貴州省湄潭縣湄江中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

貴州省湄潭縣湄江中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列中，，，是的前n項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.3．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，4．已知向量分別是直線(xiàn)的方向向量，若，則（）A. B.C. D.5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值為（）A. B.4C. D.6．已知橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，則（）A. B.C. D.7．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.8．正三棱柱各棱長(zhǎng)均為為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.19．在等腰中，在線(xiàn)段斜邊上任取一點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度的概率（）A. B.C. D.10．已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．算盤(pán)是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤(pán)（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤(pán)表示整數(shù)51）．如果撥動(dòng)圖1算盤(pán)中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.1612．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_(kāi)________.14．已知A(1,3)，B(5，－2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)是________15．如圖是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為_(kāi)_____.16．設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，從下列四個(gè)條件：①；②；③；④中選出三個(gè)條件，能使?jié)M足所選條件的存在且唯一的所有c的值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，且的面積為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.①證明：動(dòng)直線(xiàn)恒過(guò)軸上一定點(diǎn)；②設(shè)線(xiàn)段中點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，求的面積的最大值.18．（12分）設(shè)或，（1）若時(shí)，p是q的什么條件？（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍19．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）為深入學(xué)習(xí)貫徹總書(shū)記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話(huà)精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學(xué)在校師生理想信念教育，引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國(guó)共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級(jí)組織本年級(jí)同學(xué)開(kāi)展了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽．為了解本次知識(shí)競(jìng)賽的整體情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人，求至少有人是女生的概率.21．（12分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶(hù)，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計(jì)如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶(hù)中進(jìn)行分層抽樣，抽取6人，再?gòu)闹须S機(jī)選取2人贈(zèng)送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率22．（10分）已知等差數(shù)列公差不為0，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，計(jì)算離心率即可.【詳解】由知，，，，即，故選：B2、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項(xiàng)和，則.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和問(wèn)題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和法.3、C【解析】利用全稱(chēng)量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱(chēng)量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.4、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線(xiàn)的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】求出的最小值，由切線(xiàn)長(zhǎng)公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時(shí)，最小，而，所以故選：A.6、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達(dá)式，再計(jì)算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線(xiàn)的離心率為，則有，所以.故選：D7、A【解析】先化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后再平移即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象.故選：A8、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)面距公式求得正確答案.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C9、C【解析】利用幾何概型的長(zhǎng)度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長(zhǎng)，斜邊，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度的概率.故選：C10、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)由題意，得，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D11、A【解析】根據(jù)給定條件分類(lèi)探求出撥動(dòng)兩枚算珠的結(jié)果計(jì)算得解.【詳解】撥動(dòng)圖1算盤(pán)中的兩枚算珠，有兩類(lèi)辦法，由于撥動(dòng)一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選：A12、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.14、【解析】首先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線(xiàn)方程求解點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)A(1,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(1，－3)，如圖所示，連接A′B并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，即為所求直線(xiàn)A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)方程的應(yīng)用，最值問(wèn)題的求解，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進(jìn)而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.16、，##，【解析】由①②結(jié)合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所選條件中不能同時(shí)有①②，只能是①③④或②③④，若選①③④，結(jié)合余弦定理可求，若選②③④，結(jié)合正弦定理即可求解【詳解】由①②結(jié)合正弦定理，所以，此時(shí)角不唯一，所以故所選條件中不能同時(shí)有①②，所以只能是①③④或②③④，若選①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若選②③④，即，，，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，，故答案為：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，聯(lián)立曲線(xiàn)分別求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，求直線(xiàn)方程判斷定點(diǎn)即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意得，，，又，三個(gè)式子聯(lián)立解得，，，所以橢圓的方程為：【小問(wèn)2詳解】①證明：設(shè)兩條直線(xiàn)分別為和，根據(jù)題意和得斜率存在且不等于；因?yàn)椋栽O(shè)直線(xiàn)：，直線(xiàn)：；由，解得，所以，同理，.當(dāng)時(shí)，，所以直線(xiàn)的方程為：，整理得，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為：，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).②根據(jù)題意得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最大值為：.【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與橢圓綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題18、（1）充要條件；（2）.【解析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解判斷即可；（2）根據(jù)必要不充分條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，解得或，顯然p是q的充要條件；【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為全體實(shí)數(shù)集，顯然由，但不成立，因此p是q的充分不必要條件，不符合題意；當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為：，顯然當(dāng)時(shí)，不一定成立，因此p不是q的必要不充分條件，當(dāng)時(shí)，該不等式解集為：，要想p是q的必要不充分條件，只需，而，所以，因此a的取值范圍為：.19、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，求得，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，由題意可知恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗(yàn)證是否成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，令得.若，則；若，則.①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由于，，，所以，存在，使得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.故，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題.20、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數(shù)的定義求出知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù)，利用古典概型求概率.【小問(wèn)1詳解】，由，解得設(shè)該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為x，則，解得：.即該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在）的人數(shù)有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機(jī)選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、，共種不同取法；則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、，共種不同取法，則所求的概率為21、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分?jǐn)?shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機(jī)選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設(shè)為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2