人教A版選修一空間向量與立體幾何單元測(cè)試卷（含解析）

人教A版選修一空間向量與立體幾何單元測(cè)試卷一、本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，向量a=(2,?3,5)，b=(?2,4,5)，則向量A.

(0,1,10)

B.

(?4,7,0)

C.

(4,?7,0)

D.

(?4,?12,25)2.已知a=(?1,?2,1),b=(1,x,?2)且aA.

3

B.

4

C.

5

D.

63.已知向量a=(2,3,1)，b=(1,2,0)，則A.

3

B.

3

C.

35

D.

94.在空間直角坐標(biāo)系中，若直線l的方向向量為a=(1,?2,1)，平面α的法向量為nA.

l//α

B.

l⊥α

C.

l?α或l//α5.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，A.

34

B.

63

C.

56.設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n1=(1,2,?2)，平面β的一個(gè)法向量為n2=(?2,?4,k)，若A.

2

B.

-4

C.

-2

D.

47.在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，則PC與平面ABCDA.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

90°8.如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°A.

120°

B.

150°

C.

30°

D.

60°二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.給出下列命題，其中錯(cuò)誤的有（

）A.

若空間向量m、n、p，滿足m//n，n//p，則m//n

B.

若空間向量m、n、p，滿足m=n10.以下命題正確的是（

）A.

若p→是平面α的一個(gè)法向量，直線b上有不同的兩點(diǎn)A，B，則b//α的充要條件是p→?AB=0

B.

已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，若OP=25OA+15OB+25OC，則P，A，B，C四點(diǎn)共面

C.

已知a→=(?1,1,2)，b11.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2A.

EF//平面AA1B1B

B.

若D是B1C1上的中點(diǎn)，則BD⊥EF

C.

直線EF與平面ABC所成角的正弦值為25512.已知正方體ABCD?A1B1C1DA.

CH⊥BD

B.

二面角D1?AB1?C的大小為2π3

C.

三棱錐H?BCC1的體積為定值

D.

若CH⊥三、填空題（4題，每題5分，共20分）13.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)M(1,?1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是________.14.已知a={3λ,6,λ+6},b={λ+1,3,2λ},若∥,則λ=________.15.如圖,在三棱柱ABC?A1B1C1中,所有棱長(zhǎng)均為1,且AA16.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A′B′C′D′中,點(diǎn)P,Q分別是棱BC,CD上的動(dòng)點(diǎn),BC=4,CD=3,CC四、解答題（6題，共70分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD?A1B1C1D（1）求點(diǎn)D到平面BEF的距離；（2）求BD與平面BEF所成的角的余弦值．18.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C（1）求D1（2）求異面直線AE與BC19.如圖，四棱錐S?ABCD中，二面角S?AB?D為直二面角，E為線段SB的中點(diǎn)，∠DAB=∠CBA=3∠ASB=3∠ABS=90°，tan∠ASD=12（1）求證：平面DAE⊥平面SBC；（2）求二面角C?AE?D的大小.20.如圖，四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形，AB//CD,AB⊥AD，PA=PB,PA⊥PB,AB=AD=12CD=2,E（1）證明：AE//平面PBC；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.21.如圖矩形ABCD中，AB=2BC=22；E,Q分別為AB,CD的中點(diǎn)，沿EC將點(diǎn)B折起至點(diǎn)P，連接PA,PD,PQ（1）當(dāng)∠PEB=60°時(shí)，（如圖1），求二面角（2）當(dāng)二面角P?EC?B等于120°時(shí)（如圖2），求PD與平面PAQ22.如圖,在四棱錐P?ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).（1）證明:BE⊥DC;（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;（3）若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BF⊥AC,求二面角F?AB?P的余弦值.

答案解析部分一、單選題1.【答案】A解：由題意a+故答案為：A．2.【答案】C解：由已知a?b=?1?2x?2=?13故答案為：C．3.【答案】C解：a+故|故答案為：C4.【答案】C解：直線l的方向向量為a=(1,?2,1)，平面α的法向量為n因?yàn)閍?所以a⊥所以l?α或l//故答案為：C.5.【答案】B解：如圖，利用等體積法，VC1?EBD=V正方體ABCD?A1B?=ED2又點(diǎn)D到平面C1EB的距離，即D到平面C1由VC1?EBD=V故答案為：B.6.【答案】D解：因?yàn)棣?/β，所以n1//n故答案為：D7.【答案】A解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),C(1,2易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)∴cos∴PC與平面ABCD所成的角為30°，

