專題18導(dǎo)數(shù)大題專練（非壓軸）

專題18導(dǎo)數(shù)大題專練（非壓軸）導(dǎo)語：導(dǎo)數(shù)大題歷來是高考三大難點(diǎn)之一，也是去年的壓軸題，令眾多考生“談導(dǎo)色變”。而今年新高考1卷的導(dǎo)數(shù)大題破天荒的放在了第三個(gè)位置，并且所考查的函數(shù)結(jié)構(gòu)很常見，第一問所需討論很單一，第二問的證明，用到的構(gòu)造函數(shù)及思路也很常規(guī)。這道高考導(dǎo)數(shù)大題的改變，遏制住了之前為了做導(dǎo)數(shù)要學(xué)大量高等數(shù)學(xué)和二級(jí)結(jié)論的不良風(fēng)氣，也讓水平一般的小朋友有學(xué)導(dǎo)數(shù)的動(dòng)力了，不再是只有尖子生才能碰的東西！你永遠(yuǎn)猜不到命題人會(huì)如何出題，你的依據(jù)永遠(yuǎn)是上年的高考卷，在講導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，生怕同學(xué)們不認(rèn)真聽，生怕同學(xué)們一直都在放棄導(dǎo)數(shù)大題，我們都反復(fù)強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)大題不一定放最后一題，不要天然放棄它，而且以前考地方卷的時(shí)候，很多地方導(dǎo)數(shù)并不是壓軸大題目錄TOC\o"13"\h\z\u高考真題回顧·2023年新高考1卷T19 4題型一分類討論含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 52024屆·河南頂級(jí)名校聯(lián)盟10月月考·T18 52024屆·佛山市一中學(xué)10月月考·T18 62024屆·河北保定市10月摸底檢測·T20 72024屆·長沙市南雅中學(xué)高三開學(xué)考·T20 8題型二不等式證明 102024屆·佛山市順德區(qū)教學(xué)質(zhì)量檢測（一）·T18 102024屆·河南省六市聯(lián)考·T19 112024屆·深圳市寶安區(qū)10月調(diào)研·T19 132024屆·廣州越秀區(qū)月考·T19 132024屆·寧波一?！20 142023屆·山東省煙臺(tái)市二?！20 152024屆·蘇州市高三上期中·T20 162024屆·長沙市一中學(xué)月考(二)·T20 162024屆·長沙市長郡中學(xué)月考(一)·T20 182024屆·廣州市天河區(qū)畢業(yè)班綜合測試（一）·T20 19題型三求參數(shù)范圍 192024屆·廣東省江門市10月調(diào)研·T18 192024屆·山東省德州市適應(yīng)性聯(lián)考（一）·T19 212024屆·深圳市紅嶺中學(xué)第二次統(tǒng)考·T19 222024屆·廣州市花都區(qū)10月調(diào)研·T19 232024屆·湖南省郴州市一模·T20 23題型四雙變量問題 252024屆·重慶南開中學(xué)第一次質(zhì)量檢測·T19 252024屆·湖北宜荊荊隨10月聯(lián)考·T19 262024屆·常州市高三上期中·T19 272024屆·蘇州市常熟中學(xué)階段性抽測（一）·T20 272024屆·江蘇徐州聯(lián)考·T20 282024屆·廣東省七校第一次聯(lián)考·T19 292024屆·河南湘豫名校聯(lián)考（二）·T20 30題型五能成立問題 312024屆·山西省呂梁市11月測試·T19 312024屆·福州格致中學(xué)10月質(zhì)檢·T19 312024屆·浙江省金華一中學(xué)10月月考·T20 322024屆·海南省海南中學(xué)第2次檢測 33高考真題回顧·2023年新高考1卷T19已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.重點(diǎn)題型·歸類精重點(diǎn)題型·歸類精練題型一分類討論含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2024屆·河南頂級(jí)名校聯(lián)盟10月月考·T18已知函數(shù)，討論函數(shù)單調(diào)性.【詳解】，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，上，在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，在和為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù).綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上為減函數(shù)；時(shí)，在上為增函數(shù)；時(shí)，在和為增函數(shù)，在上為減函數(shù).2024屆·佛山市一中學(xué)10月月考·T18給定函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；(2)求出方程的解的個(gè)數(shù)．【答案】(1)函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，的極小值為：，無極大值.(2)當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)或時(shí)，方程有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，解得，令，解得，所以函?shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以的極小值為：，無極大值.綜上所述：函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，的極小值為：，無極大值.（2）易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性和極值可以大致作出函數(shù)圖像如下所示：由（1）知，的極小值即為函數(shù)最小值，方程的解的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由下圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線沒有交點(diǎn)，故方程無解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有個(gè)交點(diǎn)，故方程有個(gè)解；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有個(gè)交點(diǎn)，故方程有個(gè)解；綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)或時(shí)，方程有個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解.2024屆·河北保定市10月摸底檢測·T20已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，則，所以曲線在處的切線方程為，即；（2），當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.2024屆·長沙市南雅中學(xué)高三開學(xué)考·T20已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若既有極大值又有極小值，且極大值和極小值的和為．解不等式．【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，注意討論正負(fù)以及與的關(guān)系。然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知，的范圍是且，，題目轉(zhuǎn)化為求解，構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值，從而解得不等式的解集；【詳解】（1）定義域：，1°時(shí)，令，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；2°時(shí)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2）由（1）知：且，且即：解不等式；（且）等價(jià)于解不等式：令，，所以在單調(diào)遞增，且，所以，即不等式的解集為．題型二不等式證明2024屆·佛山市順德區(qū)教學(xué)質(zhì)量檢測（一）·T18已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得．當(dāng)時(shí)，恒成立，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，可得，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；令，可得，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；綜上所述：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）法一：當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于，令，則，令，可得，即有在上單調(diào)遞減；令，可得，即有在上單調(diào)遞增．從而可得函數(shù)的最小值為，綜上即可得的取值范圍是．法二：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的在上單調(diào)遞增，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，即，解得：，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．