2023-2024學(xué)年廣西北海市高考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（一模）含解析

2023-2024學(xué)年廣西北海市高考語文數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（一模）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，，，則可以（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.端午佳節(jié)，小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只蜜棗粽子．現(xiàn)在兩人每次隨機交換一只粽子給對方，則兩次交換后，小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為（）A. B. C. D.4.已知某圓錐底面半徑是高的一半，則其側(cè)面展開圖的圓心角的大小為（）A. B. C. D.5.展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.9 D.126.若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知直線與雙曲線兩條漸近線交于兩點，且點在第一象限.為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.58.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知變量服從正態(tài)分布，當(dāng)從小變大時，則（）A.變大 B.變小C.正態(tài)分布曲線的最高點上移 D.正態(tài)分布曲線的最高點下移10已知，則（）A. B.C. D.11.已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，且，下列命題正確的是（）A.若，則B若恒成立，則C.若，，成等差數(shù)列，則D.當(dāng)時，不存在，使得，，成等差數(shù)列12.已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，過，兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點，則（）A.B.C.D.若的外接圓的直徑為2，則直線的方程為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，的夾角的余弦值為，，，則______．14.已知，且，，則的值為______．15.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，．則的解集為______．16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：與直線交于，兩點，過，分別作圓的切線，．若與交于點，且為線段的中點，則______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求C的值；（2）若，求的周長的最大值．19.某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務(wù)的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、米接力．（1）志愿者小明同學(xué)可以在6個項目中選擇3個項目參加服務(wù)，求小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率；（2）為了調(diào)查志愿者選擇服務(wù)項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學(xué)，其中有9名首選100米，6名首選米接力．現(xiàn)從這15名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查．將其中首選米接力的人數(shù)記作，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．20.如圖，在四棱錐中，底面四邊形是邊長為的正方形，與交于點，底面，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為．（1）求到側(cè)面的距離；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：焦距為2，過點的直線與橢圓交于兩點.當(dāng)直線過原點時，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若存在直線，使得，求的取值范圍.22.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求證.

2023-2024學(xué)年廣西北海市高考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（一模）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，，，則可以是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)補集的定義即可求解.詳解】，所以集合中有元素1，2，3，故中不能有元素1，2，3．故選：D．2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意得，再分析求解即可.【詳解】根據(jù)題意得：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為.故選：C.3.端午佳節(jié)，小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只蜜棗粽子．現(xiàn)在兩人每次隨機交換一只粽子給對方，則兩次交換后，小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】依題意，第一次兩人交換相同的粽子的概率為，第二次小明用肉粽子換小華的蜜棗粽子的概率為，所以兩次交換后，小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為．故選：D4.已知某圓錐的底面半徑是高的一半，則其側(cè)面展開圖的圓心角的大小為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合扇形的弧長公式運算求解.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，則，可得母線長，所以展開圖的圓心角的大小為．故選：B．5.展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.9 D.12【正確答案】C【分析】用二項式定理將展開，進(jìn)一步即可得到的系數(shù).【詳解】由題意，故的系數(shù)為．故選：C．6.若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意，若要使在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，只需，解不等式即可.【詳解】若，則，因為函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，所以，解得．故選：A．7.已知直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，且點在第一象限.為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.5【正確答案】B【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程求出漸近線方程，再與直線方程聯(lián)立求出點A，B的坐標(biāo)，然后列式求出a，b的關(guān)系即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為或，顯然直線與直線交點在第一象限，則有，即，由解得，即點，由解得，即點，而，即，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：B8.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)得到，，，再構(gòu)造函數(shù)比較出，，從而比較出大小.