B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分.已知某同學(xué)能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若該同學(xué)先回答B(yǎng)類問(wèn)題,記Y為該同學(xué)的累計(jì)得分,求P(Y=80)的值;(2)若該同學(xué)先回答A類問(wèn)題,記X為該同學(xué)的累計(jì)得分,求X的分布列.解:(1)依題意可得P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12.(2)由已知可得,X的所有可能取值為0,20,100,則P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列為X020100P0.20.320.48求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有三點(diǎn)(1)隨機(jī)變量的取值.(2)利用相互獨(dú)立事件求得每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.(3)用所有概率之和是否為1來(lái)檢驗(yàn).[針對(duì)訓(xùn)練](2021·山東青島二中月考)某商場(chǎng)舉辦了一場(chǎng)贏取吉祥物掛件的“雙人對(duì)戰(zhàn)”游戲,游戲規(guī)則如下:參與對(duì)戰(zhàn)的雙方每次從裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球(這5個(gè)球的大小、質(zhì)地均相同,僅顏色不同)的盒子中輪流不放回地摸出1球,摸到最后1個(gè)黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個(gè)黑球時(shí)游戲結(jié)束,得到最后1個(gè)黑球的一方獲勝.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)對(duì)戰(zhàn)雙方摸球的總次數(shù)為X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列;(2)求先摸球的一方獲勝的概率,并判斷這場(chǎng)游戲是否公平.解:(1)由題可得,X的所有可能取值為2,3,4,且P(X=2)=25×14=110,P(X=3)=25×34×13+35×24×13P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=35X的分布列為X234P133(2)先摸球的一方獲勝,包括以下幾種情況:雙方共摸3次球,出現(xiàn)白黑黑、黑白黑、白白白這三種情況,即P(X=3)=310;雙方共摸4次球,出現(xiàn)的恰好是三白一黑且前三次必定出現(xiàn)一次黑球的情形,概率為25×34×23×12+35×24×23×12+35×24×23×121.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有4個(gè)白球,2個(gè)紅球.從袋中不放回地逐個(gè)取球,取完紅球就停止,記停止時(shí)取得的球的數(shù)量為隨機(jī)變量X,則P(X=3)等于(A)A.215 B.25 C.1解析:最后一次取到的一定是紅球,前兩次是一紅球一白球,P(X=3)=C41C2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y=X-2,則P(Y=2)等于(A)A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析:由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.所以P(Y=2)=P(X=4)=0.3.故選A.3.拋擲2枚均勻的骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X≤4)等于(A)A.16 B.13 C.1解析:根據(jù)題意,有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).拋擲兩枚均勻的骰子,按所得的點(diǎn)數(shù)共36種可能結(jié)果,而X=2對(duì)應(yīng)(1,1),X=3對(duì)應(yīng)(1,2),(2,1),X=4對(duì)應(yīng)(1,3),(3,1),(2,2).故P(X=2)=136,P(X=3)=236=118,P(X=4)=336=112,所以P(X≤4)=136+4.一批零件有9個(gè)合格品,3個(gè)不合格品,組裝機(jī)器時(shí),從中任取1個(gè)零件,若取出不合格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品數(shù)的分布列.解:設(shè)在取得合格品前取出不合格品數(shù)為ξ,則ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,且取值為0,1,2,3.ξ=0表示從12個(gè)零件中取1個(gè),取到合格品,其概率為P(ξ=0)=A91A121ξ=1表示從12個(gè)零件中取2個(gè),第1次取到不合格品,第2次取到合格品,其概率為P(ξ=1)=A31A91同理有P(ξ=2)=A32A91P(ξ=3)=A33A91所以所求分布列為ξ0123P3991[例1]從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù),則P(X≤1)=.?解析:P(X≤1)=1-P(X=2)=1-C41C答案:4[例2]一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球,已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍,黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半.現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個(gè)球,若取出紅球得1分,取出黃球得0分,取出綠球得-1分,試寫出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列.解:設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為n,由題意知,綠球的個(gè)數(shù)為2n,紅球的個(gè)數(shù)為4n,盒中球的總數(shù)為7n.所以P(ξ=1)=4n7n=47,P(ξ=0)=P(ξ=-1)=2n7n所以從該盒中隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列為ξ10-1P412第2課時(shí)離散型隨機(jī)變量分布列求法用列舉法求分布列[例1]擲兩枚均勻的骰子,設(shè)擲得點(diǎn)數(shù)之和為隨機(jī)變量ξ:(1)求ξ的分布列;(2)求P(3<ξ<7).解:(1)用數(shù)軸表示出擲骰子的所有結(jié)果如圖所示:所以ξ的取值為2,3,4,…,10,11,12.P(ξ=2)=P(ξ=12)=136P(ξ=3)=P(ξ=11)=236=1P(ξ=4)=P(ξ=10)=336=1P(ξ=5)=P(ξ=9)=436=1P(ξ=6)=P(ξ=8)=536P(ξ=7)=636=1所以ξ的分布列為ξ23456789101112P11115151111(2)P(3<ξ<7)=P(ξ=4)+P(ξ=5)+P(ξ=6)=112+19+536=12確定隨機(jī)變量的可能取值和每一個(gè)可能取值的概率是求分布列的關(guān)鍵,求概率經(jīng)常采用古典概型中的列舉法,列舉法經(jīng)常利用的方法有樹(shù)狀圖法、列表法、借助數(shù)軸等,不管采用什么方法,都要合理分類和分步,注意有序和無(wú)序.