安徽定遠(yuǎn)啟明中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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安徽定遠(yuǎn)啟明中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.變量滿足約束條件,若的最大值為2,則實(shí)數(shù)等于()A.—2 B.—1 C.1 D.22.已知,則()A.0.6 B.3.6 C.2.16 D.0.2163.函數(shù)(,)的部分圖象如圖所示,則的值分別是()A. B. C. D.4.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且,若存在實(shí)數(shù),使不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知函數(shù)f(x)=ex(3x-1)-ax+a(a<1),若有且僅有兩個(gè)整數(shù)xi(i=1,A.[-2e,1) B.[73e2,16.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A. B. C. D.7.有名學(xué)生,其中有名男生.從中選出名代表,選出的代表中男生人數(shù)為,則其數(shù)學(xué)期望為()A. B. C. D.8.斐波那契螺旋線,也稱“黃金蜾旋線”,是根據(jù)斐波那契數(shù)列(1,1,2,3,5,8…)畫出來(lái)的螺旋曲線,由中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列奧納多?斐波那契最先提出.如圖,矩形ABCD是以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼接而成的,在每個(gè)正方形中作一個(gè)圓心角為90°的圓弧,這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分.在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn),該點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A. B. C. D.9.將曲線y=sin2x按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A. B. C. D.10.已知直線與圓交于兩點(diǎn),且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)的值為A. B. C.或 D.或11.如圖,分別為棱長(zhǎng)為的正方體的棱的中點(diǎn),點(diǎn)分別為面對(duì)角線和棱上的動(dòng)點(diǎn),則下列關(guān)于四面體的體積正確的是()A.該四面體體積有最大值,也有最小值 B.該四面體體積為定值C.該四面體體積只有最小值 D.該四面體體積只有最大值12.已知復(fù)數(shù),則()A.1 B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知i是虛數(shù)單位,若,則________14.已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則取最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.15.在的二項(xiàng)式中,常數(shù)項(xiàng)等于_______(結(jié)果用數(shù)值表示).16.若曲線與曲線在上存在公共點(diǎn),則的取值范圍為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若不等式無(wú)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求過點(diǎn)的切線方程;(2)若方程有3個(gè)不同的實(shí)根,求的取值范圍。(3)已知當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系中,弧所在圓的圓心分別為,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧.(1)分別寫出的極坐標(biāo)方程;(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求出的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在上是減函數(shù),求的最小值;(3)證明:當(dāng)時(shí),.21.(12分)隨著網(wǎng)絡(luò)和智能手機(jī)的普及與快速發(fā)展,許多可以解答各學(xué)科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認(rèn)為:網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用,但是對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)講,容易產(chǎn)生依賴心理,對(duì)學(xué)習(xí)能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡(luò)搜題在學(xué)生中的使用情況,某校對(duì)學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行抽樣分析,得到如下樣本頻數(shù)分布表:將學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題頻數(shù)超過20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題”,不超過20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題”.(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),完成下列列聯(lián)表(單位:人)中數(shù)據(jù)的填寫,并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)?(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,從該校所有參與調(diào)查的學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取一個(gè)人,抽取4人,記經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):22.(10分)命題:方程有實(shí)數(shù)解,命題:方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.(1)若命題為真,求的取值范圍;(2)若命題為真,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

將目標(biāo)函數(shù)變形為,當(dāng)取最大值,則直線縱截距最小,故當(dāng)時(shí),不滿足題意;當(dāng)時(shí),畫出可行域,如圖所示,其中.顯然不是最優(yōu)解,故只能是最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)得,解得,故選C.考點(diǎn):線性規(guī)劃.2、B【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望的計(jì)算公式求解即可得到結(jié)果.【題目詳解】∵,∴.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的期望,解題的關(guān)鍵是熟記此類分布期望的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

利用,求出,再利用,求出即可【題目詳解】,,,則有,代入得,則有,,,又,故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖像問題,依次求出和即可,屬于簡(jiǎn)單題4、C【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和的值,得到,利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)的最小值為1,把存在實(shí)數(shù),使不等式對(duì)于任意恒成立的問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立,分離參數(shù),分類討論大于零,等于零,小于零的情況,從而得到的取值范圍?!绢}目詳解】由題可得,分別把和代入與中得到,解得:;,,即當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增;要存在實(shí)數(shù),使不等式對(duì)于任意恒成立,則不等式對(duì)于任意恒成立,即不等式對(duì)于任意恒成立;(1)當(dāng)時(shí),顯然不等式不成立,舍去;(2)當(dāng)時(shí),不等式對(duì)于任意恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立,即,解得:;(3)當(dāng)時(shí),不等式對(duì)于任意恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立,即,解得:;綜述所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)解析式的求法,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值,分類參數(shù)法,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想,分類討論的能力,屬于中檔題。5、D【解題分析】

