專題20函數(shù)的綜合性質(zhì)單調(diào)性奇偶性對(duì)稱性周期性（解析版）

專題20函數(shù)的綜合性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間：如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個(gè)自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．3、函數(shù)的對(duì)稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.【方法技巧與總結(jié)】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對(duì)稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【典型例題】例1．（多選題）（2022·江蘇省南通高一期中）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．為單調(diào)減函數(shù) D．為單調(diào)增函數(shù)【答案】ABD【解析】令得，即得，A正確；在定義域范圍內(nèi)令得，即得是奇函數(shù)，B正確；令，，且，所以，又且，，所以，即，所以，即所以在上是單調(diào)增函數(shù)，D正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．例2．（多選題）（2022·重慶高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為非零常數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，記函數(shù)與的圖象在的個(gè)交點(diǎn)為，則D．當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為2，，A正確；當(dāng)時(shí)，取，，，函數(shù)單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)簡圖如圖所示，根據(jù)圖像與的圖像交點(diǎn)分別為，，，，，故，C正確；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)簡圖如圖所示：，根據(jù)圖像知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，現(xiàn)考慮軸上每4個(gè)單位長度為一段的函數(shù)值，最大值依次變大，最小值依次變小，故只需考慮最后一段即可，，，故值域?yàn)?，D正確.故選：ACD例3．（2022·上海高一期末）且，則的值為________．【答案】【解析】由題意，，，故.又，所以，又，從而．故答案為：例4．（2022·福建·福州市第十高一期中）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則_________.【答案】【解析】為偶函數(shù)，故可得，即，又為奇函數(shù)，則，則，，故，，即是周期為的函數(shù)，又為上的奇函數(shù)，則，又，則.故答案為：.例5．（2022·河北·張家口市第四高一期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，則m的取值范圍的集合是______.【答案】或.【解析】由題得.所以，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以.所以.所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，平方得?所以m的取值范圍的集合是或.故答案為：或.例6．（2022·廣東實(shí)驗(yàn)高一期中）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是______．【答案】【解析】由于，且，所以則是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)另外兩個(gè)零點(diǎn)為則方程的兩根分別為，所以則，又，所以于是當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·上海高一期末）已知，是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù)，，若對(duì)任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”．已知，則下列四個(gè)函數(shù)中是在上的“追逐函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)．①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，需滿足：與在上的值域都是，且對(duì)任意的，的圖象恒的上方，當(dāng)時(shí)：①的值域符合題意，且，符合題意.②的值域符合題意，且，符合題意.③，指數(shù)函數(shù)比二次函數(shù)增長快，比如：當(dāng)時(shí)，，不符合題意.④由于，所以不符合題意.綜上所述，正確的有個(gè).故選：B2．（2022·河南·高一期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】是定義在上的奇函數(shù)，∴，即，且，∴，且，所以，∴．故選：C．3．（2022·重慶高一期中）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則此函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定義域?yàn)?，不符合函?shù)圖像，A不滿足；的定義域?yàn)?，不符合函?shù)圖像，B不滿足；，，不符合函數(shù)圖像，D不滿足.故選：C4．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)高一期中）定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】又，，有，設(shè)，有，則，都有，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，故原不等式的解集為.故選：D.5．（2022·湖南·常德市高一期中）已知函數(shù)，對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，函數(shù)的定義域是，且，所以是奇函數(shù)，又函數(shù)與函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，所以可化為：，由遞增知：，即，則對(duì)任意的，恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立，所以，解得，即的取值范圍是，故選：D．6．（2022·重慶高一期中）定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，，則方程所有的根之和為（

）A．44 B．40 C．36 D．32【答案】A【解析】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱，又由題意，故，所以函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，且，故函數(shù)的周期為.又當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上可畫出的部分圖象，又方程的根，即與的交點(diǎn)，由圖可知：函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與曲線交于最高點(diǎn)，所以與在上有個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知：在也有個(gè)交點(diǎn)，并且兩兩關(guān)于中心對(duì)稱，加上共11個(gè)，故其根之和為，故選：.7．（2022·重慶高一期中）已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，定義域?yàn)?，由于為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，為奇函數(shù)，，由，以替換，，所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù).由得，所以關(guān)于對(duì)稱，令，，所以.所以D選項(xiàng)正確，ABC選項(xiàng)無法判斷.故選：D8．（2022·遼寧·育明高中高一期中）已知函數(shù)與函數(shù)（為常數(shù)），若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．1【答案】C【解析】因?yàn)椋躁P(guān)于中心對(duì)稱，又，所以在圖象上，因?yàn)椋赃^點(diǎn)，則函數(shù)和的圖象都關(guān)于中心對(duì)稱，設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)即與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于中心對(duì)稱，則，.故選：C.二、多選題9．（2022·重慶市永川中高一期中）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，下列結(jié)論正確的是（）A．