兩個(gè)重要極限的推廣與應(yīng)用

./兩個(gè)重要極限的推廣與應(yīng)用摘要：極限在數(shù)學(xué)分析中占有很重要的地位,不但是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)概念,而且也是數(shù)學(xué)分析的基石.兩個(gè)重要極限又是極限中的重點(diǎn)和難點(diǎn),所以對(duì)于我們數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生尤其的重要.我們不僅要記住兩個(gè)重要極限及其推廣形式,還要能夠熟練的運(yùn)用這些公式解決極限中遇到的問題.當(dāng)然這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)起來有一定的難度,為了幫助同學(xué)們更容易掌握這部分內(nèi)容,本文將結(jié)合實(shí)例對(duì)其進(jìn)行深入分析,來探究兩個(gè)重要極限的基本形式及其推廣與應(yīng)用.關(guān)鍵詞：重要極限推廣形式應(yīng)用TwoimportantlimitsofpopularizationandapplicationAbstract:Limitinthemathematicalanalysisoccupiesaveryimportantposition,butabasicmathconcepts,butalsothecornerstoneofmathematicalanalysis.Twoimportantlimitandlimitthekeyanddifficultpointforus,somathematicsmajorsisespeciallyimportant.Weshouldnotonlyremembertwoimportantlimitandextendingforms,butalsocanskilledusingtheseformulaeinsolvingtheproblemsofthelimit.Ofcoursethissectionstudyuphasthecertaindifficulty,inordertohelptheclassmatesmucheasiertomasterthissection,thepaperwillbecombinedwithitsfurtheranalysis,toexplorethebasicformoftwoimportantlimititspopularizationandapplication.Keywords:ImportantlimitExtendedformapplication極限在數(shù)學(xué)分析中占有很重要的位置,它貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容,是積分和微分的基石,也是一個(gè)基本概念,而利用兩個(gè)重要極限和來求極限是極限內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn).運(yùn)用兩個(gè)重要極限解某一類極限問題時(shí)不僅可以簡化極限計(jì)算的步驟,節(jié)約時(shí)間,而且過程清晰明了,使人易懂.對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,更應(yīng)該熟練掌握這部分內(nèi)容,并且能夠靈活運(yùn)用它.為了使大家更容易掌握這部分內(nèi)容,本文將運(yùn)用多個(gè)實(shí)例來對(duì)兩個(gè)重要極限及其推廣形式進(jìn)行一些分析、歸納和探討.1.兩個(gè)重要極限的基本形式及其推廣形式1.1<1>運(yùn)用這個(gè)極限時(shí)我們一定要注意以下幾個(gè)方面：=1\*GB3①分?jǐn)?shù)線上面的x要與分?jǐn)?shù)線下面的x要保持一致.=2\*GB3②公式中的x一般要趨近于0,并且要符合型的未定式.=3\*GB3③式子中的x不但可以表示一個(gè)未知數(shù),而且可以代表一個(gè)式子.=4\*GB3④通過數(shù)學(xué)中的變量替換,我們知道當(dāng)時(shí)可以推廣為<2>=5\*GB3⑤這一重要極限我們可以記做,其中代表一個(gè)未知量.1.2<3>或<4>同樣,在應(yīng)用這個(gè)重要極限時(shí)我們也要注意幾個(gè)方面：=1\*GB3①同〔1式中的x一樣,此處的x可以表示一個(gè)未知數(shù)x,也可以表示一個(gè)式子.=2\*GB3②當(dāng)時(shí)有<5>或當(dāng)時(shí)有<6>=3\*GB3③由=2\*GB3②中可以看出此處的x可以趨近于0,也可以趨近于,但必須與〔3和〔4中保持一致.=4\*GB3④由〔3〔4〔5〔6我們可以看出公式中括號(hào)內(nèi)加號(hào)后面的部分與括號(hào)外的冪次互為倒數(shù),并且基本形式與推廣形式都可以轉(zhuǎn)化為這種類型的極限問題.=5\*GB3⑤類比于,這一重要極限我們可以記做,其中代表一個(gè)未知量.2.