考研高數(shù)-概率-線代公式下載

高等數(shù)學(xué)部分公式

導(dǎo)數(shù)公式:

(tgx\=sec2x(arcsinx)'=1

yjl-x2

(ctgx)r=-esc2x

/、，1

(secx)'=secx?次x(arccosx)=——,

(cscx\=-escx-ctgx

(/arctgx)、，=--1

(/)'=ax\na1+九r

(\ogax)'=-^—(arcctgx)=------

xlna1+x7

基本積分表：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cf———=fsec2xdx-tgx+C

JCOS%J

^ctgxdx=ln|sin+C

fd；-fcsc2xdx--ctgx+C

|secxdx=ln|sec無+tgx\+CJsinxJ

jsecx-tgxdx=secx+C

jcscxdx=ln|cscx-ctgj^+C

jcscx-ctgxdx=-escx+C

dx

2j，=-arctg-+C

Q+Xaa

[axdx=-^—-^-C

dxx-aJln〃

In+C

22

x-a,X+Q^shxdx=chx+C

dxa+x

-In------+C^chxdx=shx+C

-a2-x,2aa-x

dx?x「22

arcsin—+C[.==ln(x+^x±a)+C

2-x2ayjx1±a2

n兀

22

“=jsin“xdx-Jcos“xdx=ln-2

00n

__________________2_________

[7x2+a2dx=-dx2+〃2+—ln(x+\x2+(22)+C

J22

__________________2

^x2-a2dx-y-a2--1nx+-a2+C

2

~2/?工人

—Edx=4^—xH----arcsin—FC

2a

三角函數(shù)的有理式積分：

.2u1-w2x,2du

sinx=-----7，COSX=-----7，U=tg-,dx=-----r

1+M21+w22l+〃~

一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:

..sinx

雙曲正弦:shx=---------lim-----=1t

2I。X

雙曲余弦:Mx="+e'lim(l+與=e=2.718281828459045...

2工T8X

雙曲正切：兒X=四=^^4

chxe+e

arshx=ln(x+d￡+1)

archx=±ln(x+Vx2-1)

三角函數(shù)公式:

?誘導(dǎo)公式：

、^數(shù)

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tg?-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

和差角公式：?和差化積公式：

sin(a±/?)=sinacos/?±cosasin0sina+sin尸=2sin~~~~cos

cos(a±/7)=cosacos/?+sinasin0

..廿noa+夕.CL-P

tg(a±p)Jga土tg0sina-sin=2cos---sin---

\+tga-tg/3cca+0cc—B

cosa+cosp=2cos------cos.......-

,,0、ctgactg6+l

ctg(a±/3)=6c—22

ctg/3±ctganc.a+p.a-B

cosa-cosp-2sin—sin-

?倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cosla-2cos26z-l=l-2sin2a=cos?a-sin?asin3a=3sina-4sin3a

ctg2a-1cos3a=4cos3a—3cosa

ctgla-

2ctga3tga-t￡a

吆1-3fg2a

2，ga

tg2a

1—吆%

?半角公式:

a

cos—=

2

a,1-C0S6Z1-C0S6Zsinaa,1+cosa1+cosasina

火，=±cig—=i1/------------=—:--------=------------

1+cosasina1+cosa2Vl-cos6zsmal-cosa

?正弦定理：=一2—==2R

?余弦定理：c2=a2+/-2abeosC

sinAsinBsinC

71

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=-----arccosxaretgx=--arcctgx

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式:

4=0

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理：/S)-/3)=/'OS-a)

柯西中值定理:■TC)

F(b)—F⑷F'C)

當(dāng)F(x)=尤時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率:

弧微分公式：ds=其中y'=fga

平均曲率禾=也公。:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：MM弧長。

△s

w

M點(diǎn)的曲率：K=lim也da|y|

a一。AsdsJ(i+y])3

直線：K=0;

半徑為a的圓：K=—.

