第22講：線性回歸方程講義 高三藝考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第22講：線性回歸方程【課型】復(fù)習(xí)課【教學(xué)目標(biāo)】1.了解相關(guān)關(guān)系、散點(diǎn)圖，會(huì)判斷兩變量是否成線性相關(guān)關(guān)系2.能利用最小二乘法求線性回歸方程的兩個(gè)系數(shù)【預(yù)習(xí)清單】【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】1．常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．2.散點(diǎn)圖：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)表中,為了更清楚地看出x和y是否具有相關(guān)關(guān)系,常將x的取值作為橫坐標(biāo),將y的相應(yīng)取值作為縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)中描點(diǎn)(xi,yi)(i＝1,2,…,n),這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖.3．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．(3)回歸方程為y＝bx＋a，其中b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))·eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))．（4）注意：①自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值平均增加或減少個(gè)單位。②所以線性回歸方程均過點(diǎn)（eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))）.（eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))）稱為樣本中心點(diǎn)。【引導(dǎo)清單】考向一：相關(guān)關(guān)系的判斷例1：已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)【解析】因?yàn)閥＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z＝by＋a，b>0，則z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x與z負(fù)相關(guān)．考向二：線性回歸方程及其應(yīng)用例2：已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：x246810y3671012(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)紙中繪制散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a，并估計(jì)當(dāng)x＝20時(shí)y的值．參考公式：b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)).【解】(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)依題意eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，xi2＝4＋16＋36＋64＋100＝220，xiyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(272－5×6×7.6,220－5×62)＝eq\f(44,40)＝1.1，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝7.6－1.1×6＝1.所以線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.1x＋1，故當(dāng)x＝20時(shí)，y＝23.x12345y2.93.33.64.45.1【訓(xùn)練清單】u12345v2520211513【變式訓(xùn)練1】對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，得表1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，3，4，5)，得表2.由這兩個(gè)表可以判斷()A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)D．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)【解析】選D.由題可知，隨著x的增大，對應(yīng)的y值增大，其散點(diǎn)圖呈上升趨勢，故x與y正相關(guān)；隨著u的增大，v減小，其散點(diǎn)圖呈下降趨勢，故u與v負(fù)相關(guān)．【變式訓(xùn)練2】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計(jì)算得＝80，＝20，＝184，＝720.已知家庭的月儲(chǔ)蓄y關(guān)于月收入x的線性回歸方程為y＝bx＋a，判斷變量x與y正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a，若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄是多少千元？【解析】（1）由題意，知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)＝2，∴eq\o(b,\s\up14(^))＝eq\f(184－10×8×2,720－10×82)＝0.3，eq\o(a,\s\up14(^))＝2－0.3×8＝－0.4，∴eq\o(y,\s\up14(^))＝0.3x－0.4，∵0.3>0，∴變量x與y正相關(guān)．（2）當(dāng)x＝7時(shí)，eq\o(y,\s\up14(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．【鞏固清單】1.下列兩變量中不屬于相關(guān)關(guān)系的是 ()A.產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量B.家庭的收入與支出C.球的表面積與體積D.吸煙與健康【解析】球的表面積與體積是函數(shù)關(guān)系.2．某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸直線方程可能是()A.y＝－10x＋200B.y＝10x＋200C.y＝－10x－200D.y＝10x－200【解析】選A.因?yàn)樯唐蜂N售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0，排除B，D.又因?yàn)閤＝0時(shí)，y>0，所以應(yīng)選A.3．下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是()【解析】觀察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系．4．改革開放以來，我國教育事業(yè)發(fā)展迅速，某省把近10年來農(nóng)村、縣城、地級市和省城每年考入大學(xué)的百分比作為因變量，把年份x作為自變量得到四條回歸直線．省城y＝2.84x＋9.50，地級市y＝2.52x＋8.35，縣城y＝2.31x＋6.76，農(nóng)村y＝0.42x＋1.80，則四個(gè)區(qū)域中，大學(xué)入學(xué)率年增長率最快的區(qū)域是()A．省城B．地級市C．縣城D．農(nóng)村【解析】四條回歸直線，斜率最大的是省城，故選A.x196197200203204y1367m5．對于下列表格所示的五個(gè)散點(diǎn)，已知求得的回歸直線方程為y＝0.8x－155.則實(shí)數(shù)m的值為()A.8B．8.2C．8.4D．8.5【解析】依題意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(1＋3＋6＋7＋m)＝eq\f(17＋m,5)，因?yàn)榛貧w直線必經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，所以eq\f(17＋m,5)＝0.8×200－155，解得m＝8.收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.86．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：根據(jù)上表可得回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))．據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元B．11.8萬元C．12.0萬元D．12.2萬元【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，所以當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．7．經(jīng)調(diào)查某地若干戶家庭的年收入x(萬元)和年飲食支出y(萬元)具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸直線方程：y＝0.245x＋0.321，由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．【解析】x變?yōu)閤＋1，y＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.245萬元．8．已知x，y的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出y與x線性相關(guān)，且回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))＝________．x0134y2.24.34.86.7【解析】由已知得x＝2，y＝4.5，因?yàn)榛貧w方程經(jīng)過點(diǎn)(x，y)，所以a＝4.5－0.95×2＝2.6.9．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲線y＝bx2－eq\f(1,3)附近波動(dòng)．經(jīng)計(jì)算eq\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))xi＝11，eq\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))yi＝13，eq\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝21，則實(shí)數(shù)b的值為________．【解析】令t＝x2，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程，即y＝bt－eq\f(1,3)，此時(shí)t＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i),6)＝eq\f(7,2)，y＝eq\f(\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))yi,6)＝eq\f(13,6)，代入y＝bt－eq\f(1,3)，得eq\f(13,6)＝b×eq\f(7,2)－eq\f(1,3)，解得b＝eq\f(5,7).10．為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時(shí)間變化的繁殖情況，得如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)t(天)34567繁殖個(gè)數(shù)y(千個(gè))2.5344.56(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的