第14講雙曲線(xiàn)（原卷版）

第14講雙曲線(xiàn)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線(xiàn)的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線(xiàn)的焦距.知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?．雙曲線(xiàn)的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；2．若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿(mǎn)足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線(xiàn)中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線(xiàn)中靠焦點(diǎn)的一支；3．若常數(shù)滿(mǎn)足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)（包括端點(diǎn)）；4．若常數(shù)滿(mǎn)足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5．若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)。知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程6．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；7．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中橢圓、雙曲線(xiàn)的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線(xiàn)根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線(xiàn)的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線(xiàn)。當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上。知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?．當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，雙曲線(xiàn)的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。9．雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線(xiàn)本身所確定的，分別表示雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。10．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。11．對(duì)于雙曲線(xiàn)，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。知識(shí)點(diǎn)三：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍雙曲線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線(xiàn)x=-a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的。因此雙曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x≤-a或x≥a.對(duì)稱(chēng)性對(duì)于雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的中心。頂點(diǎn)①雙曲線(xiàn)與它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)。②雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線(xiàn)兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線(xiàn)段A1A2叫作雙曲線(xiàn)的實(shí)軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線(xiàn)段B1B2叫做雙曲線(xiàn)的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)。①雙曲線(xiàn)只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線(xiàn)的虛軸與橢圓的短軸混淆。②雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)。離心率①雙曲線(xiàn)的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線(xiàn)的離心率，用e表示，記作。②因?yàn)閏＞a＞0，所以雙曲線(xiàn)的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線(xiàn)的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線(xiàn)開(kāi)口就越開(kāi)闊。所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線(xiàn)開(kāi)口的大小程度。③等軸雙曲線(xiàn)，所以離心率。漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線(xiàn)x=±a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線(xiàn)y=±b，四條直線(xiàn)圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是。我們把直線(xiàn)叫做雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)；雙曲線(xiàn)與它的漸近線(xiàn)無(wú)限接近，但永不相交。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=離心率漸近線(xiàn)方程知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)弘p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。對(duì)于雙曲線(xiàn)，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)（1）已知雙曲線(xiàn)方程求漸近線(xiàn)方程：若雙曲線(xiàn)方程為，則其漸近線(xiàn)方程為已知雙曲線(xiàn)方程，將雙曲線(xiàn)方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線(xiàn)方程。（2）已知漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)方程：若雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，則可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線(xiàn)有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)等軸雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，為，因此等軸雙曲線(xiàn)可設(shè)為.知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線(xiàn)中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線(xiàn)段的幾何特征：雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線(xiàn)本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。雙曲線(xiàn)，如圖：（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng),焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；【題型歸納目錄】題型一：雙曲線(xiàn)的定義、條件題型二：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題題型四：軌跡方程題型五：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題型六：求雙曲線(xiàn)的離心率題型七：求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍題型八：由雙曲線(xiàn)離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：雙曲線(xiàn)中的范圍與最值問(wèn)題題型十：焦點(diǎn)三角形【典型題】題型一：雙曲線(xiàn)的定義、條件例1．（2022·上海·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線(xiàn) B．雙曲線(xiàn)一支 C．兩條射線(xiàn) D．一條射線(xiàn)例2．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)”，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·廣東·深圳市羅湖外語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線(xiàn) D．雙曲線(xiàn)例5．（2022·四川省資陽(yáng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知定點(diǎn)，，M是上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線(xiàn) B．橢圓 C．圓 D．直線(xiàn)例6．（2022·四川·自貢成外高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））當(dāng)時(shí)，方程所表示的曲線(xiàn)是（

）A．焦點(diǎn)在軸的橢圓 B．焦點(diǎn)在軸的雙曲線(xiàn)C．焦點(diǎn)在軸的橢圓 D．焦點(diǎn)在軸的雙曲線(xiàn)例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）方程，若兩實(shí)數(shù)異號(hào)，則它的圖像是（

