同濟高等數(shù)學課件包含習題

W在xoy平面上的投影區(qū)域D為xy型區(qū)域，投影柱面將W的邊界分成上

下曲面S和

(x,y?DF(x,y)=則

z2(x,y)f(x,y,z)dzW

f(x,y,z)dv

Dxy

dxdy

z2(x,y)f(x,y,z)dz.W

f(x,y,z)dv

b f1(x

dy

z2(x,y)f(x,y,z)dz.例 寫出下面積分的三次積分Wf(x,y,z)dvW其中Wz=xy,xy=1,z=0圍成的在第一卦限的部分解當x>0,y>0時，有z=xy>0，投影區(qū)域如圖所示，則W

f(x,y,z)dv=0dx

dy

y1 例 化下面三重積分為三次積f(x,y,z)dv.W

解曲面z=3x2y2為拋物面，z=1-x2為平行與y軸的柱面，兩曲面的交線在xoy平面上的投影為z=1-x

4x2+y2=1,,z=

f(x,y,z)dv=2-

z x例 計算ex+y+zdv,其中W由y=0,x=1,y=x,Wy=xz=y=xz=oyx W

ex+y+zdv

0dx dy

ex+y+zdz1=dx1

e2x+

-ex+ydyx x1=1

-e2x+exx=1e3x-1e2x+ex =1e3-1e2+e+5 例 求xydv其Wx=0,y=0,z=0,x+y+z=1圍成W 1- 1-x-W

xydv

0dx

=

1-1dx1

xy(1-x-y)dy =1dx1-xx1-xy-xy

dyzxzxy x1- -x1- = x(1-x)61 1 1 1=5x(1-x)dx56

6

- W,y,,y?Dz,z?[p,,其中Dz是經(jīng)過(0,0,z)且平行于xoy面的平面截W所得的平面區(qū)域。

zq W

f(x,y,z)dv

p(qq

f(x,y,例 求三重積

Wz?[-c,

W=y,z)2+2+2

z2Dz=

2+

2,

ccccz2dv=

z2ds

z2m

dz, W

mDz -z2

z2

1c2b1-2=pab1-c2 c 則 z2

z2dv=z2pab1-dz=pabc3.

c2 例 求(x+y+z)dv,其中W由x=0,y=0,z=0,W解xyz)dv3 z1o1y (x+y+zz1o1y 2 =30zm(Dz)dz=30

1-z)2= 1z2(1-z)dz=12 例 WW11exdv 1 W

20edx

p-=.

x=pe-xe+2xe0zM(x,y,orxfyr,fzM(x,y,orxfyr,f0￡r<+￥-￥<z<+￥x=y=dv=dddzf(x,y,z)dv=f(rcosq,rsinq,z)rdrdfdz. W

yvWz=x2+y2及z=1W在第一卦限部分的區(qū)域為W1

yv= xdv=82dq

W

x例 W 解sinzdv=0 W =0 rsrr

rsr00=prnrp-psinr-00例 求(x+y+z)2dv，W由z=x2+y2,x2+y2+z2Wz=1的平面上，曲線為x2+y2=1性

+y2v

W=2

2-

o

z=x2yp0 =p1r2(2-r2-r2dr2=p1t(2-t-t =p1 2-tdt-p1t2dt=p1 2-tdt-p 1 2-tdt=22u22-u2u=

22 x2+y2v=16 -1922W

z2dv

2- 2- dqd rzW=

1r2-r21

-r7

d 0

5 0r2-r20

dr=-2-r225025

=5 z2dv

2p1 2--1=8

-13W

3 8

22

zqofy稱為點M的球面坐標。其中r為點M的相徑的模，為相徑與z軸正向的夾角，zqofyx0￡r<+￥,0￡q￡p,x=rsinqy=rsinqsin=rdv=rsin2WW 求半徑為a的球面與半頂角為a的內(nèi)接錐面所圍解設球面過原點，球心在z軸上，內(nèi)接錐面的頂點在V=r2zW =2p

1- 求zdv其中W由z=a2-x-y2,z解兩曲面的交線在xoy

a2-x2a2-x2-

+y= zdv df

dq