專題1.3 三角形內(nèi)角和定理（重點題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題1.3三角形內(nèi)角和定理【典例1】如圖，直線l∥線段BC，點A是直線l上一動點．在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線．（1）如圖1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度數(shù)；（2）當點A在直線l上運動時，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并畫出對應(yīng)圖形進行說明．【思路點撥】（1）根據(jù)角平分線的定義得∠BAE=12∠BAC＝40°，而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°（2）根據(jù)高在形內(nèi)和形外進行分類，再根據(jù)AB，AC，AD為位置進行討論．【解題過程】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAE=12∠BAC＝∵AD是△ABC的高線，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；（2）如圖1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如圖2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；如圖3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；如圖4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．1．（2021秋?包河區(qū)期末）已知△ABC的內(nèi)角分別為∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的條件是（）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠C＝2∠B C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【思路點撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解決此題．【解題過程】解：A．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，由∠A＝2∠B＝3∠C，得∠A＞∠B＞∠C，∠A+∠B+∠C＝∠A+12∠A+13∠A=180°，求得∠A=1080°B．由∠C＝2∠B無法推斷出△ABC的內(nèi)角的度數(shù)，那么選項B不能判定△ABC是直角三角形．C．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，由∠A+∠B＝∠C，得2∠C＝180°，求得∠C＝90°，故△ABC是直角三角形，那么選項C能判定△ABC是直角三角形．D．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，設(shè)∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，得3x+4x+5x＝180°，求得x＝15°，進而推斷出∠C＝75°，∠B＝60°，∠A＝45°，那么選項D無法推斷出△ABC是直角三角形．故選：C．2．（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，某位同學(xué)將一副三角板隨意擺放在桌上，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．90° D．100°【思路點撥】由題意可得∠A＝90°，利用對頂角相等得∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，再利用三角形的內(nèi)角和即可求解．【解題過程】解：如圖，由題意得：∠A＝90°，∵∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB，在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°，即∠1+∠2＝90°．故選：C．3．（2021秋?大余縣期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的平分線．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．則∠DAE+∠ACD等于（）A．75° B．80° C．85° D．90°【思路點撥】依據(jù)AD是BC邊上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依據(jù)∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根據(jù)△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．【解題過程】解：∵AD是BC邊上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．故選：A．4．（2021秋?云陽縣期末）如圖，鈍角△ABC中，∠2為鈍角，AD為BC邊上的高，AE為∠BAC的平分線，則∠DAE與∠1、∠2之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是（）A．∠DAE＝∠2﹣∠1 B．∠DAE=∠2-∠1C．∠DAE=∠22-∠1 D．【思路點撥】由直角三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝90°﹣∠1，利用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義可求得∠CAE=12∠BAC=12（180°﹣∠1﹣∠2），再根據(jù)∠DAE＝∠DAC【解題過程】解：∵AD是BC邊上的高，∴∠D＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠1，∵∠BAC+∠2+∠1＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠2，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12（180°﹣∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝90°﹣∠1-12（180°﹣∠1﹣∠2）故選：B．5．（2021秋?長沙縣期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，則∠B＝．【思路點撥】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得180°+2∠C+∠C＝180°，據(jù)此求出∠C的度數(shù)是多少，進而求出∠B的度數(shù)是多少；【解題過程】解：∵∠A＝108°，∠B＝2∠C，∴108°+2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝34°，∴∠B＝2∠C＝2×34°＝68°．故答案為：68°．6．（2021秋?平陽縣期中）當三角形中一個內(nèi)角β是另一個內(nèi)角α的2倍時，我們稱此三角形為“幸運三角形”，其中角α稱為“幸運角”．如果一個“幸運三角形”中有一個內(nèi)角為48°，那么這個“幸運三角形”的“幸運角”度數(shù)為．【思路點撥】設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別是∠1、∠2、α．由題意得α＝48°或∠1＝48°或∠2＝48°，故需分這3種情況討論．