B．是函數(shù)的最小值C．D．函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)【答案】ACD【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)滿足，所以，即，故A正確；如圖函數(shù)滿足題意，而不是函數(shù)的最小值，故B錯(cuò)誤；由題可得，故C正確；由，可知函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，即的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.10．（2022·河北·張家口市第四高一期中）下列命題正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，，則在I上是增函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的充要條件是D．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)是偶函數(shù)【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，即，由知，，即，所以在I上是增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故函數(shù)是偶函數(shù)故D正確.故選:BD11．（2022·江蘇·蘇州高一期中）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．關(guān)于x的方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為B．關(guān)于x的方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為C．若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則或D．若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則或【答案】AC【解析】定義在R上的奇函數(shù)滿足，所以，所以，即函數(shù)的周期，又函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，所以，又，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，解得，作函數(shù)的大致圖象，如圖，由圖可知方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根的和為，故A正確，B錯(cuò)誤；若函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由圖象可知，直線過點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，找出兩個(gè)臨界情況，當(dāng)直線過時(shí)，，有3個(gè)交點(diǎn)當(dāng)直線過時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)，由圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有5個(gè)交點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與的圖象恰有5個(gè)不同的交點(diǎn)，故C正確D錯(cuò)誤.故選：AC12．（2022·湖南·邵陽市第二高一期中）定義在R上函數(shù)滿足：，，，設(shè)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線x=2022對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)（2022，0）中心對(duì)稱C．D．為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，∴，，∴是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，函數(shù)圖象關(guān)于中心對(duì)稱，由得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1軸對(duì)稱，，∴圖象關(guān)于（2022，0）中心對(duì)稱，B正確，A錯(cuò)誤；又，C正確；，則，所以是偶函數(shù)，D正確故選：BCD．三、填空題13．（2022·遼寧·鳳城市第一高一期中）已知函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間有最大值及最小值m，則______.【答案】15【解析】令，其定義域?yàn)椋?，即為奇函?shù)，即函數(shù)在區(qū)間上滿足，所以，即故答案為：14．（2022·河北衡水高一期中）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，滿足對(duì)，，其中，都有，且，則不等式的解集為________（寫成集合或區(qū)間的形式）【答案】【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，令，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù),所以，所以是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，等價(jià)于或，所以或，即不等式的解集為.故答案為：.15．（2022·遼寧·育明高中高一期中）已知函數(shù)定義域?yàn)閰^(qū)間，且圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)殛P(guān)于中心對(duì)稱，所以，且在上單調(diào)遞增，不等式可整理為，即，則，解得.故答案為：.16．（2022·廣東·廣州市黃廣高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則____________．【答案】【解析】由題設(shè)，，則關(guān)于、對(duì)稱，所以，故周期為4，又，而，綜上，可得，故時(shí)，由.故答案為：四、解答題17．（2022·河南·高一期中）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)時(shí)，用定義證明函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，解不等式．【解析】（1），∴，∵為奇函數(shù)，∴，即，化簡得，∴；（2）證明：設(shè)為區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且，，因?yàn)?，所以，，，，即，即所以函?shù)在上是增函數(shù)．（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以，得，則，解得：，故．18．（2022·黑龍江·佳木斯高一期末）已知是定義在上的函數(shù)，滿足.(1)若，求；(2)求證：的周期為4；(3)當(dāng)時(shí)，，求在時(shí)的解析式.【解析】(1)∵，∴.(2)∵對(duì)任意的，滿足∴，∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù).(3)設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，又∵，∴∴.19．（2022·北京交通大學(xué)附屬高一期中）已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式并直接寫出函數(shù)的定義域和值域；(2)求的值并指出函數(shù)的對(duì)稱中心；(3)用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；(4)求函數(shù)在上的最值；(5)若把函數(shù)定義在集合上，使它的值域是，直接寫出集合．【解析】（1）由函數(shù)的圖像過點(diǎn)，所以，所以所以函數(shù)的解析式為由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由所以函?shù)的值域?yàn)椋海?）由（1）所以由，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為（3）證明：設(shè)，且所以因?yàn)椋宜?，，所以，所以，又所以函?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)（4）由（3）知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)所以（5）令，所以，當(dāng)為時(shí)，有函數(shù)的值域是20．（2022·廣東汕頭·高一期末）我們知道：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋敲础昂瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件是“，”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋敲础昂瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件是“，”.(1)判斷