）．A．圓，且圓心在軸上 B．橢圓，且焦點(diǎn)在軸上C．雙曲線(xiàn)，且焦點(diǎn)在軸上 D．雙曲線(xiàn)，且焦點(diǎn)在軸上例8．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）雙曲線(xiàn)的離心率大于的充分必要條件是（

）A． B． C． D．例9．（2021·西藏·拉薩中學(xué)高二階段練習(xí)）已知曲線(xiàn)C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（

）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線(xiàn)例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，則和所表示的曲線(xiàn)只可能是下圖中的（

）A． B．C． D．例11．（2021·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)的圖象大致是（

）A． B．C． D．題型二：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例12．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．例13．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高二階段練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．例14．（2022·廣東汕尾·高二期末）中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，則雙曲線(xiàn)C的方程為（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國(guó)·高二期末）已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．例16．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）若雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______.例17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)中心在原點(diǎn)，且以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為16，則雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．例18．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)?，雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)P到?的距離差的絕對(duì)值等于6，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.例19．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．例20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.例21．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程.例22．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，，焦點(diǎn)在x軸上；(2)焦點(diǎn)為?，經(jīng)過(guò)點(diǎn).例23．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為，，且雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.例24．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦距為6，頂點(diǎn)為，；(2)頂點(diǎn)為，，虛軸長(zhǎng)為2；(3)實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．例25．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.題型三：雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題例26．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例27．（2022·新疆·烏魯木齊101中學(xué)高二期中（文））設(shè)，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．6 B．12 C． D．例28．（2022·河南·舞陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為1，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．例29．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)和是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H，且，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．例30．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中）直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例31．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（文））雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離為（

）A． B． C．1 D．2例32．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8題型四：軌跡方程例33．（2022·河南洛陽(yáng)·高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例34．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程（

）A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1例35．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓的軌跡方程是（

）A．（） B．（）C． D．例36．（2022·河北邢臺(tái)·高二期末）設(shè)，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_____．例37．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，則點(diǎn)M的軌跡方程是___________.例38．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）斜率為2的平行直線(xiàn)截雙曲線(xiàn)所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是______．例39．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若動(dòng)圓與兩定圓及都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是___________.例40．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）已知圓：和圓：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為_(kāi)_____.例41．（2022·遼寧遼陽(yáng)·高二期末）設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______．例42．（2022·四川樂(lè)山·高二期末（理））從雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，則線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.例43．（2022·江蘇·高二）已知，，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則P點(diǎn)的軌跡是什么，并求點(diǎn)P的軌跡方程.例44．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足直線(xiàn)PA和直線(xiàn)PB的斜率之積為1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并指出其軌跡的圖形.例45．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線(xiàn)l：x＝的距離之比是常數(shù)(c>a>0)，求點(diǎn)M的軌跡方程．例46．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切．例47．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直線(xiàn)AB，AC的斜率之積為求頂點(diǎn)A的軌跡方程．例48．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知定圓和的半徑分別為1和2，，動(dòng)圓M與圓內(nèi)切，且與圓外切．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn)．例49．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如果過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)相交于點(diǎn)M，而且兩直線(xiàn)斜率的乘積為a，其中．(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)討論M的軌跡是何種曲線(xiàn)．例50．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）雙曲線(xiàn)，?為其左右焦點(diǎn)，是以為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓.(1)求的軌跡方程；(2)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足，求的軌跡方程.題型五：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例51．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（文））雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離為（

）A． B． C．1 D．2例52．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)具有共同的（

）A．實(shí)軸 B．虛軸 C．焦點(diǎn) D．漸近線(xiàn)例53．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)方程下列說(shuō)法中正確的有（

）A．焦點(diǎn)坐標(biāo)B．該雙曲線(xiàn)的圖象過(guò)點(diǎn)C．焦距為10D．雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得且例54．（2022·江蘇·高二）設(shè)表示雙曲線(xiàn)，則該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為（

）.A． B．2k C． D．例55．（2022·河南·舞陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的斜率可能是（

）A． B． C． D．例56．（2022·江蘇·高二）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．例57．（多選題）（2022·福建廈門(mén)·高二期末）曲線(xiàn)，則（

