江蘇省大豐市新豐中學(xué)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期蘇教版高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)-知識點歸納

江蘇省大豐市新豐中學(xué)2023-2023學(xué)年度第二學(xué)期蘇教版高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識點歸納第頁新豐中學(xué)高一期末知識點復(fù)習(xí)三角函數(shù)知識點回憶一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1．任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．終邊與角相同的角的集合為(3)弧度制①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是④假設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，那么，，．2．任意角的三角函數(shù)定義設(shè)α是一個任意角，角α的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離為，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)．〔三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦〕3．特殊角的三角函數(shù)值二、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1．同角三角函數(shù)的根本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．誘導(dǎo)公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.誘導(dǎo)公式可概括為k·eq\f(π,2)±α的各三角函數(shù)值的化簡公式．口訣：奇變偶不變，符號看象限．1、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限．2、四種方法在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化．〔、、三個式子知一可求二〕(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝taneq\f(π,4)〔4〕齊次式化切法：，那么三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識要點梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：2、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸3、研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的。在求的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導(dǎo)公式先將化正。四、函數(shù)的圖像和三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用幾個物理量：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù)表達式確實定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定.函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，那么，，．3、函數(shù)圖象的畫法：①“五點法〞――設(shè)，令＝0，求出相應(yīng)的值，計算得出五點的坐標(biāo)，描點后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。4、函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換可得到的圖象yy=sinxy=sinxXXXxxx橫坐標(biāo)伸〔縮〕倍左〔右〕平移縱坐標(biāo)伸〔縮〕A倍y=sinx左〔右〕平移縱坐標(biāo)伸〔縮〕A倍橫坐標(biāo)伸〔縮〕倍左〔右〕平移橫坐標(biāo)伸〔縮〕倍橫坐標(biāo)伸〔縮〕倍縱坐標(biāo)伸〔縮〕A倍橫坐標(biāo)伸(縮)倍縱坐標(biāo)伸〔縮〕A倍左〔右〕平移左〔右〕平移縱坐標(biāo)伸〔縮〕A倍三角恒等變換知識點回憶1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸〔〕；=6\*GB2⑹〔〕．如；〔答案：〕2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．如cos2eq\f(5π,12)＋cos2eq\f(π,12)＋coseq\f(5π,12)coseq\f(π,12)的值等于；〔答案：eq\f(5,4)〕=2\*GB2⑵升冪公式降冪公式，．=3\*GB2⑶．3、二弦歸一把兩個三角函數(shù)的和或差化為一個三角函數(shù)：，其中．4、三角變換時運算化簡的過程中運用較多的變換，靈活運用三角公式，掌握運算化簡的方法．常用的方法技巧如下：〔1〕角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補，互余的關(guān)系，尋找條件與結(jié)論中角的關(guān)系，運用角的變換，使問題獲解，對角的變形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；問：；；⑤；等等.如[1].〔答案：〕[2]假設(shè)cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，且eq\f(π,2)＜α－β＜π，eq\f(3π,2)＜α＋β＜2π，那么cos2α＝_____，cos2β＝_____.〔答案：－eq\f(7,25)，－1〕[3]那么；〔答案：〕〔2〕函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是根底，通?；袨橄?，變異名為同名〔二弦歸一〕。如；〔3〕常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1〞的代換變形有：〔4〕冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有：；。有時需要升冪，常用升冪公式有：；.如對無理式常用升冪化為有理式.〔5〕公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：；；〔其中；〕〔6〕三角函數(shù)式的化簡運算根本規(guī)那么：復(fù)角化單角，異角化同角，見切化弦，二弦歸一，高次化低次，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。