量子力學(xué)輔導(dǎo)

量子力學(xué)輔導(dǎo)第1頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四教學(xué)目的：1、系統(tǒng)了解量子力學(xué)I的基本內(nèi)容2、系統(tǒng)掌握量子力學(xué)結(jié)題的基本思路和方法3、為進(jìn)一步學(xué)習(xí)量子力學(xué)II和考研打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)第2頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四第一部分Schr?dinger方程一維定態(tài)問題一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)(2)是單值的；(3)與是連續(xù)的。1.在坐標(biāo)表象中，無自旋的粒子或雖有自旋但不考慮自旋運(yùn)動的粒子的態(tài)，用波函數(shù)表示.

表示時刻粒子處于空間處體積元內(nèi)的幾率，即代表幾率密度。根據(jù)波函數(shù)的物理意義,波函數(shù)應(yīng)具有如下性質(zhì)：(1)在全空間找到粒子的幾率取有限值,即是平方可積的；òtyd|),(|2trr第3頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四或2.波函數(shù)滿足方程其中是粒子的哈密頓算符。它由動能算符與勢能算符組成。如果勢能不含t，則第4頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四波函數(shù)滿足方程或上述方程稱為能量的本征值方程。其定態(tài)解為包含時間在內(nèi)的定態(tài)波函數(shù)為第5頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四含時Schr?dinger方程的一般解為其中為任意常數(shù)。如果已知初條件則常數(shù)不再是任意的，它由唯一地確定：

代表粒子的能量取值為的幾率。第6頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3.一維束縛定態(tài)有如下性質(zhì)：

(1)能量是非簡并的；

(2)波函數(shù)是實(shí)函數(shù)；

(3)如果勢函數(shù)滿足對稱條件則波函數(shù)有確定的宇稱,即為奇(偶)函數(shù)4.一維無限深勢阱

中的定態(tài)能量和波函數(shù)為第7頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四如果坐標(biāo)原點(diǎn)取在勢阱的中心，則定態(tài)波函數(shù)為

具有確定的宇稱。

具有確定的宇稱。5.勢能為的一維諧振子定態(tài)能量和波函數(shù)為第8頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四6.在δ函數(shù)勢場中，定態(tài)波函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但在點(diǎn)不連續(xù)：7.波函數(shù)為的一維運(yùn)動粒子的動量幾率分布函數(shù)為幾率密度為﹟第10頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四二、例題▲量子力學(xué)中常用的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解對方程其特征方程為﹟第11頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1.2質(zhì)量為的粒子處于一維勢場中，求定態(tài)能量與波函數(shù)。-a0a解：涉及的問題分三個區(qū)I區(qū)阱外波函數(shù)為0II區(qū)-a<x<0III區(qū)0<x<aIIIIIII第12頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四其特征方程解為兩個共軛復(fù)根考慮到不涉及平面波，故波函數(shù)可寫為形式因?yàn)閯莺瘮?shù)滿足對稱性，故波函數(shù)具有確定的宇稱。但在原點(diǎn)處波函數(shù)必為0，從而知道波函數(shù)是奇函數(shù)故可令利用邊界條件得從而有歸一化的波函數(shù)是﹟第13頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1.3求在半壁無限深方勢阱中，求束縛態(tài)的條件。0aV0提示：（2）除了要用邊界條件外，還要用連續(xù)性條件（3）涉及到波函數(shù)的連續(xù)條件時，一般要求解超越方程組。本題中方程組是（1）分區(qū)求解第14頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四m1.4質(zhì)量為的粒子在一維勢場中運(yùn)動，其中與均為正實(shí)數(shù)。(1)試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；(2)給出粒子處于區(qū)域中的幾率.它是還是，為什么？0xV0提示：（2）除了要用邊界條件外，還要用躍變條件（1）分區(qū)求解（3）δ函數(shù)的作用第15頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1.6諧振子勢中心附加函數(shù)勢，在原定態(tài)解中，哪些仍是解，哪些不再是解，需要重新求？提示：（1）熟練掌握諧振子能量本征函數(shù)及其特點(diǎn)（2）了解δ函數(shù)的作用，會使用躍變條件V(x)x0第16頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1.10質(zhì)量為的粒子在勢場中作一維運(yùn)動，兩個能量本征函數(shù)分別為