2024屆·河南省六市聯(lián)考·T19設(shè)函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，記的最小值為，證明：．【分析】（1）由題意可得的定義域?yàn)?求出的導(dǎo)函數(shù),通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷的單調(diào)性；（2）先結(jié)合（1）得到，解法一：先求導(dǎo)，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而即可證明；解法二：根據(jù)題意可得要證，即證，從而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而即可證明．【詳解】（1）依題意可得的定義域?yàn)?，由，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，，此時(shí)單調(diào)遞減；若，，此時(shí)單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，，即．解法一：則，則，所以單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；所以，又，即，即，所以，顯然在上單調(diào)遞增，又，所以，即．解法二：要證，即證，即證，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；所以，所以，即．2024屆·江蘇省蘇州市高三上期中·T20已知函數(shù)滿足．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間;(2)【詳解】（1）因?yàn)椋裕?/p>

令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，即恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由題意在區(qū)間上恒成立，即恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，只需，因?yàn)?，令，，有，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．2024屆·深圳市寶安區(qū)10月調(diào)研·T19已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的符號(hào)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）原不等式等價(jià)于，等價(jià)于證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求解最大值即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，.令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以.設(shè)，則，令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以命題得證.2024屆·廣州越秀區(qū)月考·T19已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【詳解】（1）由且，當(dāng)，即，則，此時(shí)在上遞減；當(dāng)，即，則上，上，此時(shí)在上遞增，上遞減；綜上，時(shí)在上遞減；時(shí)在上遞增，在上遞減；（2）由（1）知：時(shí)，要證，即證，只需證在上恒成立，令且，則，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以，即在上恒成立，故時(shí)，得證.2024屆·寧波一模·T20已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，【分析】（1）分類討論，分別判斷的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為求證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由可得，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，，只需證，即證，設(shè)，則，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.2023屆·山東省煙臺(tái)市二模·T20已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．【答案】(1)；(2)證明見解析【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即為最大值，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）解：當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，可得，要使得，只需使得，令，可得，所以單調(diào)遞增，又由，所以，所以單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，可得且，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)榍遥?，所以，綜上可得，對(duì)于，都有.2024屆·蘇州市高三上期中·T20已知函數(shù)滿足．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以?/p>

令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，即恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由題意在區(qū)間上恒成立，即恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，只需，因?yàn)椋?，，有，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．2024屆·長沙市一中學(xué)月考(二)·T20已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為的證明；利用單調(diào)遞增和零點(diǎn)存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而得到，化簡后，結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)解析式可知，定義域?yàn)?（1），在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立令，則，在上單調(diào)遞增，，，解得：，的最大值為.（2）由（1）知：，則，在上單調(diào)遞增.，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，即，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.當(dāng)時(shí)，.2024屆·長沙市長郡中學(xué)月考(一)·T20已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）先證明引理：，恒有且，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求證即可，再由引理原命題得證.【詳解】（1）因?yàn)椋x域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，令，得，則當(dāng)時(shí)，，有在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，有在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）我們先證明引理：，恒有且．引理的證明：設(shè)，．故只需證明，恒有，．由于，知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，恒有．由于，知當(dāng)，均有，所以恒有，故在上單調(diào)遞增，則．所以，恒有．綜上，引理得證．回到原題：由（1）得，故只需證明：對(duì)，恒有，即．由引理得．命題得證．2024屆·廣州市天河區(qū)畢業(yè)班綜合測試（一）·T20已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有最小值，證明：．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，則，由于，故令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）由于，故，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無最小值；當(dāng)時(shí)，令，解得，即在上單調(diào)遞減，令，解得，即在上單調(diào)遞增，故在是取極小值也是最小值，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，即，所以，即.題型三求參數(shù)范圍2024屆·廣東省江門市10月調(diào)研·T18已知函數(shù).