2021年湖南省長沙市第三十中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021年湖南省長沙市第三十中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：B考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用換元法設(shè)t=f（x），則方程等價(jià)為f（t）=0，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得出此題的關(guān)鍵是a?2x取不到1和0．解答：解：設(shè)t=f（x），則f（t）=0，若a＜0時(shí)，當(dāng)x≤0，f（x）=a?2x＜0．由f（t）=0，即，此時(shí)t=1，當(dāng)t=1得f（x）=1，此時(shí)x=有唯一解，此時(shí)滿足條件．若a=0，此時(shí)當(dāng)x≤0，f（x）=a?2x=0，此時(shí)函數(shù)有無窮多個(gè)點(diǎn)，不滿足條件．若a＞0，當(dāng)x≤0，f（x）=a?2x∈（0，a]．此時(shí)f（x）的最大值為a，要使若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則a＜1，此時(shí)0＜a＜1，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）∪（0，1）故選：B點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．2.若實(shí)數(shù)滿足，，且，則稱與互補(bǔ)。記，那么“”是“與互補(bǔ)”的

（

）（A）必要非充分條件（B）充分非必要條件（C）充要條件

（D）非充分非條件參考答案：C3.已知條件p：，條件q：，則p是q的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：4.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如下x1234y4.5432.5根據(jù)表，利用最小二乘法得到它的回歸直線方程為（）A．y=﹣0.7x+5.20 B．y=﹣0.7x+4.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25參考答案：D【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】由表可得樣本中心為（2.5，3.5），代入檢驗(yàn)可得結(jié)論．【解答】解：由表可得樣本中心為（2.5，3.5），代入檢驗(yàn)可得y=﹣0.7x+5.25．故選D．【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，這是求解線性回歸方程的步驟之一．5.若是任意實(shí)數(shù)，，則下列不等式成立的是（）．A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，若△MNF2為等腰直角三角形，則該橢圓的離心率e為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】把x=﹣c代入橢圓，解得y=±．由于△MNF2為等腰直角三角形，可得=2c，由離心率公式化簡整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入橢圓方程，解得y=±，∵△MNF2為等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化為e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故選C．7.閱讀如圖所示的程序框圖，則該算法的功能是（）A．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}前5項(xiàng)的和 B．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}前6項(xiàng)的和C．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}前5項(xiàng)的和 D．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}前6項(xiàng)的和參考答案：D【考點(diǎn)】E7：循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】根據(jù)算法流程，依次計(jì)算運(yùn)行結(jié)果，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，判斷程序的功能．【解答】解：由算法的流程知，第一次運(yùn)行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次運(yùn)行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次運(yùn)行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次運(yùn)行，A=2×7+1=15，i=5；第五次運(yùn)行，A=2×15+1=31，i=6；第六次運(yùn)行，A=2×31+1=63，i=7；滿足條件i＞6，終止運(yùn)行，輸出A=63，∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．故選D．8.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則是

（

）

A．

B．cosx

C．sinx

D．2cosx參考答案：答案：A9.直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圖像的極大值點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過切點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則=（

）A.2

B.

C.

D.

參考答案：D略10.有下列命題：①設(shè)集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},則“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要條件；②命題“若，則”的逆否命題是：若；③若是假命題，則都是假命題；④命題P：“”的否定：“”則上述命題中為真命題的是（