均為實(shí)常數(shù)。試確定參數(shù)的取值，并求這兩個態(tài)的能量之差。提示：（1）盡管沒有給出勢場的具體形式，但薛定諤方程的形式是確定的，可以從波函數(shù)出發(fā)來求勢場。（2）根據(jù)勢場的性質(zhì)確定波函數(shù)的特點(diǎn)及相關(guān)參數(shù)。（3）根據(jù)所得波函數(shù)代入薛定諤方程求得能量差。第17頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)鍵：等效方法將長度變量變?yōu)榻嵌茸兞繒褂孟鄳?yīng)δ函數(shù)的躍變條件1.11一質(zhì)量為的粒子在一圓周（周長為）上運(yùn)動。如果還存在函數(shù)勢

請求出系統(tǒng)的所有能級和相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。1.14粒子在二維勢場中運(yùn)動，其中為粒子質(zhì)量，求能量的本征值和本征函數(shù)。關(guān)鍵：兩維問題，消去相互作用，用一維方法求解第18頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四求解粒子能量本征值和本征函數(shù)；1.17質(zhì)量為的粒子被約束在半徑為的圓周上運(yùn)動。

(1)設(shè)立路障，進(jìn)一步限制粒子在的一段圓弧上運(yùn)動，m提示：兩個思路（1）寫出無障時任意時刻的波函數(shù)利用初條件（2）將有障波函數(shù)向無障波函數(shù)展開(2)設(shè)粒子處于情況(1)的基態(tài)，求突然撤去路障后粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率。0(2π)

φ0

2π(0)φ第19頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1.18質(zhì)量為的粒子處于一維諧振子勢場的基態(tài)，某時刻彈性系數(shù)突然變?yōu)?

即勢場變?yōu)?。求此時刻粒子處于新勢場的基態(tài)的幾率。m1.22一個質(zhì)量為的粒子處于的無限深方勢阱中，時，歸一化波函數(shù)為求(1)在后來某一時刻的波函數(shù)；(2)在與時體系的平均能量；(3)在時粒子處于內(nèi)的幾率。關(guān)鍵問題：所給波函數(shù)是體系的定態(tài)波函數(shù)嗎？第20頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1.25已知一維運(yùn)動的粒子在態(tài)中坐標(biāo)和動量的平均值分別為和，求在態(tài)中和的平均值。1.31設(shè)一維粒子由處以平面波入射，在原點(diǎn)處受到勢能的作用。(1)寫出波函數(shù)的一般表達(dá)式；(2)確定粒子在原點(diǎn)處滿足的邊界條件；(3)求出該粒子的透射系數(shù)和反射系數(shù)；(4)分別指出與時的量子力學(xué)效應(yīng)。第21頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四補(bǔ)充例題：提示：這是個常規(guī)題，需要求出各區(qū)的波函數(shù)及反射系數(shù)，利用條件求解。1.33粒子被一維勢壘散射。當(dāng)粒子的能量時，有一半粒子被反射回去，求粒子的質(zhì)量所滿足的方程。0aV0x第22頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1、證明：具有不同能量的兩個束縛態(tài)，其波函數(shù)正交。

證明：令分別對應(yīng)能量，；結(jié)論與勢能的具體形式無關(guān)，應(yīng)該從S.eq出發(fā)。并對空間積分第23頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四

因?yàn)槭`態(tài)邊界條件是由于，則有即正交。﹟第24頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2、在氫原子的一個能量本征態(tài)中，測得其軌道角動量為零（s態(tài)），而有兩個同心球面是波函數(shù)的零點(diǎn)。求氫原子的能量。