【詳解】令，，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，故，令，，則在上恒成立，故在單調(diào)遞減，故，所以，令，，則，故在上單調(diào)遞減，故，即，構(gòu)造，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在恒成立，故，即，，構(gòu)造，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，即，即，因為，故.故選：C方法點睛：麥克勞林展開式常常用于放縮法進(jìn)行比較大小，常用的麥克勞林展開式如下：，，，，，二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知變量服從正態(tài)分布，當(dāng)從小變大時，則（）A.變大 B.變小C.正態(tài)分布曲線的最高點上移 D.正態(tài)分布曲線的最高點下移【正確答案】BD【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布概念及性質(zhì)可得答案.【詳解】當(dāng)變大時，方差變大，數(shù)據(jù)離散程度變大，所以變小，故B正確，A錯誤；且正態(tài)分布曲線的最高點下移，故C錯誤，D正確．故選:BD．10.已知，則（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】由不等式的性質(zhì)逐一對每個選項分析即可.【詳解】A：，，故A錯誤；B：，，故B正確；C：，故C正確；D：，故存在，，，使得：，故D錯誤．故選：BC．11.已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，且，下列命題正確的是（）A.若，則B若恒成立，則C.若，，成等差數(shù)列，則D.當(dāng)時，不存在，使得，，成等差數(shù)列【正確答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式、通項公式及放縮法可判斷A，分類討論，當(dāng)滿足不等式恒成立時可求出判斷B，由等差中項及等比數(shù)列的通項公式化簡可判斷C，由，，成等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式化簡得，由均值不等式判斷方程無解即可判斷D.【詳解】當(dāng)時，，即A錯誤；當(dāng)時，不恒成立，當(dāng)時，，則，所以，若，上式整理得，不恒成立，若，上式整理得，則，所以，即B正確；由題意可知，，所以，所以，所以，即C正確；因為，所以，整理可得，又，所以不存在符合題意的k，即D正確．故選：BCD12.已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，過，兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點，則（）A.B.C.D.若的外接圓的直徑為2，則直線的方程為【正確答案】BCD【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理即可求解A，根據(jù)焦半徑公式，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解B，利用導(dǎo)數(shù)求解斜率，即可判定C，根據(jù)直徑，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解D.【詳解】，設(shè)：代入拋物線方程得，則，，故A錯誤；對于B：，，，故B正確；對于C：由得，所以，，，故，C正確；對于D：由C可知：,所以的外接圓直徑即為，故，即，，故D正確．故選:BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，的夾角的余弦值為，，，則______．【正確答案】【分析】直接由數(shù)量積、模長的計算公式計算即可.【詳解】由題意．故答案為.14.已知，且，，則的值為______．【正確答案】##【分析】先由已知條件結(jié)合角的范圍、商數(shù)關(guān)系以及平方關(guān)系分別求出的值，然后由兩角差的正弦公式即可算出，結(jié)合即可得解.【詳解】因為，所以，又，，所以，，又，，所以，所以，所以．故答案為.15.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，．則的解集為______．【正確答案】【分析】分和，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象分析求解.【詳解】當(dāng)時，，則，令，可得，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；所以的解集為；當(dāng)時，則，因為為奇函數(shù)，則，可知，即，可得，解得；顯然，不論函數(shù)在處是否有定義，均不滿足.綜上所述：的解集為．故答案為.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：與直線交于，兩點，過，分別作圓的切線，．若與交于點，且為線段的中點，則______．【正確答案】##【分析】在切線圖形中分別在兩個直角三角形中計算的余弦值，從而構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程，求解即可.【詳解】設(shè)，與相交于,因為為線段的中點，所以，半徑，圓心到直線的距離，因為在直角三角形與直角三角形中，可得，所以，解得或，又為的中點，所以圓心在直線下方，所以，即．故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于與的方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由裂項相消法代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意可得，解得，∴.【小問2詳解】由（1）可知，∴．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求C值；（2）若，求的周長的最大值．【正確答案】（1）（2）12【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以，即，又，所以，所以，又，即；【小問2詳解】因為，由余弦定理可知，，又因為，所以，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，所以周長的最大值為12．19.某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務(wù)的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、米接力．（1）志愿者小明同學(xué)可以在6個項目中選擇3個項目參加服務(wù)，求小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率；（2）為了調(diào)查志愿者選擇服務(wù)項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學(xué)，其中有9名首選100米，6名首選米接力．現(xiàn)從這15名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查．將其中首選米接力的人數(shù)記作，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【正確答案】（1）（2）分布列見解析；期望為【分析】（1）記事件A為“選擇60米袋鼠跳服務(wù)”，事件B為“3000米服務(wù)”，則所求概率為，由條件概率計算公式可得答案；（2）依題意，隨機變量可以取0，1，2，3，后可得變量取不同值的概率及對應(yīng)分布列.【小問1詳解】記作事件為“選擇60米袋鼠跳服務(wù)”，事件為“3000米服務(wù)”，則，則所以小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率；【小問2詳解】依題意，隨機變量可以取0，1，2，3，，，，，隨機變量的分布列為0123所以．20.如圖，在四棱錐中，底面四邊形是邊長為的正方形，與交于點，底面，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為．（1）求到側(cè)面距離；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，確定四棱錐為正四棱錐，求出，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點到側(cè)面的距離.（2）由（1）中坐標(biāo)系，利用空間向量求出面面夾角余弦值即得.【小問1詳解】在四棱錐中，正方形的對角線與交于點，底面，因此四棱錐是正四棱錐，是側(cè)棱與底面所成的角，，在中，，，，以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以點到側(cè)面的距離.【小問2詳解】由（