）A．C上的點(diǎn)滿(mǎn)足， B．C關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)C．C與x軸、y軸共有3個(gè)公共點(diǎn) D．C與直線(xiàn)只有1個(gè)公共點(diǎn)例58．（多選題）（2022·廣東茂名·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知雙曲線(xiàn)，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為B．漸近線(xiàn)方程為C．離心率為2D．過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且傾斜角為30°的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則例59．（2022·北京市第五中學(xué)高二期中）雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則______________，雙曲線(xiàn)的焦距為_(kāi)____________．例60．（2022·江蘇·高二）雙曲線(xiàn)=1的右焦點(diǎn)F到其中一條漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_______.例61．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線(xiàn)的焦距是______．例62．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則___________.例63．（2022·湖北省羅田縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F，若三角形ABF的面積為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)________.例64．（2022·河南·濮陽(yáng)一高高二期中（理））若雙曲線(xiàn)C的方程為，記雙曲線(xiàn)C的左、右頂點(diǎn)為A，B．弦PQ⊥x軸，記直線(xiàn)PA與直線(xiàn)QB交點(diǎn)為M，其軌跡為曲線(xiàn)T，則曲線(xiàn)T的離心率為_(kāi)_______．例65．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則__________．例66．（2022·上海市崇明中學(xué)高二期中）與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________.例67．（2022·全國(guó)·高二期末）與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)_____．例68．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列雙曲線(xiàn)的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率和漸近線(xiàn)方程：(1)；(2)．題型六：求雙曲線(xiàn)的離心率例69．（2022·江蘇·高二）若雙曲線(xiàn)的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例70．（2022·江蘇·高二）若橢圓的離心率為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B．2 C． D．3例71．（2022·江蘇·高二）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．例72．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線(xiàn)C的頂點(diǎn)為，，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，且是一個(gè)等邊三角形，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．例73．（2022·江西·上高二中模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線(xiàn)()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．例74．（2022·四川·成都七中高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．5 B． C． D．例75．（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)與以為直徑的圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O），與過(guò)F且垂直于軸的直線(xiàn)交于，若，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（

）A． B．3 C．5 D．例76．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于其中一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．例77．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，，線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)的左支相交于點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B．2 C． D．例78．（2022·河南洛陽(yáng)·高二階段練習(xí)（文））橢圓:=1（）的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為短軸的端點(diǎn)，當(dāng)丄時(shí)，橢圓的離心率為，我們稱(chēng)此類(lèi)橢圓為“黃金橢圓”.類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率為（

）A． B．C． D．例79．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，若四邊形是正方形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例80．（2022·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知橢圓與雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)重合，該雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．例81．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，是雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)，分別交軸和雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)，，且，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．例82．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線(xiàn)C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．例83．（2022·廣東·潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，若的右支上存在一點(diǎn)，使得外接圓的半徑為，且四邊形為菱形，則雙曲線(xiàn)的離心率是（

）A． B． C． D．例84．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高二期末（理））已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（

）A． B． C． D．例85．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中（文））已知雙曲線(xiàn)（a>0，b>0）的一條漸近線(xiàn)方程為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．題型七：求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍例86．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．例87．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若C的右支上的任意一點(diǎn)M滿(mǎn)足，則C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．例88．（2022·江西贛州·高二階段練習(xí)（文））圓上有四個(gè)點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的距離為2，則雙曲線(xiàn)E的離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．例89．（2022·河北·臨城中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的焦距大于，則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例90．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)，兩點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心不在以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi)部，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例91．（2022·湖南邵陽(yáng)·高二期末）設(shè)為雙曲線(xiàn)與橢圓的公共的左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)是以線(xiàn)段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線(xiàn)的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．例92．（2022·廣東廣州·高二期末）已知，是雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線(xiàn)的傾斜角，若，則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例93．（多選題）（2022·江蘇·高二）已知雙曲線(xiàn)，則（