a

定積分的近似計(jì)算:

bi

矩形法:J/(X)B—^(凡+M+…+y,i)

a

梯形法：j/(x)?與產(chǎn)[g(先+尤)+M+…+X.-J

a

bi

拋物線法：J7(x)?—^-[(^o+%)+2(y2+以+…++_2)+4(%+為+…+%T)]

J3〃

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W=Fs

水壓力：F=p,A

引力：F=k瞥,k為引力系數(shù)

r

_1b

函數(shù)的平均值:y=-——j/UWx

均方根:『⑴出

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距離：?=的幽2|=4*2-七)2+(為一%產(chǎn)+⑵-ZI)2

向量在軸上的投影:Pr，“Q=|雅kos°,展港與〃軸的夾角。

Prj“a+a2)=Prja[+Prja2

ab=\a\-\b\cos0=axbx+ab+“一4,是一個(gè)數(shù)量，

兩向量之間的夾角:cose=-----""卡也-------

』a；+a：+a；yb：+b：+b；

iJk

c=axb=axay%,同=|補(bǔ)問sin。.例：線速度:v=vvxr.

bxbyh_c

aaa

XyZ

向量的混合積:[G硒=(MxB)1=abx/=,x5HMeosa,a為銳角時(shí),

CxCyCz

代表平行六面體的體積。

平面的方程：

1、點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-jo)+C(z-zo)=O,其中萬={4,3,。},〃0(4，為〃0)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

3、截距世方程:±+上+三=1

abc

平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：4」華+也+氣+川

VA2+B2+C2

x=%+mt

空間直線的方程:七也=匕四=三&?=/,其中”{加,〃,p};參數(shù)方程:y=y0+〃/

mnp

[z=z0+pt

二次曲面：

222

1、橢球面■+與+==1

ab"c

22

2、拋物面:工+2L=z,(p,q同號(hào))

2p2q

3、雙曲面：

2

單葉雙曲面:—+

a

r222

雙葉雙曲面:三-%+==1（馬鞍面）

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

全微分：dz-——dx+——dydu=——dx+——dy+——dz

dxdydxdydz

全微分的近似計(jì)算：Az*dz=￡(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：

dz_Szdu+dzdv

dtdudtdvdt

dzdu+&5V

z=/[w(x,y),v(x,y)]—

dxdudxdvdx

當(dāng)〃=w(x,y),v=v(x,y)時(shí)，

.du.du.小包公包辦

du=—ax-\----ay=+

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:

隱函數(shù)f(x,y)=O,空=-曳,d2y_SFdFdy

五^一瓦((一胃x十區(qū)(方).區(qū)

dxFy

F

隱函數(shù)尸(x,y,z)=O,7^=-—>dz_y

dxF,力￡

dFdF

隱函數(shù)方程組：[尸j‘)‘'"'")=0認(rèn)尸G)FF

Ji-------,----dudvUV

G(x,y,w,v)=Od(u,v)dGdGGUGV

dudv

包1

=--a3(a&v1認(rèn)F,G)

及JG)

V)Jd(u,x)

包1a3(G-)

=a￥v1d(EG)

-J-v)

ay9(",y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

x=(p(t)

_y-y_z-z

空間曲線，y=”(f)在點(diǎn)A/(Xo，y(),Zo)處的切線方程:aa

d&)/g)〃(%)

z=(y(f)

在點(diǎn)M處的法平面方程：)(x-X。)+/?°)(y-匕))+。'&)(z-Z。)=0

Mt，則切向量、耳4

若空間曲線方程為:￡￡

G,G「G,G,

曲面尸(x,y,z)=0上一點(diǎn)Af(與，打人),則:

1、過此點(diǎn)的法向量：n={Fv(x0,y(),z0),Fv(x0,y0,z0),F.(x(),y0,z0))

2、過此點(diǎn)的切平面方程：&(Xo，yo，Zo)(x-Xo)+4(Xo，yo，Zo)(y-yo)+￡(Xo，yo，Zo)(z-Zo)=0

3、過此點(diǎn)的法線方程:一—=_一^_=—一—

工(Xo，yo，Zo)工(Xo，yo，Zo)E(xO,yo，Zo)