【解題過程】解：設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別是∠1、∠2、α．當α＝48°，則∠1＝24°．當∠1＝48°，則α＝2∠1＝96°．當∠2＝48°，則∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．∴3∠1＝132°．∴∠1＝44°．綜上：“幸運角”α可能為48°或24°或44°．故答案為：48°或24°或44°．7．（2021?南崗區(qū)校級開學(xué)）在△ABC中，∠B＝35°，AD、AE分別是△ABC的高線和角平分線，∠DCA＝75°，則∠DAE的度數(shù)為．【思路點撥】可分兩種情況：當∠C為銳角時，當∠C為鈍角時，由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠BAC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可得∠BAE的度數(shù)，利用三角形的高線及三角形內(nèi)角的了可求解∠BAD的度數(shù)，進而可求解．【解題過程】解：當∠C為銳角時，如圖，∵∠B＝35°，∠DCA＝75°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣75°＝70°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝35°，∵AD是△ABC的高線，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣35°＝20°；當∠C為鈍角時，如圖，∵∠DCA＝75°，∴∠ACB＝180°﹣75°＝105°，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝180°﹣105°﹣35°＝40°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝20°，∵AD是△ABC的高線，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣20°＝35°．故答案為20°或35°．8．（2021?香坊區(qū)校級開學(xué)）在△ABC中，∠A＝50°，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，直線BD與CE交于點H，則∠BHC的度數(shù)為．【思路點撥】可分三種情況：當△ABC為銳角三角形時，當△ABC為鈍角三角形時，當△ABC為直角三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)計算可求解．【解題過程】解：如圖，當△ABC為銳角三角形時，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠BHC＝∠BEC+∠ABD＝90°+40°＝130°；當△ABC為鈍角三角形時，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠BHC＝∠BEC+∠ABD＝90°﹣40°＝50°；當△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°時，∠BHC不存在，故∠BHC的度數(shù)為130°或50°．9．（2021秋?渦陽縣期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度數(shù)．【思路點撥】將第一個等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．【解題過程】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，由三角形內(nèi)角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，解得∠A＝45°．10．（2021秋?陸川縣期中）如圖：是一個大型模板，設(shè)計要求BA與CD相交成26°角，DA與CB相交成37°角，現(xiàn)小燕測得∠A＝151°，∠B＝66°，∠C＝88°，∠D＝55°，她就斷定這塊模板是合格的，這是為什么？【思路點撥】延長DA，CB相交于點F，延長BA，CD相交于點E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠F和∠E的度數(shù)，即可判斷．【解題過程】解：如圖，延長DA，CB相交于點F，延長BA，CD相交于點E，∵∠C+∠ADC＝88°+55°＝143°，∴∠F＝180°﹣143°＝37°，∵∠C+∠ABC＝88°+66°＝154°，∴∠E＝180°﹣154°＝26°，故這塊模板是合格的．11．（2021秋?大連期中）如圖，在△ABC中，∠B＝75°，AD⊥BC，∠C＝∠CAD，求∠C，∠BAC的度數(shù)．【思路點撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【解題過程】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，又∵∠C＝∠CAD，∴∠C＝∠CAD＝45°，∵∠B＝75°，∴∠DAB＝90°﹣∠B，＝90°﹣75°，＝15°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝15°+45°＝60°．∴∠C＝45°，∠BAC＝60°．12．（2021秋?建昌縣期末）如圖，AD是∠BAC的平分線，CE是△ADC邊AD上的高，若∠BAC＝70°，∠ECD＝20°．求∠ACB的度數(shù)．【思路點撥】根據(jù)角平分線的定義求出∠DAC的度數(shù)，所以EDCA可求，進而求出∠ACB的度數(shù)．【解題過程】解：∵AD是∠BAC的平分線，∠BAC＝70°，∴∠DAC＝35°，∵CE是△ADC邊AD上的高，∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，∵∠ECD＝25°∴∠ACB＝55°+25°＝80°，答：∠ACB的度數(shù)為80°．13．（2021秋?合川區(qū)期末）如圖，△ABC的角平分線BD、CE相交于點F．（1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度數(shù)；（2）求證：2∠BFC＝∠A+180°．【思路點撥】（1）先利用三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB＝76°，再結(jié)合角平分線的定義可求解∠BFC的度數(shù)，進而可求解∠CFD的度數(shù)；（2）利用角平分線的定義可求解∠BFC＝180°-12（∠ABC+∠ACB），再結(jié)合角平分線的定義可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠【解題過程】（1）解：∵∠A＝54°，∠ABC＝50°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣54°＝76°，∵△ABC的角平分線BD、CE相交于點F，∴∠CBF=12∠ABC＝25°，∠BCF=12∠∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣25°﹣38°＝117°，∴∠CFD＝180°﹣117°＝63°；（2）證明：∵△ABC的角平分線BD、CE相交于點F，∴∠CBF=12∠ABC，∠BCF=1∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣（12ABC+12ACB）＝180°-12（∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BFC＝180°-12（180°﹣∠A）＝90°+1即2∠BFC＝180°+∠A．14．（2021秋?