）A．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上B．雙曲線(xiàn)的焦距等于C．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于D．雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為例94．（2022·黑龍江·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是____．例95．（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作軸的垂線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是__________.例96．（2022·云南·會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線(xiàn)有公共的焦點(diǎn)?，曲線(xiàn)和在第一象限相交于點(diǎn)P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是___________.例97．（2022·河南鄭州·高二期末（文））若點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則P滿(mǎn)足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線(xiàn)的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點(diǎn)Q，使得Q到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離的6倍，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是______．例98．（2022·廣西·賓陽(yáng)中學(xué)高二期末（文））已知橢圓和雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，，P為兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則的取值范圍是______．例99．（2022·四川·自貢成外高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是___________.例100．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為、，若在其漸近線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．例101．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在的一條漸近線(xiàn)上，若，則的離心率的取值范圍是________．題型八：由雙曲線(xiàn)離心率求參數(shù)的取值范圍例102．（2022·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例103．（2022·北京市第五十七中學(xué)高二期末）已知橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率之積為，則雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的傾斜角分別為（

）A． B． C． D．例104．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））若雙曲線(xiàn)的離心率，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例105．（2022·河南三門(mén)峽·高二期末（文））若雙曲線(xiàn)的離心率為3，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2例106．（2021·云南文山·高二期末（理））若雙曲線(xiàn)的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例107．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值和最小值時(shí)，的面積分別為，則（

）A．4 B．8 C． D．例108．（2021·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學(xué)高二期中（理））雙曲線(xiàn)的離心率為2，則k的值為（

）A．-35 B．19 C．-5 D．12例109．（多選題）（2022·浙江衢州·高二階段練習(xí)）已知曲線(xiàn)：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則B．若曲線(xiàn)表示橢圓，則且C．若曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)且離心率為，則D．若曲線(xiàn)與橢圓有公共焦點(diǎn)，則例110．（多選題）（2022·云南·江川一中高二階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線(xiàn)有共同的左右焦點(diǎn)，，設(shè)橢圓和雙曲線(xiàn)其中一個(gè)公共點(diǎn)為P，且滿(mǎn)足，若橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，則關(guān)于和，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．例111．（多選題）（2022·湖北·武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線(xiàn)，有公共焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)），（右焦點(diǎn)），且兩條曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，若△是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，且，則（

）A． B．C． D．例112．（2022·陜西西安·高二期末（理））焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的離心率為，則的值為_(kāi)__________.例113．（2022·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）若雙曲線(xiàn)的離心率不大于，則C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)__________.例114．（2022·江蘇·高二）若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程___________.題型九：雙曲線(xiàn)中的范圍與最值問(wèn)題例115．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8例116．（2022·河南宋基信陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)C的右支上一點(diǎn)P作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H，若的最小值為，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．例117．（2022·廣東茂名·高二期末）已知橢圓1（a＞b＞0）與雙曲線(xiàn)1（m＞0，n＞0）具有相同焦點(diǎn)F1、F2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1PF2，記橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1、e2，則3e12+e22的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5設(shè)|PF1|＝s，|PF2|＝t，由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m與c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．【詳解】設(shè)|PF1|＝s，|PF2|＝t，P為第一象限的交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義可得s+t＝2a，s－t＝2m，解得s＝a+m，t＝a－m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2，∴，可得，即有，即，可得則3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得最小值3．故選：B．例118．（2022·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二期末（文））已知點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例119．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期末（理））已知是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6例120．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）設(shè)F是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．9例121．（2022·全國(guó)·高二期末）若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則的最大值是（

）A． B． C． D．例122．（2022·甘肅·蘭州一中高二期末（文））橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，，離心率互為倒數(shù)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則角的最大值為（

）A． B． C． D．例123．（多選題）（2022·河北邯鄲·高二期末）已知雙曲線(xiàn)的上?下焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的上支上，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．雙曲線(xiàn)C的離心率為B．的最小值為8C．周長(zhǎng)的最小值為D．若內(nèi)切圓的圓心為M，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3例124．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高二期中）設(shè)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)A是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.例125．（2022·廣東珠?！じ叨谀┮阎p曲線(xiàn)：，，是其左右焦點(diǎn).圓：，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________.例126．（2022·重慶市清華中學(xué)