解三角形知識點回憶1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：1、=1\*GB3①三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；=2\*GB3②.角平分線性質(zhì)定理:角平分線分對邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比.=3\*GB3③.銳角三角形性質(zhì)：假設(shè)A>B>C那么.2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c;a-b<c3、三角形中的根本關(guān)系：〔1〕和角與差角公式〔2〕二倍角公式sin2α=2cosαsinα.〔3〕輔助角公式〔化一公式〕其中4、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，那么有．5、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①化角為邊：，，；=2\*GB3②化邊為角：，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④=2R6、兩類正弦定理解三角形的問題：=1\*GB3①兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.=2\*GB3②兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(對于兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況〔一解、兩解、三解〕)7、三角形面積公式：．=2R2sinAsinBsinC==8、余弦定理：在中，有，，9、余弦定理的推論：，，．注明：余弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項時，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：10、余弦定理主要解決的問題：=1\*GB3①兩邊和夾角，求其余的量。=2\*GB3②三邊求角11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)、、是的角、、的對邊，那么：=1\*GB3①假設(shè)，那么；=2\*GB3②假設(shè)，那么；=3\*GB3③假設(shè)，那么．12、三角形的五心：垂心——三角形的三邊上的高相交于一點重心——三角形三條中線的相交于一點外心——三角形三邊垂直平分線相交于一點內(nèi)心——三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點旁心——三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點空間幾何體知識點總結(jié)一.空間幾何體的外表積與體積⑴圓柱側(cè)面積；⑵圓錐側(cè)面積：⑶圓臺側(cè)面積：球的外表積和體積.正三棱錐是底面是等邊三角形，三個側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐。正四面體是每個面都是全等的等邊三角形的三棱錐。二.平面根本性質(zhì)即三條公理公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.符號語言作用判斷線在面內(nèi)確定一個平面證明多點共線公理2的三條推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.二．直線與直線的位置關(guān)系共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點?！布炔黄叫?，也不相交〕三．直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點．符號aα相交——有且只有一個公共點符號a∩α=A平行——沒有公共點符號a∥α說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示1．直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒有公共點，那么稱直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，那么線面平行。符號：2．直線和平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行，那么線線平行.符號:3．直線與平面垂直⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。⑵判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。簡記為：線線垂直，那么線面垂直.符號：4.直線與平面垂直性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個平面的兩條直線平行。符號：性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行符號：推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．符號語言：a∥b,a⊥α，?b⊥α四．平面與平面的位置關(guān)系：平行——沒有公共點：符號α∥β相交——有一條公共直線:符號α∩β=a1．平面與平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。簡記為：線面平行，那么面面平行.符號：2．平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡記為：面面平行，那么線線平行.符號：補充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行；3．平面與平面垂直的判定⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。⑵判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直。簡記為：線面面垂直，那么面面垂直.符號：推論：如果一個平面平行于另一個平面的一條垂線，那么這個平面與另一個平面垂直。4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。簡記為：面面垂直，那么線面垂直.證明線線平行的方法①三角形中位線②平行四邊形③線面平行的性質(zhì)④平行線的傳遞性⑤面面平行的性質(zhì)⑥垂直于同一平面的兩直線平行；證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；〔特別是證明異面直線垂直〕；②線面垂直的性質(zhì)③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；五：三種成角1.異面直線成角步驟：1、平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；2、找銳角〔或直角〕作為夾角；3、求解注意：取值范圍：〔0。