高一數(shù)學(xué)必修1主要考點(diǎn)VIP

中學(xué)數(shù)學(xué)必修1主要考點(diǎn)考點(diǎn)一：集合間的運(yùn)算：求交集(A∩B）、并集(A∪B)、補(bǔ)集(CUA)類型題1：用列舉法表示的集合間的運(yùn)算對(duì)于用列舉法表示的集合間的運(yùn)算，A∩B（交集）為A與B的相同元素組成的集合，A∪B（并集）為A與B的全部元素合在一起并把重復(fù)元素去掉一個(gè)所組成的集合，CUA（補(bǔ)集）為在全集U中把A擁有的元素全部去掉剩下的元素所組成的集合。例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7}，集合B={2,5,8}，求A∩B，A∪B，CUA。解：A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5}A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8} CUA={2,4,6,8,9,10} 類型題2：用描述法表示的集合間的運(yùn)算（主要針對(duì)用不等式描述元素特征）對(duì)于用描述法表示的集合間的運(yùn)算，主要采納數(shù)形結(jié)合的方法，將集合用數(shù)軸或文氏圖表示出來(lái)（常選用數(shù)軸表示），再通過視察圖形求相應(yīng)運(yùn)算。A∩B（交集）為圖形中A與B重疊即共同擁有的部分表示的集合。A∪B（并集）為圖形中A加上B所表示的集合。CUA（補(bǔ)集）為圖形中表示全集U的部分中去除表示A剩下的部分所表示的集合（若全集為R，則數(shù)軸表示時(shí)是整條數(shù)軸）留意表示數(shù)軸是帶有等于號(hào)的用實(shí)心點(diǎn)表示，沒帶等于號(hào)的用空心點(diǎn)表示。例2、已知集合A={x|0<x<2}，B={x|-1<x<3}，求A∩B，A∪B，CRA。解：A∩B={x|0<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|0<x<2}數(shù)軸表示：（此部分可在草稿紙進(jìn)行）數(shù)軸表示：（此部分可在草稿紙進(jìn)行）A∪B={x|0<x<2}∪{x|-1<x<3}={x|-1<x<3}數(shù)軸表示：（此部分可在草稿紙進(jìn)行）數(shù)軸表示：（此部分可在草稿紙進(jìn)行）CRA={x|x≤0或x≥2}數(shù)軸表示：（此部分可在草稿紙進(jìn)行）數(shù)軸表示：（此部分可在草稿紙進(jìn)行）考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）分式的分母不為0；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于0，0取0次方?jīng)]有意義（即指數(shù)為0的冪函數(shù)底數(shù)不能為0）；（3）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必需大于0；（4）指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必需大于0且不等于1；（5）當(dāng)函數(shù)涉及實(shí)際問題時(shí)，還必需保證明際問題有意義。（6）假如f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合。（即求各集合的交集）留意：函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式。例1：已知函數(shù)f(x)=+，求函數(shù)的定義域。解：解得：∴所給函數(shù)的定義域?yàn)椤＠?、求函數(shù)的定義域。解：解得：∴所給函數(shù)的定義域?yàn)椤＠?、求函數(shù)的定義域。解：解得：∴所給函數(shù)的定義域?yàn)?。?、設(shè)一個(gè)矩形周長(zhǎng)為80，其中一邊長(zhǎng)為x，求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式，并寫出定義域.解：由題意知，另一邊長(zhǎng)為，且邊長(zhǎng)為正數(shù)，所以0＜x＜40.所以s==（40－x）x（0＜x＜40）考點(diǎn)三：相同函數(shù)的推斷eq\o\ac(○,1)構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定的，所以，假如兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）eq\o\ac(○,2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。例1、下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？（1）y=()2;（2）y=();（3）y=;（4）y=解：函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽，對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=x；（1）y=()2的定義域?yàn)閧x|x>0}，定義域不相同；（2）y=()定義域?yàn)镽，化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=x，與y=x為同一函數(shù)；（3）y=定義域?yàn)镽，化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=|x|，對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同；（4）y=定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域不相同。考點(diǎn)四：?jiǎn)握{(diào)性證明及性質(zhì)應(yīng)用1、定義一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，假如對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的隨意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；假如對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的隨意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。2、性質(zhì)增函數(shù)：在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，對(duì)于隨意x1<x2，均有f(x1)<f(x2)，且函數(shù)圖象在此區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；減函數(shù)：在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，對(duì)于隨意x1<x2，均有f(x1)>f(x2)，且函數(shù)圖象在此區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)；3、定義法證明單調(diào)性步驟①在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取x1，x2∈D，且x1<x2；（取值） ②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號(hào)（即推斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．例1、證明函數(shù)f（x）＝在［3,5］上是減函數(shù)。證明：設(shè)，且，則，，因此，函數(shù)f（x）＝在［3,5］上是減函數(shù)。4、利用函數(shù)單調(diào)性求變量取值范圍常見給出一個(gè)二次函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，并求變量的取值范圍。此類題型留意二次函數(shù)的對(duì)稱軸必需落在所給單調(diào)區(qū)間的外面，再結(jié)合二次函數(shù)開口方向即可求解。例2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為：∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)又由題意知：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)∴，解得：∴實(shí)數(shù)的取值范圍為考點(diǎn)五：求函數(shù)最值：求函數(shù)最值一般結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解例1、求函數(shù)，的最大值與最小值。