方向?qū)?shù)與梯度:

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一■方向/的方向?qū)?shù)為:更=—cos^+—sin^

dldxdy

其中e為x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：grac|/'(x,y)=W7+雪j

oxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是:笠=grad/(x,y)I,其中。=cosQ:+sin°-J,為/方向上的

dl

單位向量。

%是gra(V(x,y)在/上的投影。

dl

多元函數(shù)的極值及其求法：

毗(%，先)=力(/，%)=°，令:九(Xo，y°)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

A<O,(Xo，%)為極大值

AC—1>0時(shí)“

4>0,(%,九)為極小值

則:AC-1<。時(shí),無極值

AC-82=0時(shí),不確定

重積分及其應(yīng)用：

^f(x,y)dxdy-(rcos0,rsin3)rdrd0

DD'

dz&_Y

曲面z=/(x,y)的面積A=J+dxdy

dx

7

\\xp(x,y)dcyM［卜夕富，〉)^

平面薄片的重心：元=4='---------,y=-7-=-77---------

MJJp(x,y)dcr

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于X軸/*=Jb2p(x,y)db,對(duì)于y軸/v=/卜夕3/),/

D

平面薄片(位于xoy平面)對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,4),(“>0)的弓I力：F={Fx,Fy,Fz],其中:

￡=_%JJP(x,y)xd「

%=f卜…%，工=f039

D(x2+y2+a2)2D(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2y

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):

x=rcosO

柱面坐標(biāo):<y=rsin。，y,z)dxdydz=z)rdrd6dz,

c

其中：尸(r,6,z)=f(rcos6,rsin6,z)

x=rsin^cos^

球面坐標(biāo)，y=rsin^sin^,dv-rd(p-rs\x\(p-dOdr=r2sin(pdrd(pcl0

z-rcos(p

2乃乃r(*，8)

jjj/(x,y,z)dxdydz=^m(pdrd(pdO=^dO^d(p、F(r,(p,e)產(chǎn)sin(pdr

QQ000

重心:無$/皿》$/加其中M=±=

Q

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：/,=JJJ(y2+z2)〃v,=川''+Z2)〃V,:JJJ(^2+y2)pt/v

ccQ

曲線積分:

第一類曲線積分（對(duì)弧長的曲線積分）：

X=(p(t).

設(shè)/Xx,y）在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為:,(a<f<川)，貝Ij：

y=〃Q)

B____________X=t

]7(x,y)ds=⑺+/2⑺力(a<p)特殊情況:<

」=可)

La

第二類曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為「=0"),貝U：

]>(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{P[*(f),”0)]*'(/)+。[夕⑺,〃《)]/?)}dt

La

兩類曲線積分之間的關(guān)系:JPdx+Qdy=j(Pcosa+Qcos/3)ds,其中a和/?分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。

格林公式:y-)dxdy=jPdx+Qdy格林公式:(孚-~^~)dxdy=，Pdx+Qdy

當(dāng)尸=-y,Q=x,即:名■一絲=2時(shí)，得到。的面積：A-\\dxdy-—JxJy-ydx

fix小林2；

?平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；

2、P(尤,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且G2="。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng)

oxdy

減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積：

在孚=翌時(shí)，Pdx+Qfy才是二元函數(shù)〃(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(x.y)

〃(x,y)=Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)%=%=0。

(-<■?,y0)

曲面積分:

對(duì)面積的曲面積分:JJ/(x,y,z)ds=J]/[x,y,z(x,y)]^l+(x,y)+zj(x,y)dxdy

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:JJP(X,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

z

JJR(X,y,z)dxdy=+y,z(x,y')]dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào);

xD?

