高等數(shù)學(xué)冪級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)課件冪級(jí)數(shù)2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件第1頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).對(duì)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為其收斂域;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱(chēng)收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為其發(fā)散域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件為級(jí)數(shù)的和函數(shù),并寫(xiě)成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)稱(chēng)它機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件例如,

等比級(jí)數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散;所以級(jí)數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).即是此種情形.的情形,即稱(chēng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級(jí)數(shù)則對(duì)滿(mǎn)足不等式的一切x冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)滿(mǎn)足不等式證:設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使阿貝爾目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件當(dāng)時(shí),收斂,故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿(mǎn)足不等式所以若當(dāng)滿(mǎn)足且使級(jí)數(shù)收斂,面的證明可知,級(jí)數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.

時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第7頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件冪級(jí)數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R=0時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在x=0收斂;R=時(shí),冪級(jí)數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱(chēng)為收斂域.R稱(chēng)為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱(chēng)為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件定理2.

若的系數(shù)滿(mǎn)足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散.即時(shí),1)當(dāng)≠0時(shí),2)當(dāng)＝0時(shí),3)當(dāng)＝∞時(shí),即時(shí),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對(duì)收斂,3)若則對(duì)除x=0以外的一切x原級(jí)發(fā)散,對(duì)任意x原級(jí)數(shù)因此因此的收斂半徑為說(shuō)明:據(jù)此定理因此級(jí)數(shù)的收斂半徑機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件對(duì)端點(diǎn)x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對(duì)端點(diǎn)x=1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級(jí)數(shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件例2.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件例3.的收斂半徑.解:級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件例4.的收斂域.解:令級(jí)數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣试?jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧礄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理3.

設(shè)冪級(jí)數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件說(shuō)明:兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件定理4

若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑(證明見(jiàn)第六節(jié))則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注:逐項(xiàng)積分時(shí),運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件解:由例2可知級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件例6.

的和函數(shù)解:易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件例7.

求級(jí)數(shù)的和函數(shù)解:易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件例8.解:

設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件而故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第23頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)1.求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過(guò)換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第24頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)1.已知處條件收斂,問(wèn)該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級(jí)數(shù)在收斂,時(shí)發(fā)散.故收斂半徑為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第25頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件2.在冪級(jí)數(shù)中,n為奇數(shù)n為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂,時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,說(shuō)明:可以證明比值判別法成立根值判別法成立機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件P2151(1),(3),(5),(7),(8)2(1),(3)P2577(1),(4)8(1),(3)作業(yè)第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè)，共29頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2023/5/9高等數(shù)學(xué)課件阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時(shí)就解決了用根式解5次方程的不可能性問(wèn)題,他還研究了更廣的一并稱(chēng)之為阿貝爾群.在級(jí)數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理.論的奠基人