遼寧省大連市第四十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

遼寧省大連市第四十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是（）A．存在唯一平面α，使得a?α，且b∥αB．存在唯一直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一直線l，使得l⊥a，且l⊥bD．存在唯一平面α，使得a?α，且b⊥α參考答案：A【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)判斷，或舉出反例．【解答】解：對(duì)于A，在a上任取一點(diǎn)A，過(guò)A作b′∥b，設(shè)a，b′確定的平面為α，顯然α是唯一的，且a?α，且b∥α．故A正確．對(duì)于B，假設(shè)存在直線l使得l∥a，且l⊥b，則a⊥b，與已知矛盾，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，設(shè)a，b的公垂線為AB，則所有與AB垂直的直線與a，b都垂直，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，若存在平面α，使得a?α，且b⊥α，則b⊥a，與已知矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：A．2.《周易》歷來(lái)被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映了中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻“”當(dāng)做數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）A．18

B．17

C.16

D．15參考答案：B3.已知集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.設(shè)全集U=R，，則如圖中陰影部分表示的集合為

參考答案：B略5.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5=8，S3=6，則S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用條件a5=8，S3=6，計(jì)算等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，進(jìn)而可求S10﹣S7的值【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故選B．6.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中，，在中，，∴，∴的外接圓的直徑為,∴∴外接球的半徑為，∴該幾何體外接球的表面積為故選：A

7.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A．實(shí)軸上

B．虛軸上

C．第一象限

D．第二象限參考答案：B略8.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D9.f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，對(duì)?x1∈－1,2，?x0∈－1,2，使g(x1)＝f(x0)，則a的取值范圍是()A．

B．C．3，＋∞)

D．(0,3參考答案：A10.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有A.48種 B.72種C.96種 D.108種參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域?yàn)?，函?shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域?yàn)?向內(nèi)隨機(jī)投一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為

參考答案：12.已知函數(shù)，若成立，則＝________.參考答案：因?yàn)閒(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4?a＝－1或a＝.13.已知A，B是以F為焦點(diǎn)的拋物線上兩點(diǎn)，且滿足，則弦AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為

.參考答案：

14.的值為

參考答案：215.（6分）（2015?麗水一模）設(shè)圓C的圓心是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，且與直線3x+4y+6=0相切．則拋物線的準(zhǔn)線方程是；圓C的方程是．參考答案：y=﹣1；x2+（y﹣1）2=4?！究键c(diǎn)】：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：拋物線y=x2，即x2=4y，可得準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)，求出圓心（0，1）到直線3x+4y+6=0的距離，即可得出結(jié)論．解：拋物線y=x2，即x2=4y，準(zhǔn)線方程是y=﹣1，焦點(diǎn)為（0，1）；圓心（0，1）到直線3x+4y+6=0的距離為d==2，∴圓C的方程是x2+（y﹣1）2=4；故答案為：x2+（y﹣1）2=4【點(diǎn)評(píng)】：本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．16.如圖，圓內(nèi)的正弦曲線

與軸圍成的區(qū)域記為(圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是

．參考答案：陰影部分的面積為，圓的面積為，所以點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是。17.如果隨機(jī)變量，且，則＝

．參考答案：根據(jù)對(duì)稱性可知，所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c，，∠BAC=，a=4.（1）求bc的最大值及的取值范圍；（2）求函數(shù)的最值。參考答案：（1）由題意知，即，

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為16。

又，所以，又，所以。（2）因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)即時(shí)，，

當(dāng)即時(shí)，19.（本小題滿分14分）在長(zhǎng)方體中，，是棱上的一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若是棱的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解：（Ⅰ）在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槊妫裕?/p>

………………2分在矩形中，因?yàn)椋裕?分所以面.

………5分（Ⅱ）因?yàn)?，所以面，由（Ⅰ）可知，面?/p>

…………7分所以．…………………8分（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時(shí)，有∥平面．

………9分理由如下：在上取中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以∥，且．……10分又∥，且．所以∥，且，所以四邊形是平行四邊形，所以∥．…………11分又面，面，所以∥平面．

…………13分此時(shí)，．…………14分20.在多面體中，，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，.(I)求證:平面平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.參考答案：(1)證明：面，故，又，所以①，在直角梯形中，，，可得.由知②，由①②知:而，進(jìn)而面面.(2)設(shè)點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，記二面角的平面角為，由，即得.易得，則，進(jìn)而，即二面角的余弦值為.

21.（本題滿分14分）本題共有2小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分．為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國(guó)家的號(hào)召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，處理成本（萬(wàn)元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且每處理一噸廢棄物可得價(jià)值為萬(wàn)元的某種產(chǎn)品，同時(shí)獲得國(guó)家補(bǔ)貼萬(wàn)元．（1）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲利，請(qǐng)求出國(guó)家最少補(bǔ)貼多少萬(wàn)元，該工廠才不會(huì)虧損？（2）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？

參考答案：（1）根據(jù)題意得，利潤(rùn)和處理量之間的關(guān)系：

…………2分，.∵，在上為增函數(shù)，可求得.

………………5分∴國(guó)家只需要補(bǔ)貼萬(wàn)元，該工廠就不會(huì)虧損．

………………7分（2）設(shè)平均處理成本為

………………9分，

……………11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由得．因此，當(dāng)處理量為噸時(shí)，每噸的處理成本最少為萬(wàn)元．

…………14分22.(14分)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為(1）求的表達(dá)式(2）設(shè)，求(3）設(shè)，若，求的最小值參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則的值域?yàn)?/p>