解：三維有心力場系統(tǒng)波函數(shù)寫成

其中滿足方程

分析：求能量主要是求主量子數(shù)n，可通過與節(jié)點(diǎn)的關(guān)系來求。節(jié)點(diǎn)即波函數(shù)的零點(diǎn)，用節(jié)點(diǎn)法解題的依據(jù)是節(jié)點(diǎn)定理：對于一維束縛態(tài)，在基本區(qū)域內(nèi)（不含邊界點(diǎn)）基態(tài)無節(jié)點(diǎn)，第n個激發(fā)態(tài)有n

個節(jié)點(diǎn)。第25頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四對于本問題，，氫原子主量子數(shù)為氫原子能量為相當(dāng)于范圍內(nèi)的一維運(yùn)動,其行為可用徑向量子數(shù)描述。從波函數(shù)的形式看，角度方向零點(diǎn)由提供，徑向零點(diǎn)由提供。根據(jù)節(jié)點(diǎn)定理，對于確定的，徑向基態(tài)無節(jié)點(diǎn)，第個徑向激發(fā)態(tài)有個節(jié)點(diǎn)。﹟第26頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3、一質(zhì)量為m的粒子，處在勢能為的一維勢場中運(yùn)動，求粒子的本征能量和本征波函數(shù)。，為歸一化常數(shù)）本征函數(shù)為其中

中，粒子的能量（提示：已知在勢場另外，如果勢能變?yōu)樽兓瘑?？本征函?shù)呢？，本征能量發(fā)生第27頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四第二部分力學(xué)量算符一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.在經(jīng)典力學(xué)中的任一力學(xué)量是坐標(biāo)和動量的函數(shù)，它對應(yīng)量子力學(xué)中的厄米算符。的本征值為力學(xué)量的可測值。如果粒子的波函數(shù)是力學(xué)量算符的本征函數(shù),

本征值為，則測量該粒子的力學(xué)量時，得如果粒子的波函數(shù)不是力學(xué)量算符的本征函數(shù)，則測量該粒子的力學(xué)量時，得到的是平均值：第28頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2.算符的厄米共軛算符的定義是其中與是任意波函數(shù)。3.算符的厄米算符的定義是其中與是任意波函數(shù)。比較以上兩式可以看出，如果滿足條件：則是厄米算符。厄米算符具有如下性質(zhì)：(1)本征值是實(shí)數(shù)；(2)本征函數(shù)具有正交性。第29頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)力學(xué)量算符的本征函數(shù)為，相應(yīng)的本征值為：如果，則是正交的：如果，則不一定是正交的。設(shè)本征值相同的個本征函數(shù)相互不正交，可將它們作線性組合，一定可以得到個新的相互正交并且歸一的本征函數(shù)。因此厄米算符的本征函數(shù)一定可以使之滿足正交歸一條件第30頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四(3)在一定條件下，厄米算符本征函數(shù)具有完備性厄米算符的本征函數(shù)具有完備性是指任意波函數(shù)可以通過的所有本征函數(shù)全體集合表示為其中如果的個數(shù)為有限的，則是完備的。如果，則在本征值無上限的條件下是完備的。(4)厄米算符與存在共同本征函數(shù)完備系的充分必要條件是與對易。第31頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.量子力學(xué)中的基本對易關(guān)系是5.算符函數(shù)的定義是其中第32頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四6.算符與的不確定關(guān)系為其中不確定關(guān)系的一個重要例子是第33頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四