設(shè)g(x)=ex(3x﹣1),h(x)=ax﹣a,對(duì)g(x)求導(dǎo),將問題轉(zhuǎn)化為存在2個(gè)整數(shù)xi使得g(xi)在直線h(x)=ax﹣a的下方,求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值,解g(﹣1)﹣h(﹣1)<0,g(﹣2)﹣h(﹣2)≥0,求得a的取值范圍.【題目詳解】設(shè)g(x)=ex(3x﹣1),h(x)=ax﹣a,則g′(x)=ex(3x+2),∴x∈(﹣∞,﹣23),g′(x)<0,g(xx∈(﹣23,+∞),g′(x)>0,g(x∴x=﹣23,取最小值-∴g(0)=﹣1<﹣a=h(0),g(1)﹣h(1)=2e>0,直線h(x)=ax﹣a恒過定點(diǎn)(1,0)且斜率為a,∴g(﹣1)﹣h(﹣1)=﹣4e﹣1+2a<0,∴a<2eg(﹣2)=﹣7e由g(﹣2)﹣h(﹣2)≥0,解得:a≥73故答案為[73故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題,涉及轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題,常用方法有:變量分離,參變分離,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;或者直接求函數(shù)最值,使得函數(shù)最值大于或者小于0;或者分離成兩個(gè)函數(shù),使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù).6、A【解題分析】

求出f(x)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可.【題目詳解】函數(shù),cosx,令>0,解得:x,令<0,解得:0≤x,∴f(x)在[0,)遞減,在(,]遞增,∴f(x)min=f(),而f(0)=0,f()1,故f(x)在區(qū)間[0,]上的最小值和最大值分別是:.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查函數(shù)值的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

利用超幾何分布分別求隨機(jī)變量X的概率,分布列及其數(shù)學(xué)期望即可得出.【題目詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.【題目點(diǎn)撥】本題考查了超幾何分布的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.8、B【解題分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式,分別求出陰影部分面積和矩形ABCD的面積,即可求得。【題目詳解】由已知可得:矩形的面積為,又陰影部分的面積為,即點(diǎn)取自陰影部分的概率為,故選?!绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查面積型的幾何概型的概率求法。9、B【解題分析】

根據(jù)反解,代入即可求得結(jié)果.【題目詳解】由伸縮變換可得:代入曲線,可得:,即.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的伸縮變換,屬基礎(chǔ)題,難度容易.10、C【解題分析】分析:利用OA⊥OB,OA=OB,可得出三角形AOB為等腰直角三角形,由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)與半徑R,可得出AB,求出AB的長(zhǎng),圓心到直線y=﹣x+a的距離為AB的一半,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到實(shí)數(shù)a的值.詳解:∵OA⊥OB,OA=OB,∴△AOB為等腰直角三角形,又圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑R=1,∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==,∴|a|=1,∴a=±1.故答案為C.點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系,一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決的,聯(lián)立的時(shí)候較少;在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí),一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離,再加減半徑,分別得到最大值和最小值;涉及到圓的弦長(zhǎng)或者切線長(zhǎng)時(shí),經(jīng)常用到垂徑定理和垂徑定理.11、D【解題分析】

易證,從而可推出面積為定值,則只需研究點(diǎn)到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【題目詳解】分別為棱長(zhǎng)為的正方體的棱的中點(diǎn),所以,又,故點(diǎn)到的距離為定值,則面積為定值,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),為平面構(gòu)不成四面體,故只能無(wú)限接近點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),有最大值,體積有最值,所以四面體體積有最大值,無(wú)最小值故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了四面體體積的判斷,運(yùn)動(dòng)中的定量與變量的分析,空間想象與轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題12、C【解題分析】

直接由復(fù)數(shù)商的模等于模的商求解.【題目詳解】,

故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】由即答案為14、【解題分析】試題分析:橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓的定義,,∴,由三角形的性質(zhì),知,當(dāng)是延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,故所求最大值為.考點(diǎn):橢圓的定義,三角形的性質(zhì).15、140【解題分析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),由的指數(shù)為0求得r值,則答案可求.【題目詳解】由得由6-3r=0,得r=1.