8.【答案】D解：以B為原點(diǎn)。BC,BA,BB1分別為令A(yù)B=BC=AA則B(0,0,0)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，C1所以EF=(0,?1,1)，B所以cos<EF,所以直線EF和BC1所成的角為故答案為：D二、多選題9.【答案】A,C,D解：對(duì)于A選項(xiàng)，若n=0，對(duì)于非零向量m、p，則m//n，n//對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于空間向量m、n、p，滿足m=n，n=對(duì)于C選項(xiàng)，在空間中，任意不共面的三個(gè)非零向量為空間向量的一個(gè)基底，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，在空間中，任意不共線的三個(gè)向量可以共面，不一定可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為：ACD.10.【答案】B,C,D解：對(duì)于A，若直線b?α，則p→?AB=0成立，故A不符合題意；對(duì)于B，若OP=25所以AP=12PB+PC，所以P，對(duì)于C，由題意可得ka→+若25λ?46?λ=1與2C符合題意；對(duì)于D，由題意AB=(5,0,2)，AC則|AB|=25+4所以sinA=所以AC邊上的高|BD|=|AB故答案為：BCD.11.【答案】A,C,D解：由題意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，B1C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(xiàn)(0,1,2)，設(shè)EF=(?1,0,2)，BD直三棱柱ABC?A1B可得AC為平面AAAA1為平面對(duì)于A，AC=(0,2,0)，EF即EF⊥AC，又EF?平面AA1B1B對(duì)于B，若D是B1C1所以EF?BD=1+4=5，所以EF對(duì)于C，由AA1為平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)直線EF與平面ABC所成角為θ，則sinθ=對(duì)于D，設(shè)B1D則BD=∴BD∴∴當(dāng)3λ+2=43時(shí)，即即直線BD與直線EF所成角最小，此時(shí)BD=(?∴|BD|=|BD故答案為：ACD12.【答案】A,C解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、則A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(1,1,1)、對(duì)于A選項(xiàng)，CH=(?1,?1,a)，BD=(?1,1,0)，則所以，CH⊥BD，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面AB1D1的法向量為m=(由{m?AB1=x設(shè)平面AB1C的法向量為n由{n?AB1=xcos<m,n>=對(duì)于C選項(xiàng)，∵AA1//CC1，AA1?平面BC∴H到平面BCC1的距離等于點(diǎn)A到平面而點(diǎn)A到平面BCC1的距離為1，即三棱錐H?BCC因此，VH?BC對(duì)于D選項(xiàng)，CH⊥平面β，則CH為平面β的一個(gè)法向量，且CH=(?1,?1,a)又∵CD=(?1,0,0)，所以，直線CD與平面β所成角的正弦值的取值范圍為[3故答案為：AC.三、填空題13.【答案】（1,1，-1）解：點(diǎn)M(1,?1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（1,1，-1）.故答案為：（1,1，-1）14.【答案】2解：因?yàn)閍∥b，則3λλ+1=63=λ+62λ，解得λ=2解：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A32,12,0,B0,1,0,B10,1,1,C10,0,1,則C1A→=3解：以C為原點(diǎn)，CD，CB，CC′為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則C（0，0，0），C′(0,0,23設(shè)平面PQC′的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)則{∴{?ay+23z=0∴n∴cos∴12a2∴當(dāng)ab=8時(shí)，S△PQC=4，棱錐C′-PQC的體積最小，∵直線CC′與平面PQC′所成的角為30°，∴C到平面PQC′的距離d=23×∵VC′-PQC=VC-PQC′，∴13×4×2四、解答題17.【答案】（1）解：如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，依題意，得B(4,0,0),D(0,4,0),E(2,0,4),F(4,2,4)，則BE=(?2,0,4),設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)，則n則{n?BE由此取z=1，可得平面BEF的一個(gè)法向量為n=(2,?2,1)又由DB=(4,?4,0)所以點(diǎn)D到平面BEF的距離為d=|DB?n||n|=4×2+(?4)×(?2)+0×12且sinθ=|所以BD與平面BEF所成角的余弦值為cosθ=18.【答案】（1）以AD,AB,AA1的正方向分別為?x?軸?則D1(2,0,2),E(0,2,1),可得所以D1E的長(zhǎng)為3.

（2）由(1)的坐標(biāo)系,可得A(0,0,0),E(0,2,1),B(0,2,0),所以AE=(0,2,1),B設(shè)異面直線AE與BC1所成的角為所以cosθ=|即異面直線AE與BC1所成的角的余弦值19.【答案】（1）證明∵二面角S?AB?D為直二面角，所以平面SAB⊥平面ABCD，因?yàn)椤螪AB=90°，∵平面ABCD∩平面SAB=AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面SAB，又BS?平面SAB，∴AD⊥BS，∵∠ASB=∠ABS，∴AS=AB，又E為BS的中點(diǎn)，∴AE⊥BS，又AD∩AE=A，∴BS⊥平面DAE，∵BS?平面SBC，∴平面DAE⊥平面SBC.

（2）解：如圖，連接CA,CE，在平面ABS內(nèi)作AB的垂線，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，∵tan∠ASD=1∴A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(0,4,2)，S(23,?2,0)，∴AC=(0,4,2)，設(shè)平面CAE的法向量為n=(x,y,z)∴{n?AC=0,n?AE=0,即∴n=(1,?3∵SB⊥平面DAE，∴平面DAE的一個(gè)法向量為SB=(?2∴cos由圖可知二面角C?AE?D的平面角為銳角，故二面角C?AE?D的大小為60°.20.【答案】（1）證明：取PC中點(diǎn)F，連接BF,EF，∵E是PD的中點(diǎn)，AB//CD，AB=1∴EF∥CD∥AB，EF=AB=1∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴AE//BF，∵BF?平面PBC,?∴AE//平面PBC

（2）解：取AB中點(diǎn)∵平面PAB⊥平面ABCD,?∴PO⊥平面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O?xyz，則B(1,0,0),D(?1,2,0),P(0,0,1),C(3,2,0)，PB=(1,0,?1),設(shè)平面PDC的法向量為n=(a,b,c)，則{3a+2b?c=04a=0，令b=1∴cos<PB,?n>=21.【答案】（1）解：取CE中點(diǎn)O，連接BP,BO,PO，因?yàn)锳B=2BC=2BE，所以BC=BE=2，因?yàn)镺是CE的中點(diǎn)，所以BO⊥CE因?yàn)镃P=CB,EP=EB,CB=EB，所以PC=PE，因?yàn)镺是CE的中點(diǎn)，所以PO⊥CE，所以∠POB就是二面角P?EC?B的平面角，因?yàn)镋P=EB=2,∠PEB=60°，所以又因?yàn)榈妊黂t△BEC中CE=2，所以BO=PO=1，所以BO可得∠POB=90所以二面角P?EC?B的大小為90°