,90。].2.線面成角：斜線與它在平面上的射影成的角，取值范圍：〔0。,90。].如圖：PA是平面的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，為線面角。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面形成的圖形取值范圍：〔0。,180?！沉?點到平面的距離：定義法和等體積法解析幾何知識點總結(jié)1.直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與軸相交的直線,如果把軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為,那么就叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線與軸重合或平行時,規(guī)定傾斜角為.傾斜角的范圍.2.直線的斜率：(1)定義：傾斜角不是的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即＝tan();傾斜角為的直線沒有斜率.(2)斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為.(3)應(yīng)用：證明三點共線：.3.直線的方程：(1)點斜式：直線過點斜率為,那么直線方程為,它不包括垂直于軸的直線.說明:①這個方程是由直線上一點和斜率確定的;②當(dāng)直線的傾斜角為時,直線方程為;③當(dāng)直線傾斜角為時,直線沒有斜率,它的方程不能用點斜式表示,這時直線方程為:.(2)斜截式：直線在軸上的截距為和斜率,那么直線方程為,它不包括垂直于軸的直線.說明:①為直線在軸上截距;②斜截式方程可由過點的點斜式方程得到;③當(dāng)時,斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.(3)兩點式：直線經(jīng)過、兩點,那么直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.說明:①這個方程由直線上兩點確定;②當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時,不能用兩點式求出它的方程;但把兩點式化為整式形式,就可以利用它來求出過平面內(nèi)任意兩個點的直線的方程:假設(shè),那么有,即;假設(shè),那么有,即.(4)截距式：直線在軸和軸上的截距為,那么直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點的直線.說明:①該直線方程由直線在軸和軸上截距確定,所以叫做直線方程的截距式;②截距式的推導(dǎo)可以通過直線的兩點式來實現(xiàn);③在利用直線的截距式求解直線方程時要注意截距相等、截距的絕對值相等、截距成多少倍或互為相反數(shù)時,不要忘記直線過原點的特殊情況.(5)一般式：任何直線均可寫成(不同時為)的形式.4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：(1)知直線縱截距,常設(shè)其方程為.(2)知直線橫截距,常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為的直線).(3)知直線過點,當(dāng)斜率存在時,常設(shè)其方程為,當(dāng)斜率不存在時,那么其方程為.(4)與直線平行的直線可表示為.(5)與直線垂直的直線可表示為.(6)過兩直線,的交點直線系：(注:該直線系不含.)提醒：求直線方程的根本思想和方法是恰中選擇方程的形式,利用待定系數(shù)法求解.5.點到直線的距離及兩平行直線間的距離：(1)兩點的距離(2)點到直線的距離.(3)兩平行線間的距離為.6.直線與直線的位置關(guān)系：(1)平行(斜率)且或.(2)相交.(3)重合且,.提醒：(1)、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？(2)在解析幾何中,研究兩條直線的位置關(guān)系時,有可能這兩條直線重合,而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線.(3)直線與直線垂直.7.對稱(中心對稱和軸對稱)問題——代入法.(1)點關(guān)于點對稱問題抓住中點關(guān)系.(2)點關(guān)于直線對稱問題抓住斜率關(guān)系及中點關(guān)系.(3)曲線關(guān)于點對稱問題利用相關(guān)點法求軌跡(轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱問題).(4)曲線關(guān)于直線對稱問題利用相關(guān)點法求軌跡(轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題).提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解.8.圓的方程：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.(2)圓的一般方程：,提醒：只有當(dāng)時,方程才表示圓心為,半徑為的圓(二元二次方程表示圓的充要條件是什么？(且且)).(3)為直徑端點的圓方程.10.點與圓的位置關(guān)系：點及圓.(1)點在圓外.(2)點在圓內(nèi).(3)點在圓上.11.直線與圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相離、相切.可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：那么相交;相離;相切.(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為,那么相交;相離;相切.提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷.12.圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷)：兩圓的圓心分別為,半徑分別為,那么(1)當(dāng)時,兩圓外離;(2)當(dāng)時,兩圓外切;(3)當(dāng)時,兩圓相交;(4)當(dāng)時,兩圓內(nèi)切;(5)當(dāng)時,兩圓內(nèi)含.13.圓的切線與弦長：(1)切線：①過圓上一點圓的切線方程是：,過圓上一點圓的切線方程是：,一般地,如何求圓的切線方程？(抓住圓心到直線的距離等于半徑);②從圓外一點引圓的切線一定有兩條,可先設(shè)切線方程,再根據(jù)相切的條件,運用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來求;③過兩切點的直線(即“切點弦〞)方程的求法：先求出以圓的圓心和這點為直徑端點的圓,該圓與圓的公共弦就是過兩切點的直線方程;③切線長：過圓()外一點所引圓的切線的長為().