力學(xué)量為守恒量的條件是不含，且與哈密頓對易。7.力學(xué)量平均值隨時間的變化率為8.力學(xué)量完全集是一組線性無關(guān)的相互對易的力學(xué)量，它們的共同本征函數(shù)全體集合可以用來表示粒子的運(yùn)動態(tài)。在力學(xué)量完全集中，力學(xué)量的個數(shù)為粒子運(yùn)動的維數(shù)。例如對于在三維中心力場中運(yùn)動的粒子，力學(xué)量完全集可以是或或。第34頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四9.位力定理則在此勢場中束縛定態(tài)上的動能與勢能的平均值之間滿足如下關(guān)系：10.F-H(Feynman-Hellmann)定理設(shè)粒子屬于能量本征值的本征態(tài)為，即如勢場為的次齊次函數(shù)第35頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四第一式對求導(dǎo)得上式左乘，并利用第二式和歸一化條件，得到對束縛態(tài)，有此式即為Feynman-Hellmann定理。比較重要！其共軛方程為又設(shè)是從而是的參數(shù),第36頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四二、例題2.5設(shè)算符，又設(shè)為的本征矢,相應(yīng)本征值為.求證和也是的本征矢，并求出相應(yīng)的本征值。2.2動量在徑向方向的分量定義為求出在球坐標(biāo)中的表達(dá)式注意三問題：1.求算符的表達(dá)式勿忘作用任意波函數(shù)

2.不論在何種坐標(biāo)中，是不變的

3.拉普拉斯算符在球坐標(biāo)中的表示第37頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四第38頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2.6粒子作一維運(yùn)動，,定態(tài)波函數(shù)為(2)利用(1)推導(dǎo)求和公式(3)證明學(xué)會利用公式(1)證明并求系數(shù)思路：如何第39頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四同理所以又因?yàn)槔脤σ钻P(guān)系即可證出。證明：由于第40頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2.8已知是和的共同本征函數(shù)，本征值分別為和，令。(1)證明仍是和的共同本征函數(shù)，求出它們的本征值；關(guān)鍵是要理解下式是如何來的？(2)推導(dǎo)公式容易證明是算符屬于本征值的本征函數(shù),也是算符征值屬于本的本征函數(shù).但又知的本征值是非簡并的,故這兩個本征函數(shù)最多相差一常數(shù)。而第41頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2.13設(shè)粒子處于狀態(tài),求軌道角動量分量及分量平均值與，以及與。關(guān)鍵是如何求常數(shù)考慮用球諧函數(shù)的正交歸一性和角動量算符的對易關(guān)系將式兩邊取厄米共軛，有以上兩式相乘并對全空間積分，有利用容易得到第42頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2.19一維諧振子處于定態(tài)，計(jì)算，檢驗(yàn)測不準(zhǔn)關(guān)系。2.21已知束縛態(tài)波函數(shù)為，求動量與動能的幾率分布函數(shù)的表達(dá)式。對一維諧振子基態(tài)，波函數(shù)算出動量與動能的幾率分布函數(shù)，并算出動能平均值。注意適當(dāng)時候會使用位力定理和F-H定理提示：第43頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四已知Fourier變換其意義是：波函數(shù)按照動量算符的本征函數(shù)來展開展開系數(shù)是則動量的幾率分布函數(shù)可表示為而由于的動能T相同，且若動能的幾率分布函數(shù)用F(T)表示,則有而則由此給出動能平均值第44頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2.23質(zhì)量為的粒子在外場的作用下作一維運(yùn)動，已知當(dāng)其處于束縛態(tài)時，動能平均值為，并已知是實(shí)函數(shù)。試求當(dāng)粒子處于態(tài)時動量平均值與動能平均值。另外，如何理解：束縛態(tài)中動量的平均值為零？思路比較明確，利用已知條件，并會證明束縛態(tài)中動量的平均值為零。第45頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四補(bǔ)充題一電子在帶電量為+Q

的真空點(diǎn)電荷勢場中運(yùn)動，設(shè)電子處于定態(tài)，利用位力(Virial)定理證明勢能V與動能T存在關(guān)系

證明：題目實(shí)已給出中心力場勢的形式利用位力定理因?yàn)樗源胛涣Χɡ恚屑吹?6頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四第三部分表象理論一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.動量表象波函數(shù)的絕對值平方為動量幾率密度。表示時刻粒子的三個動量分量在的幾率。t動量表象波函數(shù)與坐標(biāo)表象波函數(shù)之間的關(guān)系是第47頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四對一維運(yùn)動，以上兩式變?yōu)?.滿足方程應(yīng)該學(xué)會把S方程直接從坐標(biāo)表象變換到動量表象第48頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四以一維運(yùn)動為例，坐標(biāo)表象中的S.Eq為方程兩邊取動量表象，上式成為按照約定，上式變?yōu)榈米C。第49頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四對一維運(yùn)動，以上兩式變?yōu)槿绻麆菽懿缓瑃，則E