[針對(duì)訓(xùn)練]將一枚均勻的骰子連續(xù)擲兩次,求兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)X的分布列.解:將一枚均勻的骰子連續(xù)擲兩次共出現(xiàn)36種等可能基本事件,其最大點(diǎn)數(shù)X的可能取值為1,2,3,4,5,6.設(shè)(x,y)表示第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為x,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為y.當(dāng)X=1時(shí),包含一個(gè)基本事件(1,1),所以P(X=1)=136當(dāng)X=2時(shí),包含三個(gè)基本事件(1,2),(2,1),(2,2),所以P(X=2)=336=1同理可求P(X=3)=536,P(X=4)=7P(X=5)=14,P(X=6)=11所以X的分布列為X123456P1157111利用排列組合求分布列[例2](2021·河北石家莊期中)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽,各射擊4局,每局射擊10次,射擊命中目標(biāo)得1分,未命中目標(biāo)得0分,兩人4局的得分情況如表.甲6699乙79xy(1)若從甲的4局比賽中,隨機(jī)選取2局,求這2局的得分恰好相等的概率;(2)如果x=y=7,從甲、乙兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局,記這2局的得分之和為X,求X的分布列.解:(1)由已知可得從甲的4局比賽中,隨機(jī)選取2局的情況有C4得分恰好相等的有2種,所以這2局的得分恰好相等的概率為26=1(2)當(dāng)x=y=7時(shí),X的可能取值有13,15,16,18,所以P(X=13)=C21C31C4P(X=16)=C21C31C4所以X的分布列為X13151618P3131求分布列中每一個(gè)取值的概率經(jīng)常用到排列組合的知識(shí),有序用排列,無(wú)序用組合,其關(guān)鍵依然是分析基本事件是有序還是無(wú)序.[針對(duì)訓(xùn)練]一個(gè)袋子里面有4個(gè)白球和3個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,現(xiàn)從中依次取2個(gè)球,求下列條件下取出白球個(gè)數(shù)X的分布列:(1)每次取后不放回;(2)每次取后放回.解:(1)由題意知,X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32C72P(X=1)=C41CP(X=2)=C42C所以X的分布列為X012P142(2)由題意知,X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=3×349=9P(X=1)=4×3×249=24P(X=2)=4×449=16所以X的分布列為X012P92416利用獨(dú)立事件求分布列[例3](2021·北京期中)某學(xué)校組織某次知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類問(wèn)題,每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束,若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,無(wú)論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分;B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分.已知某同學(xué)能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若該同學(xué)先回答B(yǎng)類問(wèn)題,記Y為該同學(xué)的累計(jì)得分,求P(Y=80)的值;(2)若該同學(xué)先回答A類問(wèn)題,記X為該同學(xué)的累計(jì)得分,求X的分布列.解:(1)依題意可得P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12.(2)由已知可得,X的所有可能取值為0,20,100,則P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列為X020100P0.20.320.48求離散型隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵有三點(diǎn)(1)隨機(jī)變量的取值.(2)利用相互獨(dú)立事件求得每一個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.(3)用所有概率之和是否為1來(lái)檢驗(yàn).[針對(duì)訓(xùn)練](2021·山東青島二中月考)某商場(chǎng)舉辦了一場(chǎng)贏取吉祥物掛件的“雙人對(duì)戰(zhàn)”游戲,游戲規(guī)則如下:參與對(duì)戰(zhàn)的雙方每次從裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球(這5個(gè)球的大小、質(zhì)地均相同,僅顏色不同)的盒子中輪流不放回地摸出1球,摸到最后1個(gè)黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個(gè)黑球時(shí)游戲結(jié)束,得到最后1個(gè)黑球的一方獲勝.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)對(duì)戰(zhàn)雙方摸球的總次數(shù)為X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列;(2)求先摸球的一方獲勝的概率,并判斷這場(chǎng)游戲是否公平.解:(1)由題可得,X的所有可能取值為2,3,4,且P(X=2)=25×14=110,P(X=3)=25×34×13+35×24×13P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=35X的分布列為X234P133(2)先摸球的一方獲勝,包括以下幾種情況:雙方共摸3次球,出現(xiàn)白黑黑、黑白黑、白白白這三種情況,即P(X=3)=310;雙方共摸4次球,出現(xiàn)的恰好是三白一黑且前三次必定出現(xiàn)一次黑球的情形,概率為25×34×23×12+35×24×23×12+35×24×23×121.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有4個(gè)白球,2個(gè)紅球.從袋中不放回地逐個(gè)取球,取完紅球就停止,記停止時(shí)取得的球的數(shù)量為隨機(jī)變量X,則P(X=3)等于(A)A.215 B.25 C.1解析:最后一次取到的一定是紅球,前兩次是一紅球一白球,P(X=3)=C41C2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y=X-2,則P(Y=2)等于(A)A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7解析:由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.所以P(Y=2)=P(X=4)=0.3.故選A.3.拋擲2枚均勻的骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X≤4)等于(A)A.16 B.13 C.1解析:根據(jù)題意,有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).拋擲兩枚均勻的骰子,按所得的點(diǎn)數(shù)