JJp(x,y,z)dydz=±JJP[x(y,z),y,z]dydz^取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào);

工外

JjQ(x,y,z)dzdx=±0Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。

Dzx

兩類曲面積分之間的關(guān)系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(尸cosa+Qcos￡+Rcosy)ds

高斯公式:

JJJ(——F-+--)du=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Qcos^+Rcosy)ds

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：dE導(dǎo)箓詈岫單檢體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量,

若div。＜0,則為消失…

通量：,后ds=JjA〃ds=Jj(Pcosa+Qcos/?+7?cosy)ds,

zzz

因此，高斯公式又可寫成:JJJdivZdv=#0

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系:

!rt也月R噎dQ曲、j廢」+(/d法P-在dR包)dxdy;

)dzdx+(—--二(^Pdx+Qdy+Rdz

dxr

dydzdzdxdxdycosacos/?cos/

上式左端又可寫成:Hddddaa

1dxSydz=ndx辦dz

PQRPQR

空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件小等"，崇啜

ijk

3AA

旋

-一&

去ay'

p。R

向量場(chǎng)區(qū)沿有向閉曲線「的環(huán)流量：gPdx+Qdy+Rdz=(^Atds

rr

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：

等比數(shù)列:l+q+/+…+/i=匕4

i-q

等差數(shù)列：1+2+3+-+〃=婦叨

2

調(diào)和級(jí)數(shù):1+！+!+…+■是發(fā)散的

23n

級(jí)數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法——根植審斂法(柯西判別法)：

‘夕<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：p=貝小P>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

0=1時(shí)，不確定

2、比值審斂法：

a<i時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：P=lim-，則0>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

/t-xjcTJ

"夕=1時(shí)，不確定

3、定義法：

s“=%+M,+…+〃“;lims“存在，則收斂；否則發(fā)散。

“TOO

交錯(cuò)級(jí)數(shù)%-“2+〃3-〃4+…(或-%+M2-M3+???,??>0)的審斂法----萊布尼茲定理:

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足屋“二"那么級(jí)數(shù)收斂且其和其余項(xiàng)項(xiàng)絕對(duì)值|力4，，,用。

絕對(duì)收斂與條件收斂：

⑴〃1+%H----\-Un+???,其中〃〃為任意實(shí)數(shù)；

⑵同+向+同+…+叫+…

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù);

如果(2)發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級(jí)數(shù)。

調(diào)和級(jí)數(shù):發(fā)散，而z呼收斂；

級(jí)數(shù):Z5收斂；

p級(jí)數(shù)：￡十P<1時(shí)發(fā)散

p>1時(shí)收斂

塞級(jí)數(shù):

23?時(shí)，收斂于」一

1+X+X-+X+…+x+…(I—X

\國21時(shí)，發(fā)散

對(duì)于級(jí)數(shù)(3)&+…+%x"+…，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全

/，<一時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在凡使(|x|>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

\忖=/?時(shí)不定

P。時(shí)，R――

求收斂半徑的方法：設(shè)lim-=夕，其中即，%是(3)的系數(shù)，則(2=0時(shí)，R=+s

ua\

\p=+8時(shí)，R=0

函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)：

2/(，，)(Xo)

函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：/(x)=/(xo)(x-xo)+^^(x-xo)+-+(x-xor+-

2!〃！

余項(xiàng)：4=匕2。-%)用J(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：limR“=0

(〃+1)!〃->8

%=0時(shí)即為麥克勞林公式：/(x)=/(0)+r(0)x+"?x2+-+eMx"+一

2!n\

一些函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù):

八、m1m(m-l)2團(tuán)(小-1)???(加一〃+1)n

(1+x)=l+^x+-------X+???+------------------------X+???(―1<x<1)

2!n\

/V5產(chǎn)〃-1

sinx=x-----+---------+(-1尸------+…(-00<%<+00)

3!5!(2H-1)!

歐拉公式:

eJx+.e-ix

cosx=

2

e,x=cosx+zsinx或<

sinx=

2

三角級(jí)數(shù):

88

/⑺=4+XA“sin(〃初+(pn)Z(〃“cosnx+hrlsinnx)

rt=ln=\

其中，a0=aA0,an=Ansin(pn,bn=Ancos<pn,a)t=x0

正交性：Lsinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cos…任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在[-肛4]

上的積分=0。

傅立葉級(jí)數(shù):

/(%)=—+(?！╟osnx+bnsinnx),周期=2萬

2?=1

i乃

an=—f(x)cosnxdx(〃=0,1,2…)

其中—K

|冗

bn=—^f(x)sinnxdx(n=1,2,3???)