為定態(tài)能量，滿足定態(tài)方程第50頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四如果勢能可以表示成的正冪次級數(shù)則定態(tài)方程為在本征值為分立的力學(xué)量表象中，波函數(shù)表示為一列矩陣其中第51頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四

是的第個本征函數(shù)在表象中，力學(xué)量表示為方矩陣波函數(shù)與算符由表象到表象變換的公式為第52頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四將它們依次排列起來得到注意：變換矩陣S的定義與教材中略有不同其中矩陣可以通過在表象求出的所有本征態(tài)矢第53頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四則從原表象到新表象的變換矩陣元可表示為在教材中，原表象基矢用表示新表象基矢用表示意義：原表象第k個基矢在新表象第α個基矢中的分量。而在本參考書中，表示新表象的第1個基矢在原表象的第2個基矢上的分量。建議使用本教參中的定義。第54頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四表象變換中基矢之間變換矩陣的問題,可簡單證明如下：其中表示從Q表象（基矢為）到Q’表象（基矢為）的變換矩陣。

不失一般性，設(shè)F的本征態(tài)在Q表象的表示為，在Q’表象的表示為，則有第55頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四或根據(jù)表示。顯然是幺正矩陣S的行列矩陣元。是的本征態(tài)。由上式可知，的第個本征態(tài)在Q表象內(nèi)用第56頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四即有﹟因而在Q表象內(nèi)解出的的第個本征矢正好是S矩陣的第列元素。故把在Q表象內(nèi)解得的本征矢按照本征值的順序并列，就得幺正變換矩陣第57頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四二、例題3.1在表象求解勢阱中的束縛態(tài)能量和波函數(shù)()。提示：基本思路同在坐標(biāo)表象，就是換了個表象不過對δ勢采用動量表象好一些。解：利用在動量表象中的定態(tài)方程其中對應(yīng)束縛態(tài)代入上式積分，得第58頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四方程右邊與無關(guān)，兩邊可對求導(dǎo)，有其解為為求能量，將上式代入前式中的積分，有由此得定態(tài)能量代入波函數(shù)的形式解內(nèi)，并將其歸一化，有不如坐標(biāo)表象中的解簡單第59頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四試計(jì)算，驗(yàn)證測不準(zhǔn)關(guān)系。3.2已知在勢阱中的定態(tài)歸一化波函數(shù)()為提示：基本思路同在坐標(biāo)表象，就是換了個表象要注意坐標(biāo)算符在動量表象中的表示第60頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3.4質(zhì)量為的粒子在均勻力場中運(yùn)動，運(yùn)動范圍限制在。試給出動量表象中的定態(tài)方程并求出定態(tài)波函數(shù)。3.5質(zhì)量為的粒子在均勻力場中運(yùn)動，為其在動量空間的幾率密度，求與的關(guān)系。類比教材中在坐標(biāo)表象下研究定域的幾率守恒方法來做提示：將力場變?yōu)閯輬龅?1頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)時體系態(tài)矢為3.8有一量子體系，其態(tài)矢空間三維，選擇基矢。體系的哈密頓及另兩個力學(xué)量與為(1)在時測量體系能量可得哪些結(jié)果？相應(yīng)幾率多大？計(jì)算及。(2)如在時測量，可能值及相應(yīng)幾率多大？寫出測量后體系的態(tài)矢量。(3)計(jì)算任意時刻與的平均值與根據(jù)測量結(jié)果寫出態(tài)矢量第62頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3.9厄米算符與滿足且。求(1)在表象中算符與的矩陣表示；

