抽象函數(shù)的性質及應用（解析版）

抽象函數(shù)的性質及應用思路引導思路引導抽象函數(shù)是高中數(shù)學的難點，也是近幾年考試的熱點和重點，抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、單調性結合的題目往往難度較大，綜合性較強，旨在提升數(shù)學抽象，數(shù)學建模，數(shù)學運算的核心素養(yǎng)母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)類型一抽象函數(shù)的奇偶性【典例1】（2021·新高考Ⅱ卷T8）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.【解題技法】通過對稱性判斷函數(shù)奇偶性的常見情況：(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.【跟蹤訓練】已知定義在上的函數(shù)，對任意實數(shù)有，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，，則（）A．5 B．-2 C．1 D．2【答案】D【解析】由函數(shù)的圖象關于直線對稱可知，函數(shù)的圖象關于y軸對稱，故為偶函數(shù)，又由，得，所以是周期為的偶函數(shù).所以，故選D.類型二抽象函數(shù)的周期性【例2】（2022·新高考Ⅱ卷T8）若函數(shù)的定義域為R，且，則（）A. B. C.0 D.1【解析】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選A．【解題技法】函數(shù)周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)；(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)；(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).【跟蹤訓練】已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，∴函數(shù)周期為．∵，，，，∴，∴．類型三抽象函數(shù)的對稱性【例3】函數(shù)對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關于點對稱，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題指導】由的圖象關于點對稱→函數(shù)是奇函數(shù)→結合→求解.【解析】因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，即，又因為，所以，即，所以函數(shù)的周期為，又，所以.故選：D【解題技法】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱．【跟蹤訓練】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝()A．0B．mC．2m D．4m【答案】B【解析】∵函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，故函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，函數(shù)y＝|x2－2x－3|的圖象也關于直線x＝1對稱，故函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點也關于直線x＝1對稱，且相互對稱的兩點橫坐標和為2.當f(x)不過點(1,4)時，eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(m,2)×2＝m，當f(x)的圖象過點(1,4)時，eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(m－1,2)×2＋1＝m.綜上，eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝m.類型四抽象函數(shù)的綜合問題【例4】設函數(shù)f(x)是定義域(0，＋∞)上的增函數(shù)，且f(eq\f(x,y))＝f(x)－f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，求不等式f(x＋3)＋f(eq\f(1,x))≤2的解集．【解題指導】(1)賦值求解；（2）由已知猜想f(x)是對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的抽象函數(shù)，先確定單調性，列出滿足條件的不等式求解?！窘馕觥?1)將x＝y(tǒng)＝1代入f(eq\f(x,y))＝f(x)－f(y)，得f(1)＝f(1)－f(1)，所以f(1)＝0.(2)因為f(6)＝1，所以2＝f(6)＋f(6)，于是f(x＋3)＋f(eq\f(1,x))≤2等價于f(x＋3)－f(6)≤f(6)－f(eq\f(1,x))，即f(eq\f(x＋3,6))≤f(6x)，而函數(shù)f(x)是定義域(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,6)≤6x,\f(x＋3,6)>0))，解得x≥eq\f(3,35)，因此滿足已知條件的不等式解集為[eq\f(3,35)，＋∞)．【解題技法】(1)對不等式右端的“2”進行變形是本題求解的關鍵之處；(2)本題是增函數(shù)概念“若x1<x2，則f(x1)<f(x2)”的逆用．利用這個性質可以去掉函數(shù)的符號“f”，從而使問題得以解決．【跟蹤訓練】設函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集R，滿足條件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，對任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)對任意x∈R，判斷f(x)值的正負．【解析】(1)將y＝0代入f(x＋y)＝f(x)·f(y)，得f(x)＝f(x)·f(0)，于是有f(x)[1－f(0)]＝0.若f(x)＝0，則對任意x1≠x2，有f(x1)＝f(x2)＝0，這與已知題設矛盾，所以f(x)≠0，從而f(0)＝1.(2)設x＝y(tǒng)≠0，則f(2x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，又由(1)知f(x)≠0，所以f(2x)>0，由x為任意實數(shù)，知f(x)>0.故對任意x∈R，都有f(x)>0.模擬訓練模擬訓練1．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．2．【答案】B【分析】由奇偶性及對稱性得函數(shù)的周期性，由周期性計算函數(shù)值，【詳解】由及是奇函數(shù)得，，所以，所以是周期函數(shù)，周期為4，，故選：B．2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）設f（x）是定義城為R的奇函數(shù)，且．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的周期，利用函數(shù)周期性即可求解.【詳解】由題知，，，則，，變形可得，，的周期為：，，故選：.3．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為偶函數(shù)且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，得到，再結合，得到，故函數(shù)的一個周期為4，故可求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以．又，所以，所以，所以函數(shù)的一個周期為4，所以．故選：A．4．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，，若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】設，滿足題意，即可求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，則關于對稱，設，，關于對稱，.，即滿足條件，.故選:A.5．（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減少的，下面關于的判斷不正確的是（