求極限時(shí)兩個(gè)重要極限的具體應(yīng)用2.1及其推廣公式的應(yīng)用例1求分析：由公式〔1我們可以直接得到解：=5例2求分析：觀察題目我們看出,由于當(dāng)x0時(shí)有3x0,如果我們把分母中的x變成3x就可以運(yùn)用公式〔2來解這道題目,因此解：===3例3求分析：在解這道題時(shí)我們要先利用三角函數(shù)把tanx轉(zhuǎn)化為sinx,然后再把分子和分母都轉(zhuǎn)化為公式中的形式,再利用上面給出的公式,這樣就可以解決這道題目.解：例4求分析：觀察題目我們可以看到,題中有,我們可以利用三角函數(shù)公式將其先轉(zhuǎn)換成,然后再利用上面的推廣公式就可以很順利的解決這道題目了.解：==例5求分析：通過觀察可以看出,把分子上的未知數(shù)轉(zhuǎn)化到分母上可以湊成推廣公式的形式,再利用其就可以計(jì)算出該題.解：2.2或及其推廣公式的應(yīng)用例6求分析：觀察可以看出,先做一下等價(jià)變形,然后再利用基本形式就可以計(jì)算出答案.解：例8求分析：通過觀察我們可以看出,先運(yùn)用三角函數(shù)的二倍角公式把分子和分母都轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù),然后再把分子和分母分別湊成推廣形式,再利用公式即可解出這道題.解：=例7求分析：在解這道題時(shí),我們要注意括號(hào)中1之后的符號(hào)是正號(hào)還是負(fù)號(hào)解：例8求分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉(zhuǎn)化為的形式,然后我們利用分離系數(shù)將其等價(jià)變形為我們熟知的求極限的形式,再利用上面的公式即可解決問題.解：例9求分析：通過觀察我們可以看出,該道題可以轉(zhuǎn)化為的形式,我們利用分離系數(shù)把其轉(zhuǎn)化為上面給出的形式,然后再利用公式即可解出.解：例10求分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉(zhuǎn)化為的形式,然后我們利用分離系數(shù)將其等價(jià)變形為我們熟知的求極限的形式,再利用上面的公式即可解決問題.解：====小結(jié)：通過以上的例題我們可以看出,在利用兩個(gè)重要極限來計(jì)算極限的時(shí)候,我們經(jīng)常運(yùn)用的是其推廣形式,這就要求我們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)不僅要記住最基本的形式,而且要真正理解這兩個(gè)重要極限的內(nèi)涵,熟練運(yùn)用其推廣形式,不能只是死記硬背,生搬硬套,而是要能夠做到舉一反三,熟練掌握.3.微分學(xué)中兩個(gè)重要極限的運(yùn)用極限在微分學(xué)中的應(yīng)用很廣泛,其中導(dǎo)數(shù)的定義就是由極限來定義的,而兩個(gè)重要極限更是在推導(dǎo)一些重要極限的必備工具,比如說關(guān)于三角函數(shù)和冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo).3.1推導(dǎo)過程：由導(dǎo)數(shù)的定義我們可以知道3.2推導(dǎo)過程：由導(dǎo)數(shù)定義得3.3推導(dǎo)過程：由導(dǎo)數(shù)定義得以上幾個(gè)實(shí)例說明了運(yùn)用兩個(gè)重要極限可以推導(dǎo)一些基本導(dǎo)數(shù)公式,而且有時(shí)候求導(dǎo)數(shù)時(shí)必須用兩個(gè)重要極限,比如說等用其他的方法就很難求出,可見兩個(gè)重要極限的用處之廣泛.當(dāng)然,兩個(gè)重要極限的應(yīng)用并不僅僅只有這些,比如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有很廣泛的應(yīng)用,其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)不在于舉多少應(yīng)用例子,關(guān)鍵在于是不是真正理解了其內(nèi)涵,是不是能夠熟練地把其運(yùn)用到生活中創(chuàng)造它的價(jià)值.參考文獻(xiàn)：[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析〔上冊[M].高等教育出版社,2007.56-58.[2]何聯(lián)毅曾捷.數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題全分析[M].中國礦業(yè)大學(xué)出版社,2007.64-69.[3]蘇德礦吳明華金蒙偉.微積分〔上[M].高等教育出版社,施普林格出版社,2001.35-39.[4]錢XX.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].XX長江出版社,2009.82-85.[5]彭英.淺談兩個(gè)重要極限的運(yùn)用.XX科技大學(xué)[J],99-101.[6]王建福.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全分析[M].中國礦業(yè)大學(xué)出版社,2007.68-72.[