(1)求的極值：(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值；(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，解得，?dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故a的取值范圍為.2024屆·山東省德州市適應(yīng)性聯(lián)考（一）·T19已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在處取極大值；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由于，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減：所以當(dāng)時(shí)，在處取極大值，無極小值；（2），令，得，令，在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，即與在區(qū)間有2個(gè)交點(diǎn)，，，，當(dāng)，，在上單增，當(dāng)，，在上單減，，的最大值為，，與在區(qū)間有2個(gè)交點(diǎn)，則．2024屆·深圳市紅嶺中學(xué)第二次統(tǒng)考·T19若函數(shù)在處有極小值．(1)求c的值；(2)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)3；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在處有極小值，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在處取得極小值；當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在處取得極大值，不合題意，舍去．所以c的值為3.（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在R上單調(diào)遞增，時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)1；時(shí)，，，恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，解得或，解得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，有極大值，時(shí)，有極小值，恰有一個(gè)零點(diǎn)，或解得，綜上可知，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.2024屆·廣州市花都區(qū)10月調(diào)研·T19已知函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)證明：；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【詳解】（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，，，故恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，得證；（2）在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，，由（1）得，（?。┊?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故，符合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上為增函數(shù)，則必存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，不符合題意，綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為.2024屆·湖南省郴州市一模·T20已知函數(shù).(1)若曲線在處切線與軸平行，求；(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.【答案】(1)1；(2)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分類討論的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)情況，從而得到其極值情況，由此得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)榍€在處切線與軸平行，所以，解得，又，所以.（2）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極小值，不滿足題意；（iii）當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極大值，滿足題意；綜上所述，的取值范圍為.題型四雙變量問題2024屆·重慶南開中學(xué)第一次質(zhì)量檢測·T19已知函數(shù)在處的切線和直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)任意的，，都有成立（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1);(2)【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，可得因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線l和直線垂直，所以，即，解得.（2）解：不妨設(shè)，則，因?yàn)閷?duì)任意的，，都有成立，可得，即，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，從而有，即在上恒成立，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，解得，令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故在上最小值，所以，?shí)數(shù)的取值范圍是.2024屆·湖北宜荊荊隨10月聯(lián)考·T19已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，若，且對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得，由，即在上單調(diào)遞增，由，即在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）時(shí)，，，令，由，在上單調(diào)遞增，由，即在上單調(diào)遞減，，，對(duì)成立，只要，即對(duì)恒成立，，對(duì)恒成立，令，則，且在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，，.2024屆·常州市高三上期中·T19已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)對(duì)于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)在上遞減；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；當(dāng)時(shí)在上遞增．所以當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由題設(shè)知對(duì)恒成立．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題設(shè)，舍去．當(dāng)時(shí)，在上遞增，只需符合．綜上：．2024屆·蘇州市常熟中學(xué)階段性抽測（一）·T20已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)對(duì)，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)?，則令，得或，列表如下：x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減，.（2）解：由題意可得，由（1）可知在單調(diào)遞減，∴，∴在有解，，令，，令，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，.2024屆·江蘇徐州聯(lián)考·T20設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．(1)求的極值；(2)對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值.;(2)【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以?即.因?yàn)?，，都有，所以的值域是的值域的子?即，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.2024屆·廣東省七校第一次聯(lián)考·T19設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．(1)求的極值；(2)對(duì)于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極大值為，極小值為；(2)【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）解：對(duì)于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.2024屆·河南湘豫名校聯(lián)考（二）·T20已知函數(shù)，，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?由可得，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述：