(2)弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距,弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：;②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為,時,方程表示:兩圓相交時的公共弦方程、兩圓外切時的內(nèi)公切線、兩圓內(nèi)切時的外公切線.14.解決直線與圓的關(guān)系問題時,要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).15.動點軌跡方程：(1)求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍;(2)求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系.②待定系數(shù)法：所求曲線的類型,求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù).③定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種曲線,再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.④相關(guān)點法：動點依賴于另一動點的變化而變化,并且又在某曲線上,那么可先用的代數(shù)式表示,再將代入曲線得要求的軌跡方程.平面向量知識點回憶一．向量有關(guān)概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？〔向量可以平移〕。如：2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5．平行向量〔也叫共線向量〕：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！〔因為有)；④三點共線共線；6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如以下命題：〔1〕假設(shè)，那么?！?〕兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同?！?〕假設(shè)，那么是平行四邊形?！?〕假設(shè)是平行四邊形，那么?！?〕假設(shè)，那么?！?〕假設(shè)，那么。其中正確的選項是_______〔答：〔4〕〔5〕〕二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；3．坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，那么平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。三．平面向量的根本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2。如〔1〕假設(shè)，那么______〔答：〕；〔2〕以下向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.〔答：B〕；〔3〕分別是的邊上的中線,且,那么可用向量表示為_____〔答：〕；〔4〕中，點在邊上，且，，那么的值是___〔答：0〕四．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時，，注意：≠0。五．平面向量的數(shù)量積：1．兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時，，同向，當(dāng)＝時，，反向，當(dāng)＝時，，垂直。2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積〔或內(nèi)積或點積〕，記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如〔1〕，與的夾角為，那么等于____〔答：1〕；〔2〕，那么等于____〔答：〕；〔3〕是兩個非零向量，且，那么的夾角為____〔答：〕3．在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如，，且，那么向量在向量上的投影為______〔答：〕4．的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，，其夾角為，那么：②當(dāng)，同向時，＝，特別地，；當(dāng)與反向時，＝－；③非零向量，夾角的計算公式：；④。如〔1〕，，如果與的夾角為銳角，那么的取值范圍是______〔答：或且〕；六．向量的運算：1．幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法那么〞進行，但“平行四邊形法那么〞只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法那么〞：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法那么〞：設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如〔1〕化簡：①___；②____；③_____〔答：①；②；③〕；〔2〕假設(shè)正方形的邊長為1，，那么＝_____〔答：〕；2．坐標(biāo)運算：設(shè)，那么：①向量的加減法運算：，。如〔1〕點，，假設(shè)，那么當(dāng)＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上〔答：〕；〔2〕作用在點的三個力，那么合力的終點坐標(biāo)是〔答：〔9,1〕〕②實數(shù)與向量的積：。③假設(shè)，那么，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。如設(shè)，且，，那么C、D的坐標(biāo)分別是__________〔答：〕；④平面向量數(shù)量積：。如向量＝〔sinx，cosx〕,＝〔sinx，sinx〕,＝〔－1，0〕,假設(shè)x＝，求向量、的夾角；⑤向量的模：。如均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____〔答：〕；⑥兩點間的距離：假設(shè)，那么。七．向量的運算律：1．交換律：，，；2．結(jié)合律：，；3．分配律：，。如以下命題中：①；②；③；④假設(shè)，那么或；⑤假設(shè)那么；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的選項是_____〔答：①⑥⑨〕提醒：〔1〕向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；〔2〕向量的“乘法〞不滿足結(jié)合律，即，為什么？八．向量平行(共線)的充要條件：＝0。如(1)假設(shè)向量，當(dāng)＝_____時與共線且方向相同〔答：2〕；〔2〕，，，且，那么x＝______〔答：4〕；〔3〕設(shè)，那么k＝_____時，A,B,C共線〔答：－2或11〕九．向量垂直的充要條件：.如(1)，假設(shè)，那么〔答：〕；〔2〕以原點O和A(4,2)為兩個頂點