人教必修第一冊《二面角》2021年同步練習(xí)卷（附答案詳解）

人教B版（2019）選擇性必修第一冊《1.2.4二面角》2021

年同步練習(xí)卷（4）

一、單選題（本大題共6小題，共30.0分）

1.在側(cè)棱441垂直底面ABCD的四棱柱4BCD-必當(dāng)?shù)牧又?，P

是棱DC上的動點.記直線4P與平面ABCD所成的角為a,

與直線Di6所成的角為口，二面角Di-4C-B為y,則a,0,

y的大小關(guān)系是（）

A.a<(i<yB.p<a<yC.a<y<pD.y<p<a

2.如圖，在RtAZBC中，D,E分別為AB,AC邊上的中點，且48=4,BC=2.現(xiàn)將

△ABC沿DE折起，使得A到達4的位置，且二面角4-DE-B為60。,則&C=（）

A.2A/2B.3C.V10D.2V3

3.已知二面角a-I-0為60。,ABa,AB11,A為垂足，CDuCel,^ACD=

135。，則異面直線AB與CO所成角的余弦值為（）

A.-B.更C.更

444

4.如圖，已知△ABC中，。是AB的中點，沿直線CO將AACD

折成△A'CD,所成二面角4—CD—8的平面角為a,則（）

A.Z-A'DB<a

B.z.A'DB>a

C.乙A'CB<a

D./-A'CB>a

5.將直角三角形ABC沿斜邊上的高4。折成120。的二面角，已知直角邊AB=4W，

AC=4V6,那么下面說法正確的是（）

A.平面ABC1平面ACD

B.四面體D—ABC的體積是半逐

C.二面角4—BC—。的正切值是華

D.BC與平面AC。所成角的正弦值是每

14

6,已知△ABC是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板（Rt△ACD與Rt△BCD）組成的

三角形，如左下圖所示.其中，^CAD=45°,N8C。=60。.現(xiàn)將RtAACD沿斜邊

AC進行翻折成△D/CQi不在平面ABC上）.若M,N分別為BC和的中點，則

在AACD翻折過程中，下列命題不正確的是（）

A.在線段BO上存在一定點E,使得EN的長度是定值

B.點N在某個球面上運動

C.對于任意位置，二面角區(qū)―AC—B始終大于二面角％-BC—4

D.存在某個位置，使得直線AD1與DM所成角為60。

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

7.仇章算術(shù)J）中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之

為鱉羸如圖，在鱉腌P—ABC中，PA1平面ABC,AB1

BC,且24=aB=BC=l,則二面角4一PC—B的大小

是.

8.在正三角形ABC中，過其中心G作邊BC的平行線，分別交AB,AC與Q,

將A4B1G沿BiG折起到△A/】G的位置，使點兒在平面BBiCiC上的射影恰是線段

BC的中點M,則二面角&—%C1—M的平面角的大小是.

9.如圖，已知直四棱柱4BC0-ABiGA的底面ABCD為邊長為2----------71c

1的正方形,=2,M為棱CQ上一動點，若二面角M-BD-'■乙一，

%的平面角eG耳,§,則線段CM的長度的取值范圍為./lM

AB

10.如圖，已知平面a_L￡,aCt/3=1,A,2是直線/上的“

兩點，C、D是平面0內(nèi)的兩點，且￡>4J./,CB±I,>-

AD=3,AB=6,CB=6,尸是平面a上的一動點，/X

且直線PD,尸C與平面a所成角相等，則二面角P-8C-0的余弦值的最小值是

第2頁，共16頁

三、解答題(本大題共2小題，共24.0分)

11.如圖，邊長為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧乃所在平面垂直，M是乃上

異于C,。的點.

(1)證明：平面4M0_L平面BMC；

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，求面與面MCD所成二面角的正弦值.

12.仇章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，

將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉ST如圖，在陽馬P-4BCD中，側(cè)棱

PDABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF1PB交PB于點?連接

DE,DF,BD,BE.

(1)證明：平面DEF.試判斷四面體跖是否為鱉膈，若是，寫出其每個面的

直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由；

(2)若面DE尸與面ABC。所成二面角的大小為，求O值.

3oC

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：如圖所示，過點A作2M1CD交

CD于點M,

因為

所以直線&P與。1G所成的角0=N&PM,

故s譏￡=*,

因為叫1平面ABC。，

所以&P與平面ABC。所成的角a=乙4止4

故sina=懸，

因為AM>AAlra,/3G[0,自,

故S>a,

由圖象可知，二面角Di-AC—B為鈍二面角，貝1］丫6（］兀）,

所以a</?<y.

故選：A.

利用異面直線所成角的定義以及線面角的定義，得到直線4P與DiQ所成的角/?=

乙4］PM,&P與平面ABCD所成的角a=乙4+4然后利用邊角關(guān)系進行比較即可，由

圖象得到二面角是鈍二面角，即可得到答案.

本題考查了空間角的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握異面直線所成角的定義、線面角的定

義、二面角的平面角的定義，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

2.【答案】A

【解析】解：因為。，E分別為AB,AC的中點，

所以。E//8C,則。E_LBD,

y.DE1ArD,BD,&Du平面&BD,BDCyArD=D,

所以DEJ_平面&BD,

因為二面角4一DE—B的平面角為N&DB,

所以N&DB=60°,

因為Ai。=BD=2,

則=2,

又BC“DE,

所以BC1平面&BD,

又4/u平面4/。，

故BC1ArB,

所以&C=1AB+BC?=V4T4=2V2.

故選：A.

由三角形的中位線定理可得DE//BC,由此利用線面垂直的判定定理證明DE1平面

ArBD,從而得到二面角4-DE-B的平面角為NALDB,然后利用邊角關(guān)系結(jié)合勾股定

理求解即可.