解：∵函數(shù)為二次函數(shù)，圖像開口向上，對(duì)稱軸為x=1∴函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最小值f(1)=-2，又f(0)=f(2)=-1，故函數(shù)最大值為-1?？键c(diǎn)六：奇偶性推斷及性質(zhì)應(yīng)用1、定義偶函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的隨意一個(gè)，都有，那么就叫做偶函數(shù)．（學(xué)生活動(dòng)）依照偶函數(shù)的定義給稀奇函數(shù)的定義．奇函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)的定義域的隨意一個(gè)，都有，那么就叫做奇函數(shù)．2、性質(zhì)偶函數(shù)：，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；圖象在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反。奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，；圖象在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同。典型題：利用奇偶性性質(zhì)求函數(shù)解析式例1、函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式。解：令則是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，。∴當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為：3、推斷奇偶性步驟：①首先確定函數(shù)的定義域，并推斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②確定；③作出相應(yīng)結(jié)論：若；若例2、推斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）解：（1）的定義域?yàn)閧2}，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2）的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又∴是偶函數(shù)考點(diǎn)七：指數(shù)式、對(duì)數(shù)式運(yùn)算1、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）· （2） （3）2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：假如，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．3、換底公式： （，且；，且；）．例1計(jì)算下列各式的值：（1）(2)(3)解：（1）（2）（3）考點(diǎn)八：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)過定點(diǎn)問題利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)過定點(diǎn)求解：指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)（0,1），即當(dāng)x=0時(shí)，y=1（即ax=1）。對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)（1,0），即當(dāng)x=1時(shí)，y=0（即logax=0）。冪函數(shù)圖象過定點(diǎn)（1,1），即當(dāng)x=1時(shí)，y=1（即xa=1）。例：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)。解：由指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)（0，1）可知：當(dāng)x-2=0時(shí)，ax-2=1，則y=ax-2+1=1+1=2，即當(dāng)x=2時(shí)，y=ax-2+1=2，因此，函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2，2）?？键c(diǎn)九：指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式借助指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)（尤其是單調(diào)性）求解：指數(shù)函數(shù)：若0<a<1：當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0＜y<1。在定義域上減。若a>1：當(dāng)x<0時(shí)，0＜y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1。在定義域上增。對(duì)數(shù)函數(shù)：若0<a<1：當(dāng)0<x<1時(shí),y>0；當(dāng)x>1時(shí),y<0。在定義域上減。若a>1：當(dāng)0<x<1時(shí),y<0；當(dāng)x>1時(shí),y>0。在定義域上增。留意別忽視對(duì)數(shù)式對(duì)真數(shù)的限制：真數(shù)大于0。例：解不等式解：∵對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于0，∴解得又函數(shù)在上是增函數(shù)∴原不等式化為解得∴原不等式的解集是考點(diǎn)十：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求變量取值范圍例：已知函數(shù)y=(a+1)x在R上為減函數(shù)，求變量a的取值范圍。解：由函數(shù)y=(a+1)x在R上為減函數(shù)可知：0<a+1<1解得：-1<a<0因此，變量a的取值范圍為{a|-1<a<0}?？键c(diǎn)十一：零點(diǎn)問題1、方程與函數(shù)的關(guān)系：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)．2、求函數(shù)零點(diǎn)（或方程的根）所在區(qū)間：方法一：（代入法）對(duì)于選擇題，可選用代入法，依據(jù)零點(diǎn)定理（y=f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，假如有f(a)f(b)<0，則：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)，方程f(x)=0在（a，b）內(nèi)有實(shí)根。）確定零點(diǎn)所在區(qū)間。例1：函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）A、（-2，-1）B、（-1，0）C、（0，1）D、（1，2）【解析】代入法。選C。方法二：（圖像法）若所給函數(shù)由基本初等函數(shù)組合而成（即G(x)=g(x)-f(x)），可將函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程化成f(x)=g(x)的形式，則零點(diǎn)所在區(qū)間就是這兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)圖像交點(diǎn)所在區(qū)間。在坐標(biāo)軸上畫出兩個(gè)函數(shù)的圖形，找出圖像交點(diǎn)所在區(qū)間即可。如上面的例1中函數(shù)對(duì)應(yīng)方程可化為，在坐標(biāo)軸上畫出函數(shù)的圖象，可發(fā)覺兩函數(shù)圖象交點(diǎn)在區(qū)間（0，1）內(nèi)。3、求函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)或依據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求變量取值范圍。求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即求對(duì)應(yīng)方程的