）A．是函數(shù)的最小值 B．的圖像關于點對稱C．在上是增加的 D．的圖像關于直線對稱【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)性質的定義與性質逐項分析判斷.【詳解】A項：∵，則，∴是周期為4的周期函數(shù)，又∵在上是減少的，且在上是偶函數(shù)，∴在上是增加的，故是函數(shù)在上的最小值，結合周期性可得：是函數(shù)的最小值，A正確；B項：∵，則，∴的圖象關于點中心對稱，B正確；C項：∵在上是減少的，且是周期為4的周期函數(shù)，∴在上是減少的，C錯誤；D項：∵，故的圖象關于直線對稱，D正確.故選：C.6．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知偶函數(shù)在上單調遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分與兩種情況，結合函數(shù)單調性，奇偶性及，解不等式，求出解集.【詳解】偶函數(shù)在上單調遞減，則在單調遞增，因為，則當時，，即，故或，解得：或，或與取交集得：，則當時，，即故，解得：，與取交集，解集為空集，綜上：不等式的解集為．故選：D．7．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知函數(shù)的定義域為，且，為偶函數(shù)，若，，則的值為（

）A．117 B．118 C．122 D．123【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性和周期性求解即可.【詳解】由解得，即是以4為周期的周期函數(shù)，所以，因為為偶函數(shù)，所以，當時有，又因為，所以，所以，，所以，所以即，故選：C8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預測）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結合奇偶性與周期性運算求解.【詳解】∵為奇函數(shù)，則，即，∴，則的周期為4，則，故.故選：C.9．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且滿足，又，，則的值是（

）A．1 B． C．2022 D．2023【答案】A【分析】求得的周期，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和已知函數(shù)值，結合題意，求解即可.【詳解】，則，，故的周期為；又，則；，則；又為偶函數(shù)，故，則；故.故選：A.10．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且的一個周期為2，則（

）A．1為的周期 B．的圖象關于點對稱C． D．的圖象關于直線對稱【答案】C【分析】舉例判斷A，B，D錯誤，再由條件結合奇函數(shù)的性質和周期函數(shù)的性質列關系式論證C正確.【詳解】因為為定義域為奇函數(shù)，周期為，故函數(shù)滿足條件，令可得，，函數(shù)的最小正周期為4，對稱中心為，，函數(shù)沒有對稱軸，A錯誤，B錯誤，D錯誤；因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，取可得，，因為的一個周期為2，所以，取可得，，由可得，函數(shù)為周期為4的函數(shù)，所以，C正確；故選：C.11．（多選題）已知奇函數(shù)的定義域為，且在上單調遞減，若，則下列命題中正確的是（

）A．有兩個零點 B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱的特點，以及單調性和函數(shù)值結合選項可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)在上為減函數(shù)，上為減函數(shù).，由可得.對于A，由在上為減函數(shù)，且，，所以存在，，所以在上有一個零點，同理在上有一個零點，又因為，所以有三個零點，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)在上為減函數(shù).所以，故B正確；對于C，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，故C錯誤；對于D，，，所以，故D正確.故選:BD.12．（多選題）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則下列結論一定正確的是（

）A．的圖象關于點中心對稱 B．是周期為的周期函數(shù)C．的圖象關于直線軸對稱 D．為偶函數(shù)【答案】AD【分析】由，可知的圖象關于點中心對稱；結合函數(shù)為偶函數(shù)可得是周期為以及關于直線軸對稱，結合周期，對稱中心和對稱軸可判斷出為偶函數(shù)【詳解】因為，所以的圖象關于點中心對稱，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以是周期為的周期函數(shù)，且它的圖象關于點中心對稱和關于直線軸對稱，所以為偶函數(shù).故選：AD.13．（多選題）（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】ABC【分析】由題設可得，進而可得、，即可判斷A、B、D的正誤，又可判斷C的正誤.【詳解】由題意知：且，∴，即，可得，∴是周期為2的函數(shù)，且、為奇函數(shù)，故A、B正確，D錯誤；由上知：，即為奇函數(shù)，C正確.故選：ABC.14．（多選題）函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是周期為的周期函數(shù) B．是周期為的周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】BD【分析】AB選項，利用周期函數(shù)的定義判斷；CD選項，利用周期性結合，為奇函數(shù)判斷.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，所以，，所以，，所以，即，故B正確A錯誤；因為，且為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，故D正確；因為與相差1，不是最小周期的整數(shù)倍，且為奇函數(shù)，所以不為奇函數(shù)，故C錯誤.故選：BD.15．（2023·廣東中山·校聯(lián)考模擬預測）函數(shù)的圖像關于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，以下選項正確的有（

）A．關于中心對稱B．關于中心對稱C．函數(shù)的圖象關于點對稱，則D．函數(shù)的圖象關于對稱的充要條件是為偶函數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，即可判斷A錯誤，B正確.對選項C，根據(jù)充要條件的定義即可判斷C正確，對選項D，根據(jù)函數(shù)的對稱性、偶函數(shù)的定義以及充要條件的定義即可判斷D正確.【詳解】對選項A，，，，，故A錯誤.對選項B，由，若，則，故B正確.對選項C，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，令，則有，即，故C正確.對選項D，若為偶函數(shù)，則，令，則有，函數(shù)的圖象關于對稱，故必要性成立，函數(shù)的圖象關于對稱，則有，令，則有，即為偶函數(shù)，故充分性成立，故D正確.故選：BCD16．（2023·福建·統(tǒng)考一模）寫出一個同時滿足下列三個性質的函數(shù)__