平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)

平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)第一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六求解：取出一個三角形微分體（包含面，面，面），邊長問題斜面應(yīng)力表示：第二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六yxPAPBppxpyτNσNn平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)幾何參數(shù)：設(shè)AB面面積=ds，PB面積=lds，PA面積=mds。斜面上應(yīng)力分解為：由∑Y=0得：第三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六由平衡條件，并略去高階分量體力項，得(1)求（,）斜面應(yīng)力其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。第四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)yxPAPBppxpy斜面上應(yīng)力分解為：τNσN（2-4）（2-5）已知P點應(yīng)力σxσyτxy可求出過P點任意斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力（σNτN）利用（2-4）（2-5）應(yīng)力在x，y軸上的投影（px，py）利用（2-3）n第五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六說明：（1）運用了剪應(yīng)力互等定理：（2）的正負號規(guī)定：將N轉(zhuǎn)動90°而到達的方向是順時針的，則該為正；反之為負。（3）若AB面為物體的邊界S，則（2-18）——平面問題的應(yīng)力邊界條件yxPAPBppxpyτNσNn第六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六主平面主應(yīng)力：剪應(yīng)力等于零的平面叫主平面主平面上的應(yīng)力叫主應(yīng)力。σpxpyyxAPBnσ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0第七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六σpxpyyxAPBn注意:①平面應(yīng)力狀態(tài)下,任一點一般都存在兩個主應(yīng)力。二者方向互相垂直。②σ1+σ2=σx+σy③任一點主應(yīng)力值是過該點各截面上正應(yīng)力中的極值。④最大剪應(yīng)力所在平面與主平面相交45°，其值為⑤主平面上剪應(yīng)力等于零，但τmax

作用面上正應(yīng)力一般不為零。而是：第八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六將x，y放在方向，列出任一斜面上應(yīng)力公式，可以得出（設(shè) ）求最大，最小應(yīng)力最大，最小應(yīng)力說明：以上均應(yīng)用彈力符號規(guī)定導(dǎo)出。(d)第九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六最大、最小剪應(yīng)力由顯然，當(dāng)時，τN為最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向與σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABNs第十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六小結(jié)：（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18）——平面問題的應(yīng)力邊界條件（1）斜面上的應(yīng)力第十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六（2-8）表明：σ1與σ2互相垂直。（2）一點的主應(yīng)力、應(yīng)力主向、最大最小應(yīng)力（2-7）τmax、τmin的方向與σ1（σ2）成45°。第十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六注意：與的符號規(guī)定（主應(yīng)力方向逆時針轉(zhuǎn)到x軸為正）例：已知平面一點的應(yīng)力狀態(tài)為。求該點的主應(yīng)力和主平面方向。解：平面問題的基本理論第十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六試證明：在發(fā)生最大和最小剪應(yīng)力的面上,正應(yīng)力的

數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值。第十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例題已知X=q，

y=0，xy=

-2q，求：1，2，α11=2.562q

2=-1.562qtgα1=-0.781α1=-37.99o=-37o59`第十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六問題：平面問題中，(a)已知一點的應(yīng)力為，那么任一方向的正應(yīng)力n為

n為

;（b）已知那么

第十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六§2-6邊界條件1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）幾何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）未知量數(shù)：8個方程數(shù)：8個結(jié)論：在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，上述8個方程可解。第十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六位移邊界條件

－－設(shè)在部分邊界上給定位移分量和,則有（在上)。（a）邊界條件

－－表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。第十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六⑵若為簡單的固定邊，則有位移邊界條件的說明：（在上）。（b）⑶它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條件，或位移保持連續(xù)性的條件。 ⑴它是函數(shù)方程，要求在上每一點，位移與對應(yīng)的約束位移相等。第十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六通過三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式，應(yīng)力邊界條件－－設(shè)在上給定了面力分量（在A中）。（c）第二十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應(yīng)力邊界條件:第二十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六⑴它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說明應(yīng)力邊界條件的說明：⑶式（c）在A中每一點均成立，而式（d）只能在邊界

s上成立；⑵它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點s上均滿足，這是精確的條件；第二十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六⑹所有邊界均應(yīng)滿足，無面力的邊界（自由邊）也必須滿足。⑷式（d）中，－－按應(yīng)力符號規(guī)定，，－－按面力符號規(guī)定；⑸位移,應(yīng)力邊界條件均為每個邊界兩個，分別表示，向的條件；說明第二十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六若x=a為正x面，l=1,m=0,則式(d)成為當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時，坐標(biāo)面第二十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六若x=-b為負x面，l=-1,m=0,則式(d)成為第二十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)力邊界條件的兩種表達式：兩種表達式⑵在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對

應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一

致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng)等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)同面力方向(給定)。⑴在邊界點取出微分體，考慮其平衡條

件，得式（d）或（e），（f）；第二十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六在斜面上，

在±坐標(biāo)面上，由于應(yīng)力與面力的符號規(guī)定不同，故式（e），（f）有區(qū)別。例如：兩種表達式第二十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例 列出邊界條件：第二十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)第二十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例2如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入邊界條件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N第三十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：由應(yīng)力邊界條件公式，有右側(cè)面：第三十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點A處無應(yīng)力存在。解：——平面應(yīng)力問題，在AC、AB邊界上無面力作用。即AB邊界：由應(yīng)力邊界條件公式，有（1）AC邊界：代入應(yīng)力邊界條件公式，有（2）∵A點同處于AB和AC的邊界，∴滿足式（1）和（2），解得∴A點處無應(yīng)力作用第三十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其邊界條件。例6第三十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。上側(cè)：下側(cè)：第三十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。例6上側(cè)：下側(cè)：N第三十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六（3）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。(2)物體的同一部分邊界上，其中一個為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。如：圖(a)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件圖(b)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件第三十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六⑴部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件；混合邊界條件混合邊界條件：⑵同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應(yīng)力邊界條件。第三十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例3