(2)在表象中算符的本征值與本征態(tài)矢；

(3)求由表象到表象的幺正變換矩陣，并把矩陣對角化。解：(1)需要A表象的基矢是什么，即求A算符的本征基矢令本征值為α，本征態(tài)為ψ，則有顯然由于在A表象中，A算符的矩陣表示為對角矩陣，對角元就是本征值，從而有第63頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四而由于A，B算符不對易，故無共同的本征態(tài)，在A表象下B算符不是對角矩陣，令為代入可得從而有由于B是厄米算符，故有即所以從而有代入有其中φ為任意實(shí)數(shù)。取則這樣在A表象下(2)A表象下B算符的本征值及本征態(tài)矢容易求出第64頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3.10在的表象中，基矢為求與的矩陣表示。令本征值為β，本征矢為即有解得(3)求A表象到B表象的變換矩陣：將原表象A下求得的新表象B的本征態(tài)矢按照本征值的次序排列就是變換矩陣此矩陣可以將B算符對角化，即第65頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3.12一個量子體系處于角動量的共同本征態(tài)上，總角動量平方值為。已知測量得值為0的幾率是1/2，求測量得值為的幾率。波函數(shù)用球函數(shù)展開3.13粒子處于態(tài)，其中為正實(shí)數(shù)，C為歸一化常數(shù)。求(1)的取值；

(2)的平均值；(3)的幾率；(4)的可能取值及相應(yīng)的幾率。角度部分波函數(shù)用Lx的本征函數(shù)展開需要掌握幾個球函數(shù)的表達(dá)式第66頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3.18在由正交基矢構(gòu)成的三維態(tài)矢空間中，哈密頓算符與力學(xué)量的矩陣為(1)證明為守恒量；(2)求出與的共同本征態(tài)矢組。補(bǔ)充題：提示：注意利用曾書chap.5中的定理：非簡并本征態(tài)必為某一守恒量的本征態(tài)。第67頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四1、質(zhì)量為的粒子在勢場中作一維運(yùn)動，試建立動量表象中的能量本征方程。

解：采用狄拉克符號，能量本征方程可寫為（1）所以（2）將（2）代入（1）得已知以左乘上式得第68頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四

其中定義上式即為表象中的能量本征方程。其中代入上式得（3）﹟第69頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四證明：（1）2、如是哈密頓算符屬于能量的本征函數(shù)，（），證明（1）（2）進(jìn)一步證明i為簡并指標(biāo)第70頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四（2）利用則有但由（1）得即代入前式得﹟第71頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四第四部分中心力場問題一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.在中心力場中，定態(tài)波函數(shù)可以表示為其中滿足方程