-n

2

,11+???=^—(相加)

1H—7^—?-!---1+

3252T6

1117T2,111萬2

1一齊十?一不+…上（相減）

尹+不+丁…-2412

正弦級(jí)數(shù)：an-0,—j/(x)sinnxdx〃=1,2,3…/(x)；sin〃提奇函數(shù)

n0

2「

爭斗，心〃混偶函數(shù)

余弦級(jí)數(shù)：bn=0,an=—^f(x)cosnxdx〃=0,l,2…/(x)

71o

周期為2/的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):

/(x)=F+￡&cosW+〃,sin竿)，周期=2/

2"=]II

%(〃=0,1,2…)

其中?

b?(〃=1,2,3…)

微分方程的相關(guān)概念：

一階微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg()')dy=J/(x)dx得：G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。

齊次方程：一階微分方程可以寫成立=/(x,y)=°(x,y),即寫成上的函數(shù)，解法：

dxx

設(shè)〃=乜則蟲=M+X生，u+絲=⑴⑺,.?.如=T—分離變量,積分后將上代替”,

xaxaxaxx(p(u)-ux

即得齊次方程通解。

一階線性微分方程:

1、一階線性微分方程:@+P(x)y=Q(x)

dx

/當(dāng)。(x)=0時(shí),為齊次方程，y=Ce」""

,當(dāng)。(x)w0時(shí)，為非齊次方程，y=(j0(x)』”"dx+C)d""

2、貝努力方程:包+尸(x)y=Q(x)y",(〃*0,1)

dx

全微分方程：

如果尸。,〉)公+。(》,》)由>=0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：

aa

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:=P(x,>)片=Q(x,y)

dxdy

：.u(x,y)=C應(yīng)該是該全微分方程的通解。

二階微分方程：

d-y.dy/(x)三0時(shí)為齊次

—^+Pn(x)x—+Q(x)y=/O

dx~dx/(x)學(xué)0時(shí)為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:

(*)y"+py'+qy=0，其中p,g為常數(shù)；

求解步驟：

1、寫出特征方程：(A)/+pr+4=0,其中產(chǎn)，尸的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y",y，,y的系數(shù);

2、求出(△)式的兩個(gè)根八，G

3、根據(jù)外的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：

(*)式的通解

八，々的形式

兩個(gè)不相等實(shí)根(p2—4q〉0)riX

y=+c2e

r,A

兩個(gè)相等實(shí)根(p2-4q=0)y=(G+c2x)e

ax

一對(duì)共物復(fù)根(p2-4q<0)y=e(Gcosfix+c2sinpx)

八=a+t。,r2-a-if3

a=-L”曲”片

22

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

概率論部分

第一節(jié)基本概念

1、概念網(wǎng)絡(luò)圖

古典概型

兒何概型

加法6+C

"基本事件M減法8-C

隨機(jī)試驗(yàn)Ef,樣本空間Q>-?PG4A五大公式?條件概率8/C1和乘法公式8c>>

隨機(jī)事件A全概公式

獨(dú)立性

2、重要公式和結(jié)論

P：二從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。

（1）排列

組合公式

加

C：=―--從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。

n!（m-?）!