列出的邊界條件：第三十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

彈性力學(xué)問題是微分方程的邊值問題。應(yīng)力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理可用于簡化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。第三十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。圣維南原理圣維南原理：第四十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六圣維南原理1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界（小邊界，次要邊界或局部邊界）；圣維南原理的說明：4.遠處─指“近處”之外。3.近處─指面力變換范圍的一，二倍的局部區(qū)域；2.靜力等效─指兩者主矢量相同，對同一點主矩也相同；第四十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六圣維南原理圣維南原理表明，在小邊界上進行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒有明顯影響。圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠處的應(yīng)力可以不計。第四十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例1 比較下列問題的應(yīng)力解答：b第四十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六舉例：如何在局部邊界上應(yīng)用圣維南原理局部邊界，小邊界或次要邊界。舉例：圣維南原理的應(yīng)用PPPP/2P/2P/2P/2P/2P/2P/AP/AP第四十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例2 比較下列問題的應(yīng)力解答：推廣第四十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

圣維南原理的應(yīng)用：

1.推廣解答的應(yīng)用；

2.簡化小邊界上的邊界條件。應(yīng)用第四十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：⑴精確的應(yīng)力邊界條件如圖，考慮小邊界，第四十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。(a)在邊界上，第四十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件：在同一邊界x=l上，應(yīng)力的主矢量=

面力的主矢量（給定);應(yīng)力的主矩(M)=

面力的主矩（給定）.數(shù)值相等,方向一致.(b)⑵圣維南原理的應(yīng)用─積分的應(yīng)力邊界條件第四十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定；左端應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負號。第五十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六具體列出3個積分的條件：第五十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六即：應(yīng)力的主矢量、主矩的數(shù)值=面力的主矢量、主矩的數(shù)值；應(yīng)力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。

式中應(yīng)力主矢量，主矩的正方向,正負號的確定：

應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向，

應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力）×（正的矩臂）的方向。第五十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六討論：

1.如果只給出面力的主矢量，主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量，主矩；2.在負

x面，，由于應(yīng)力，面力的符號規(guī)定不同，應(yīng)在式(c)中右端取負號；3.積分的應(yīng)力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。第五十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

精確的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件方程個數(shù)

2 3方程性質(zhì)

函數(shù)方程（難滿足）

代數(shù)方程（易滿足）精確性

精確 近似適用邊界 大，小邊界小邊界比較：第五十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例7圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對O點的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設(shè)！第五十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六上端面：（方法2）取圖示微元體，可見，與前面結(jié)果相同。注意：必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，第五十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例：試問圖所示的兩個問題中OA邊的面力是否是靜力等效的（厚度設(shè)為1）并寫出積分邊界條件？第五十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六例題試列出圖(a)(b)的邊界條件。解:

(a)對于圖(a)的問題,在主要邊界y=±h/2

應(yīng)精確滿足下列邊界條件：次要邊界(b)在主要邊界x=0,b,應(yīng)精確滿足下列邊界條件:在小邊界

y=0第五十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用：PPAA截面應(yīng)力邊界條件：近似滿足注意：靜力等效平面問題的基本理論第五十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六思考題1、為什么在大邊界（主要邊界）上，不能應(yīng)用圣維南原理？2、試列出負面上積分的應(yīng)力邊界條件，設(shè)有各種面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。第六十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六(1)對復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界第六十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六⑴平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將進行變換。以下討論平面應(yīng)力問題。1.平面問題的基本方程及邊界條件平面問題§2－7按位移求解平面問題第六十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

⑵平面應(yīng)力問題

平面域A內(nèi)的基本方程:平衡微分方程（在A內(nèi)）第六十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六幾何方程物理方程（在A內(nèi)）（在A內(nèi)）第六十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)力邊界條件

位移邊界條件

（在上）（在上）S上邊界條件:8個未知函數(shù)必須滿足上述方程和邊界條件。第六十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

按位移求解（位移法）─取，為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含，的方程和邊界條件，從而求出，；再求形變和應(yīng)力。2.解法─消元法

解法第六十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）－－取為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。

這是彈力問題的兩種基本解法。第六十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六3.按位移求解⑵將其他未知函數(shù)用，表示：

形變用，表示─幾何方程;應(yīng)力先用形變來表示（物理方程），再代入幾何方程，用，表示:⑴取，為基本未知函數(shù)；按位移求解第六十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六第六十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六⑶在A中導(dǎo)出求，的基本方程─將式(a)代入平衡微分方程，上式是用，表示的平衡微分方程。第七十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六位移邊界條件

（在上）(d)（在上）(c)應(yīng)力邊界條件─將式(a)代入應(yīng)力邊界條件，⑷在S上的邊界條件第七十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期六

按位移求解時，，必須滿足A內(nèi)的方程(b)和邊界條件(c)，(d)。歸納：式(b)，(c)，(d)－－是求解，的條件;也是校核，是否正確的全部條件。第七十二