∴常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為140.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是對(duì)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的記憶與運(yùn)用,是基礎(chǔ)題.16、【解題分析】試題分析:根據(jù)題意,函數(shù)與函數(shù)在上有公共點(diǎn),令得:設(shè)則由得:當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有最小值所以.考點(diǎn):求參數(shù)的取值范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】分析:⑴化簡(jiǎn)不等式得,利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為時(shí)滿足題意,求出實(shí)數(shù)的取值范圍⑵由代入化簡(jiǎn)不等式得不等式組,結(jié)合單調(diào)性求出最小值詳解:(Ⅰ)∵,∵,當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴要使不等式無(wú)解,只需,解得或,則實(shí)數(shù)的取值范圍為:.(Ⅱ)因?yàn)椋?,∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以,解得適合.點(diǎn)睛:本題考查了含有絕對(duì)值不等式的解答,運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn),求出最值,當(dāng)參數(shù)確定范圍時(shí),代入進(jìn)行化簡(jiǎn)得到函數(shù)的表達(dá)式,根據(jù)單調(diào)性求出結(jié)果.18、(1);(2);(3)【解題分析】

求導(dǎo)帶入求出切線斜率,再利用點(diǎn)斜式寫出切線。求出的單調(diào)區(qū)間,極值,則在極小值與極大值之間。參變分離,求最值?!绢}目詳解】(1)設(shè)切點(diǎn)為切線過(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得函數(shù)令,即,解得,或,即,解得,的單調(diào)遞增區(qū)間是及,單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng),有極大值;當(dāng),有極小值當(dāng)時(shí),直線與的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn),此時(shí)方程有3個(gè)不同實(shí)根。實(shí)數(shù)的取值范圍為(3)時(shí),恒成立,也就是恒成立,令,則,的最小值為,【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線上某點(diǎn)的切線方程,兩方程的交點(diǎn)問題以及參變分離。屬于中檔題。19、(1);;;,或(2),【解題分析】

(1)設(shè)弧上任意一點(diǎn)根據(jù)ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AB所在的圓與原點(diǎn)相切,其半徑為1,求得,同理求得其他弧所對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程.(2)把直線的參數(shù)方程和的極坐標(biāo)方程都化為直角坐標(biāo)方程,利用數(shù)形結(jié)合求解,把直線的參數(shù)方程化為直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程聯(lián)立,再利用參數(shù)的幾何意義求解.【題目詳解】(1)如圖所示:設(shè)弧上任意一點(diǎn)因?yàn)锳BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AB所在的圓與原點(diǎn)相切,其半徑為1,所以所以的極坐標(biāo)方程為;同理可得:的極坐標(biāo)方程為;的極坐標(biāo)方程為;的極坐標(biāo)方程為,或(2)因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為所以消去t得,過定點(diǎn),直角坐標(biāo)方程為如圖所示:因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn),所以因?yàn)橹本€的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為,代入直角坐標(biāo)方程得令所以所以所以的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查極坐標(biāo)方程的求法和直線與曲線的交點(diǎn)以及直線參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.20、(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)的最小值為.(3)證明見解析.【解題分析】分析:函數(shù)的定義域?yàn)?,?)函數(shù),據(jù)此可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是(2)由題意可知在上恒成立.據(jù)此討論可得的最小值為.(3)問題等價(jià)于.構(gòu)造函數(shù),則取最小值.設(shè),則.由于,據(jù)此可知題中的結(jié)論成立.詳解:函數(shù)的定義域?yàn)?,?)函數(shù),當(dāng)且時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是(2)因在上為減函數(shù),故在上恒成立.所以當(dāng)時(shí),,又,故當(dāng),即時(shí),.所以,于是,故的最小值為.(3)問題等價(jià)于.令,則,當(dāng)時(shí),取最小值.設(shè),則,知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∴.∵,∴,∴故當(dāng)時(shí),.點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),所以在歷屆高考中,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出,本專題在高考中的命題方向及命題角度從高

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