加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n

某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n

（2）加法

種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。

和乘法原

乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mXn

理

某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n

種方法來完成，則這件事可由mXn種方法來完成。

重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）

（3）?些

對(duì)立事件（至少有一個(gè)）

常見排列

順序問題

如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，

（4）隨機(jī)

但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試

試驗(yàn)和隨

驗(yàn)。

機(jī)事件

試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。

在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有

如下性質(zhì)：

①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；

②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。

（5）基本

事件、樣本這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用0來表示。

基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用。表示。

空間和事

件一個(gè)事件就是由。中的部分點(diǎn)（基本事件①）組成的集合。通常用大寫字母

A,B,C,…表示事件，它們是。的子集。

。為必然事件，0為不可能事件。

不可能事件（0）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（Q）的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。

①關(guān)系：

如果事件A的組成部分也是事件8的組成部分，（1發(fā)生必有事件8姓）：

AuB

（6）事件如果同時(shí)有Au3,BnA,則稱事件力與事件8等價(jià)，或稱1等于8：

的關(guān)系與A=B。

運(yùn)算48中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：4U8,或者公艮

屬于力而不屬于6的部分所構(gòu)成的事件，稱為｛與8的差，記為4-6,也可

表示為或者人百，它表示4發(fā)生而6不發(fā)生的事件。

A,6同時(shí)發(fā)生：A^B,或者4艮AHB=0,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，

稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。

C-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為它表示A不發(fā)生

的事件?；コ馕幢貙?duì)立。

②運(yùn)算：

結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)

800_

nA，=u4____________________

德摩根率：I<=iAU8=An8,AnB=AUB

設(shè)。為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿

足下列三個(gè)條件：

1°0<P(A)Wl,

2°P(Q)=1

(7)概率3°對(duì)于兩兩互不相容的事件Ai,42,…有

的公理化(8、8

定義PUA，=2?(4)

3=1)i=\

常稱為可列(完全)可加性。

則稱P(A)為事件A的概率。

1°￡1={^|,co2,

2。P(助)=P(g)=...P(%)=!。

n

(8)古典設(shè)任一事件A,它是由必,。2…0,"組成的，則有

概型/W={@)UM)U…U(%)}=尸⑷)+P(g)+…+PQ“)

一一一A所包含的基本事件數(shù)

-n一基本事件總數(shù)

若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空

間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何

(9)幾何概型。對(duì)任一事件A,

概型

p(A)=’⑷。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。

3)

(10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

公式當(dāng)P(AB)=0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)減法當(dāng)BuA時(shí),P(A-B)=P(A)-P(B)

公式

當(dāng)A=C時(shí),P(B)=1-P(B)

(12)條件定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱‘段為事件A發(fā)生條件下，事

概率尸⑷

件B發(fā)生的條件概率，記為P(8/A)=曳竺^

條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。

例如P(C/B)=1=>P(C/A)=l-P(B/A)

乘法公式：P(AB)=尸(4)P(B/A)

(13)乘法更一般地,對(duì)事件A“口，…A”,若P(A也…AQ>0,則有

公式P(AA2...A?)=P(4)P(A214)尸(41AI42)……P(4,1A4...

An-l)o

①兩個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)事件4、5滿足尸(A5)=P(A)P(B),則稱事件4、8是相互獨(dú)立的。

若事件4、5相互獨(dú)立，且P(4)>°,則有

尸⑻A)=3=P⑷豈B)=

尸(A)P(A)

若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到N與3、A與豆、X與后也都相互獨(dú)

(14)獨(dú)立立。

性必然事件。和不可能事件0與任何事件都相互獨(dú)立。

0與任何事件都互斥。

②多個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互獨(dú)立。

對(duì)于n個(gè)事件類似。

設(shè)事件外,&,…,8"滿足

1°81,正,…,8〃兩兩互不相容，P(8)>0(i=1,2,…,〃)，

(15)全概Au[J8

公式

20依,

則有

P(A)=P(Bi)P(A1Bi)+P(B2)P(A1&)+???+P(Bn)P(A1Bn)

設(shè)事件8,Bi,以及A滿足

rBl,歷,???,&兩兩互不相容，P(砌>0,i=i,2,…，"，

II

Au［歷

2。M,P(A)>(),

則

(16)貝葉

斯公式

￡P(guān)(嗎)尸(A/嗎)

j=l

此公式即為貝葉斯公式。

P(B),(，=1,2,n),通常叫先驗(yàn)概率。P3/A),(，=1,2,…，

〃)，通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了

“由果朔因”的推斷。

我們作了〃次試驗(yàn)，且滿足

?每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；