）A．①②③④

B．②④

C．

①③④

D．②③④參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x，y滿足約束條件的最小值是

參考答案：略12.在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動．現(xiàn)有下列命題：①若點(diǎn)P總保持PA⊥BD1，則動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是直線；②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是圓；③若P滿足∠MAP=∠MAC1，則動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是橢圓；④若P到直線BC與直線C1D1的距離比為1：2，則動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是雙曲線；⑤若P到直線AD與直線CC1的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是拋物絲．其中真命題是（寫出所有真命題的序號）參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡易邏輯．【分析】由BD1⊥面AB1C，可得P在面AB1C和面BCC1B1的交線上判斷①正確；由平面截球面軌跡是圓判斷②正確；利用平面截圓錐側(cè)面可得P點(diǎn)軌跡所在曲線是雙曲線的一支，說明③錯(cuò)誤；由雙曲線定義說明④正確；建立空間坐標(biāo)系，由|PF|=|PG|列式求出動點(diǎn)P的軌跡說明⑤錯(cuò)誤．【解答】解：對于①，∵BD1⊥面AB1C，∴動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是直線B1C，①正確；對于②，滿足到點(diǎn)A的距離為的點(diǎn)集是球，∴點(diǎn)P應(yīng)為平面截球體所得截痕，即軌跡所在曲線為圓，②正確；對于③，滿足條件∠MAP=∠MAC1的點(diǎn)P應(yīng)為以AM為軸，以AC1為母線的圓錐，平面BB1C1C是一個(gè)與軸AM平行的平面，又點(diǎn)P在BB1C1C所在的平面上，故P點(diǎn)軌跡所在曲線是雙曲線一支，③錯(cuò)誤；對于④，P到直線C1D1的距離，即到點(diǎn)C1的距離與到直線BC的距離比為2：1，∴動點(diǎn)P的軌跡所在曲線是以C1為焦點(diǎn)，以直線BC為準(zhǔn)線的雙曲線，④正確；對于⑤，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，連接PF，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，∴P點(diǎn)軌跡所在曲線是雙曲線，⑤錯(cuò)誤．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了圓錐曲線的定義和方方程，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．13.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，Tn、Sn分別是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且

則 .參考答案：答案：

14.函數(shù)的定義域?yàn)開______________．參考答案：15.某校對高三年級部分女生的身高（單位cm，測量時(shí)精確到1cm）進(jìn)行測量后的分組和頻率如下：分組頻率0.020.040.080.10.320.260.150.03已知身高在153cm及以下的被測女生有3人，則所有被測女生的人數(shù)是

參考答案：50略16.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，如果它的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：2＜m＜5解：因?yàn)樵?0,+∞)上單調(diào)遞增，所以．17.已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求使≥2的的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ） --------------1分 --------------------------------------3分-----------------------------------------------------5分,，函數(shù)的遞增區(qū)間是--------------------7分

（Ⅱ）由 得， ----------------------------9分 ，

的x的取值范圍是略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量（I）求的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間。（II）在△ABC中，a、b、c、分別是角A、B、C的對邊，若△ABC的面積為，求的值。參考答案： （II）由得， 略19.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若a=2，b=2，cosA=且c＜b．（1）求c的值；（2）求△ABC的面積及AB邊上的高．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．【分析】（1）由題意和余弦定理可得c的方程，解方程由c＜b可得；（2）S=bcsinA，代值計(jì)算可得，設(shè)AB邊上的高為h，由等面積可得h的方程，解方程可得．【解答】解：（1）由題意和余弦定理可得22=（2）2+c2﹣2?2c?，解得c=2或c=4，由c＜b可得c=2；（2）△ABC的面積S=bcsinA==，設(shè)AB邊上的高為h，由等面積可得×2h=，解得h=．【點(diǎn)評】本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．20.選修4－1：幾何證明選講如圖，是圓上三個(gè)點(diǎn)，是的平分線，交圓于，過做直線交延長線于，使平分.（1）求證：是圓的切線；（2）若，，，求的長.

參考答案：(1)證明：連接并延長交圓于，連接，又平分，平分,.又，,,,.

是圓的切線.（5分）注:此題只有基本定義證明垂直這一方法，逆用弦切角定理等證法均錯(cuò)?。?）由（1）可知△∽△，,，，，，.

由切割線定理得：.（10分）略21.已知拋物線C：y2=4x，直線x=ny+4與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）求證：?=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（Ⅱ）設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，直線l1為拋物線C的準(zhǔn)線，直線l2是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）作直線l：y0y=2（x+x0）與直線l2相交于點(diǎn)M，與直線l1相交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)P在拋物線C上移動時(shí)，恒為定值，并求出此定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）直線x=ny+4與拋物線C聯(lián)立可得y2﹣4ny﹣16=0，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式即可證明結(jié)論；（Ⅱ）求出M，N的坐標(biāo)，計(jì)算|MF|，|NF|，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），直線x=ny+4與拋物線C聯(lián)立可得y2﹣4ny﹣16=0，∴y1+y2=4n，y1y2=﹣16，∴?=x1x2+y1y2=+y1y2=0；（Ⅱ）證明：將點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別代入直線l：y0y=2（x+x0），得M（1，），N（﹣1，），∵F（1，0），∴|MF|=||，|NF|==，∴=|÷==1，∴點(diǎn)P在拋物線C上移動時(shí)，恒為定值1．【