北京市順義第九中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

北京市順義第九中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．給出下面四個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．若直線與直線平行，則的值為A． B． C． D．3．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．4．已知扇形的圓心角，弧長為，則該扇形的面積為（）A． B． C．6 D．125．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形6．已知三棱柱()A． B． C． D．7．如圖所示的陰影部分是由軸及曲線圍成，在矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．8．已知為第Ⅱ象限角，則的值為（）A． B． C． D．9．為了了解運(yùn)動員對志愿者服務(wù)質(zhì)量的意見，打算從1200名運(yùn)動員中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段間隔為A．40 B．20 C．30 D．1210．在中，角的對邊分別為，若，則的最小值是（）A．5 B．8 C．7 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最大值為，最小值為，則的最小正周期為______．12．如圖，在邊長為的菱形中，，為中點(diǎn)，則______.13．中，若，，則角C的取值范圍是________.14．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)_______.15．已知向量，則的單位向量的坐標(biāo)為_______.16．方程的解為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，問在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.18．已知數(shù)列中，．.（1）寫出、、；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．19．?dāng)?shù)列中，，（為常數(shù)）.（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在，使得為等比數(shù)列？并說明理由.20．已知數(shù)列前項(xiàng)和（），數(shù)列等差，且滿足，前9項(xiàng)和為153.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及使不等式對一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）設(shè)，問是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.21．已知函數(shù)=的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?其中為常數(shù)).(1)若,求及;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】①；②；③；④,所以正確的為①②，選B.2、C【解題分析】試題分析：由兩直線平行可知系數(shù)滿足考點(diǎn)：兩直線平行的判定3、C【解題分析】

由可得,代入求解可得,則,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求解即可【題目詳解】由可得,即,所以,因?yàn)?所以,則,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查垂直向量的應(yīng)用,考查里利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值4、A【解題分析】

可先由弧長計(jì)算出半徑，再計(jì)算面積．【題目詳解】設(shè)扇形半徑為，則，，．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形面積公式，考查扇形弧長公式，掌握扇形的弧長和面積公式是解題基礎(chǔ)．5、C【解題分析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，與不平行，∴四邊形ABCD為梯形．6、C【解題分析】因?yàn)橹比庵?，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝7、A【解題分析】，所以，故選A。8、B【解題分析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【題目詳解】因?yàn)?，所以或，又為第Ⅱ象限角，故，．因?yàn)闉榈冖蛳笙藿羌?，所以，，即為第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用以及象限角的集合應(yīng)用．9、C【解題分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔等于個(gè)體總數(shù)除以樣本容量，即可求解.【題目詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，結(jié)合題意可分段的間隔，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣的定義和方法，其中解答中熟記系統(tǒng)抽樣的定義和方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

先化簡條件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根據(jù)等式利用基本不等式求解最小值.【題目詳解】由，得，化簡整理得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查正、余弦定理在邊角化簡中的應(yīng)用，難度一般.對于利用基本不等求最值的時(shí)候，一定要注意取到等號的條件.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先換元，令，所以，利用一次函數(shù)的單調(diào)性，列出等式，求出，然后利用正切型函數(shù)的周期公式求出即可．【題目詳解】令，所以，由于，所以在上單調(diào)遞減，即有，解得，，故最小正周期為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正切型函數(shù)周期公式的應(yīng)用，以及換元法的應(yīng)用．12、【解題分析】

選取為基底，根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)?,，又，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的加法減法運(yùn)算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.13、；【解題分析】

由，利用正弦定理邊角互化以及兩角和的正弦公式可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【題目詳解】由正弦定理可得，又，則,即，則，C是三角形的內(nèi)角，則，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題注意考查正弦定理以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.14、1【解題分析】

在方向上的投影為，把向量坐標(biāo)代入公式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求得.【題目詳解】因?yàn)?，所以，解得：，故填?【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.15、.【解題分析】

由結(jié)論“與方向相同的單位向量為”可求出的坐標(biāo).【題目詳解】，所以，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查單位向量坐標(biāo)的計(jì)算，考查共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，充分利用共線單位向量的結(jié)論可簡化計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及正切函數(shù)的周期為kπ，即可得到原方程的解．【題目詳解】則故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查學(xué)生掌握正切函數(shù)的圖象及周期性，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立，詳見解析【解題分析】

（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標(biāo)，再求出圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)為由韋達(dá)定理得，假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)其為，由求得，再驗(yàn)證所作直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)也滿足題意．【題目詳解】（1）的中點(diǎn)為，∴的垂直平分線的斜率為，∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點(diǎn)為圓心，則，解得，又．∴圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則過點(diǎn)的直線方程為，故由，整理得，設(shè)，設(shè)，則，，，即，當(dāng)斜率不存在時(shí)，成立，∴在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立【題目點(diǎn)撥】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可先求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后得標(biāo)準(zhǔn)方程，注意圓心一定在弦的中垂線上．定點(diǎn)問題，通常用設(shè)而不求思想，即設(shè)直線方程與圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由韋達(dá)定理得，然后設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)如本題，再由條件求出，若不能求出說明定點(diǎn)不存在，如能求出值，注意驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)，此定點(diǎn)也滿足題意．18、（1），，；（2）猜想，證明見解析.【解題分析】

（1）利用遞推公式可計(jì)算出、、的值；（2）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)可猜想出，然后利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明出猜想成立.【題目詳解】（1），，則，，；（2）猜想，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么當(dāng)時(shí)，，這說明當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由歸納原理可知，.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)，同時(shí)也考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.19、（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)，使得{an}為等比數(shù)列【解題分析】

（Ⅰ）由已知求得a1，a4，再由-a1，，a4成等差數(shù)列列式求p的值；（Ⅱ）假設(shè)存在p，使得{an}為等比數(shù)列，可得，求解p值，驗(yàn)證得答案．【題目詳解】（Ⅰ）由a1=1，，得，，則，，，．由，，a4成等差數(shù)列，得a1=a4-a1，即，解得：p=1；（Ⅱ）假設(shè)存在p，使得{an}為等比數(shù)列，則，即，則1p=p+1，即p=1．此時(shí)，，∴，而，又，所以，而，且，∴存在實(shí)數(shù)，使得{an}為以1為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．20、（1），；（2），；（3）11.【解題分析】

（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由，可得為等差數(shù)列，由已知求出公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列，的通項(xiàng)公式代入，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，可得使不等式對一切都成立的最小正整數(shù)的值；（3）分為偶數(shù)和奇數(shù)分類分析得答案．【題目詳解】解：（1）由．故當(dāng)時(shí)，．時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，，又，即，為等差數(shù)列，于是．而，故，，因此，，即；（2）．．易知單調(diào)遞增，由，得，而，故，；（3），①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)．此時(shí)，，，．②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)