滿足方程與邊界條件第72頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四2.帶有電荷的粒子在電磁場中的哈密頓為波函數(shù)為的粒子在電磁場中的幾率流密度為或這里是粒子的速度算符。其中為正則動量，與分別是電磁場的矢勢與標(biāo)勢。第73頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四3.在三維無限深方勢阱中，定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)為第74頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.在三維各向異性諧振子勢場中，定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)為第75頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四5.在類氫離子勢場中，定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)為其中是Bohr半徑，分別是主量子數(shù)、軌道量子數(shù)和磁量子數(shù)，且另：若徑向量子數(shù)用表示，則有第76頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四二、例題提示：這是一個球方勢阱問題，且l=0，利用到徑向波函數(shù)u(r)所滿足的方程。另外，有限深勢阱問題一般要涉及求解超越方程！4.1質(zhì)量為的粒子在三維方勢阱中運(yùn)動，求存在s波束縛態(tài)的條件。解：s波束縛態(tài)必定是l=0的基態(tài)。設(shè)波函數(shù)為則u(r)所滿足的方程為邊條件是作為束縛態(tài)，能量范圍應(yīng)該令第77頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四則分區(qū)寫出的u(r)所滿足的方程為容易求出滿足邊條件的解為由波函數(shù)連續(xù)得由波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)得上下兩式相比，有令上式變?yōu)榱硗庥缮享摰亩x可得這是我們知道的超越方程組，其存在束縛態(tài)的條件是第78頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.2粒子處于三維球殼勢阱中，求存在束縛態(tài)的條件。提示：這仍是一個球方勢阱問題思路同上題。另外，要考慮到利用δ勢中波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的躍變條件。解：則u(r)所滿足的方程為其中滿足條件的解是如何求得？利用邊界條件（包含躍變條件）得第79頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四兩式相比化簡，并令x=2ka得其解可通過求超越方程得到0x0xy將交點(diǎn)x0代入x=2ka求得k并代入求得本征能量何時有解？顯然唯有此時容易解出存在束縛態(tài)的條件第80頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.4設(shè)粒子的定態(tài)波函數(shù)，其中與是常數(shù)。已知。求定態(tài)能量和勢能。分析：這顯然是一個中心力場問題。給出的是定態(tài)波函數(shù)，去求勢函數(shù)，因而是一個反問題。其基本思路是，寫出徑向定態(tài)方程，代入定態(tài)波函數(shù)，利用所給條件，求出定態(tài)能量和勢能函數(shù)。思考：如何處理？第81頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.7質(zhì)量為電荷為的粒子在方向互相垂直的均勻電場和均勻磁場中運(yùn)動，求定態(tài)能量與波函數(shù)。分析：這是一個粒子在電磁場中的運(yùn)動問題。其中有電場，也有磁場，故H取其完全形式。解：設(shè)電場方向沿y軸，強(qiáng)度為ε；磁場方向沿z軸，強(qiáng)度為B。取不對稱規(guī)范，即其中則這樣，電磁場的矢勢和標(biāo)勢分別為相應(yīng)的電場和磁場分別為哈密頓的完全形式是第82頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四顯然同對易，三量存在共同本征態(tài)。而由于是守恒量，可以認(rèn)為粒子在x,z方向的運(yùn)動是自由粒子運(yùn)動—平面波函數(shù)，故它們的共同本征態(tài)可以寫為代入哈密頓算符的本征值方程可以得到所滿足的方程第83頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四這里可以作為常數(shù)處理。令上式可變?yōu)檫M(jìn)一步令上式就簡化為這是我們熟知的形式---一維諧振子的定態(tài)方程。其解為將上述變量進(jìn)行相應(yīng)代換，就得到粒子的定態(tài)能量和波函數(shù)。第84頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.8(1)已知帶有電荷的粒子在磁場與勢場中運(yùn)動。求帶電粒子速度分量算符的對易關(guān)系的表達(dá)式。

(2)質(zhì)量帶電荷的粒子在磁場中的哈密頓為

請問在什么情況下它可以寫成的形式？

(3)設(shè)，略去第二式中的項(xiàng)，求出與相應(yīng)的Sch?rdinger方程的解。對第三問進(jìn)行分析：第85頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)方向?yàn)閦方向，則S-方程為因勢函數(shù)中含有時間，無法進(jìn)行分離變量。

可用動量表象試一下。方程變?yōu)?/p>

為有利于求解，方程可化為

積分后得這就是動量表象中S-方程的解。第86頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.9處于基態(tài)的類氫原子經(jīng)衰變，核電荷數(shù)突然由變?yōu)?，求原子處于態(tài)的幾率。已知類氫原子定態(tài)波函數(shù)為4.10氫原子處于基態(tài)。假定庫侖作用在時突然消失，電子離開原子像自由電子那樣運(yùn)動。試求時測量電子動量大小在內(nèi)的幾率。提示：可以認(rèn)為動量方向是沿z方向，從而有問題：電子離開原子后，動量分布還會發(fā)生變化嗎？第87頁，共97頁，2023年，2月20日，星期四4.13在勢場中粒子處在定態(tài),證明粒子動能的平均值為；如果是的次齊次函數(shù)，證明，并利用此式計(jì)算氫原子基態(tài)的。4.12一粒子被束縛在半徑為的鋼球盒內(nèi)。求處于基態(tài)的