和平區(qū)期末）如圖，BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∠A＝60°，求∠BEC和∠BFC的度數(shù)．【思路點撥】利用三角形的內(nèi)角和定理先求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)和，再根據(jù)三等分的性質(zhì)求出∠CBF+∠BCF、∠CBE+∠BCE，最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BEC和∠BFC的度數(shù)．【解題過程】解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°．∵BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∴∠CBF=13∠ABC，∠BCF=1∠CBE=23∠ABC，∠BCE=2∴∠CBF+∠BCF=13（∠ABC+∠ACB）＝∠CBE+∠BCE=23（∠ABC+∠ACB）＝∴∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝100°，∠BFC＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝140°．15．（2021秋?吳興區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線，已知∠BAC＝100°．（1）若∠DAE＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）設(shè)∠DAE＝α（0°＜α＜40°），用含有α的代數(shù)式表示∠C的大?。舅悸伏c撥】（1）由題意可求得∠AED＝70°，再由角平分線的定義可得∠EAC＝50°，即可求∠C的度數(shù)；（2）仿照（1）的解答過程進行求解即可．【解題過程】解：（1）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝20°，∴∠AED＝90°﹣20°＝70°，又∵∠BAC＝100°，AE是角平分線，∴∠EAC＝50°，∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝70°﹣50°＝20°；（2）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝α，∴∠AED＝90°﹣α，又∵∠BAC＝100°，AE是角平分線，∴∠EAC＝50°，∴∠C＝∠AED﹣∠EAC＝（90°﹣α）﹣50°＝40°﹣α．16．（2020秋?漢陽區(qū)期末）上小學(xué)時，我們已學(xué)過三角形三個內(nèi)角的和為180°．定義：如果一個三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°．那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．（1）若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如圖，若AD是∠BAC的平分線，請你判斷△ABD是否為“準互余三角形”？并說明理由．②點E是邊BC上一點，△ABE是“準互余三角形”，若∠ABC＝24°，則∠EAC＝．【思路點撥】（1）根據(jù)“準互余三角形”的定義，由于三角形內(nèi)角和是180°，∠C＞90°，∠A＝60°，只能是∠A+2∠B＝90°；（2）①由題意可得∠ADB＞90°，所以只要證明∠B與∠BAD滿足2α+β＝90°，即可解答，②由題意可得∠AEB＞90°，所以分兩種情況，∠B+2∠BAE＝90°，2∠B+∠BAE＝90°．【解題過程】解：（1）∵△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴∠A+2∠B＝90°，∴∠B＝15°，故答案為15°；（2）①△ABD是“準互余三角形”，理由：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∴2∠BAD+∠B＝90°，∴△ABD是“準互余三角形”，②由題意可得∠AEB＞90°，∵△ABE是“準互余三角形”，∴分兩種情況：當∠B+2∠BAE＝90°時，∠BAE＝33°，∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠BAE＝33°，當2∠B+∠BAE＝90°時，∠BAE＝42°，∴∠EAC＝90°﹣∠B﹣∠BAE＝24°，∴∠EAC＝33°或24°，故答案為33°或24°．17．（2021秋?金安區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點D為∠ABC的平分線BD上一點，連接AD，過點D作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F．（1）如圖1，若AD⊥BD于點D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度數(shù)（用含α和β的代數(shù)式表示）．【思路點撥】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BAD的度數(shù)；（2）過點A作AG∥BC，則∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，依此即可求解．【解題過程】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，又∵∠BDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠BAD＝60°；（2）如圖2，過點A作AG∥BC，則∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，則∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β-12∠ABC＝β-18．（2021秋?南山區(qū)校級期末）∠MON＝90°，點A，B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合）．（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點A、點B的運動，∠AEB＝°；（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點D．①若∠BAO＝60°，則∠D＝°；②隨著點A，B的運動，∠D的大小是否會變化？如果不變，求∠D的度數(shù)；如果變化，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②由①的思路可得結(jié)論．【解題過程】解：（1）∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=1∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）＝∴∠AEB＝135°；故答案為：135；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠OBD＝∠CBN=12×150°∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案為：45；②∠D的度數(shù)不隨A、B的移動而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．19．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【思路點撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解題過程】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得