本題考查了立體幾何中的折疊問題的求解，能夠根據(jù)折疊后的不變量得到線面垂直的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

首先作出二面角的平面角，然后再構(gòu)造出異

面直線AB與C。所成角，利用解直角三角

形和余弦定理，求出問題的答案.

本題主要考查了二面角和異面直線所成的

角，關(guān)鍵是構(gòu)造二面角的平面角和異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和作

圖能力，屬于難題.

【解答】

解:如圖，過A點作ZE11，使BE10,垂足為E,過點A作4F//CD,過點E作EF

連接BF,

AE1I,

???乙EAC=90°,

CD//AF,

又乙ACD=135°,

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???^FAC=45°,

?-?LEAF=45°,

在RtABEA中，設(shè)4E=a,貝=2a,BE=V3a,

在RtAAEF中，則EF=a,AF=42a,

在RMBEF中，貝UBF=2a,

???異面直線AB與CD所成的角即是AB2F,

COS?F=4B-F2-BF2=(2a)z+-一(2a)2=反

2ABAF2x2axV2a4

故選8.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

畫出圖形，分'AC=BC,ACK8C兩種情況討論即可.

本題考查空間角的大小比較，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

【解答】

解：①當(dāng)AC=BC時，^A'DB=a；

②當(dāng)4CABC時，如圖，點A投影在AE上，

a=AA'OE,連結(jié)44,

易得NADA</.AOA',

：.Z-A'DB>/-A'OE,即乙>a

綜上所述，4A'DB>a,

故選：B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，二面角以及直線與平面所成角的求法，平

面的垂直的判斷，考查空間想象能力以及計算能力和推理論證能力，屬于中檔題.

逐項判斷即可.

【解答】

解：如圖，

由題易得AD1BD,CDCBD=D,

???AD，平面BCD,

又BCu平面BCD,

所以ADIBC,

易知NCDB是二面角C—4D—B的平面角，

故"DB=120°,CD=8,BD=4,AD=4vl.

在小CDB中，由余弦定理得BC?=CD2+BD2-2CD-BDcosl20°,

可得BC=4被，過。作DF_LBC于6連接AF,因為2。_LBC,DFAD=D,

所以BC1平面ADR則4F18C,

-1-1

由面積相等得：CD-BDsinl20°=-BC,

可得DF="目.

7

對于A,vAD1平面BCD,ADu平面ACD,

???平面ZCD1平面BCD,

???易知平面ABC與平面AC。不垂直，A錯；

對于8,四面體D—ABC的體積U=[XSABCDXAD

=|x(|x8x4xsinl200)x4夜=豐yV6,

故3錯;

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對于C,由前可知乙4FD為二面角/-BC—O的平面角,

“L「AD4A/2V42

tan^AFD=-=^=—,故c錯；

7

對于，

過8作80垂直CD的延長線于。點，由前可知，平面4CDL平面BCD,

平面AC。Cl平面BCD=CD,BOu平面BCD,所以8。，平面ACD,

則NBC。就是BC與平面ACD所成角,

BO=BDsin60°=2V3,BC=4夕，

s.mZ-FBlCO=B一O=—2Vps=7一21，。px正—確7-/2L.

BC4V714

故選。.

6.【答案】D

【解析】解：不妨設(shè)4D=1,取AB中點E,易知E落在線段8。上，且EN=趙/=之，

所以點N到點E的距離始終為|,即點N在以點E為球心，半徑為之的球面上運動，

因此A、B選項正確；

對于C選項，易知二面角。1一/?！狟為直二面角時，

二面角。1—AC-8始終大于二面角A—BC—A,當(dāng)二面角A—AC-B為銳二面角時,

如圖所示作D/1平面ABC與點R,然后作R。VAC,RS1BC分另ij交AC,3c于O,S,

則二面角。i—AC-8的平面角為4A。/?,二面角。i—BC-4的平面角為4ASR,

且tanZ_Oi。/?=^^,tanZ_￡)iSR=

ORSR

又因為。R<SR,所以ND]OR>N%SR,

所以二面角。i—AC—B始終大于二面角。i—BC—A,

對于。選項，作2P〃DM,A%可以看成以AC為軸線，

以45。為平面角的圓錐的母線，易知AD1與A尸落在同一個軸截面上時,

NPA%取得最大值，貝叱PA%的最大值為60°,

此時為落在平面ABC上，所以乙巴44<60°,

即與0M所成的角始終小于60°,所以D選項不正確.

故選：D.

可取AB中點N,運用中位線定理可得E落在線段2D上，且EN=YDI=5即可判斷

A,B；

討論二面角Di-AC-B為直二面角時，以及銳二面角，運用二面角的定義，計算可判

斷C；

作4P//DM,a%可以看成以AC為軸線，分類討論可判斷D

本題考查空間線線角和線面角、二面角的求法，考查平行和垂直的判斷和性質(zhì)，以及空

間想象能力，推理能力，屬于難題.

7.【答案

【解析】解：過點B作BE1AC交AC于點E,過點E作EF1PC于

點尸，連接2尸，

因為P4平面ABC,BEu平面ABC,

所以BE1PA,

又BE1AC,PACtAC=A,PA,ACu平面PAC,

所以BE1平面PAC,又PCu平面PAC,

則PC1BE,

又PCJ.EF,BECEF=E,BE,EFu平面BEF,

所以PC1?平面BEE

又BFu平面BEF,

則PC1BF,

所以NEFB為二面角2-PC-8的平面角，

在RMABC中，AC=y/2,EB=y,

在RtAP"中，PC=V3,sin^ACP='，

所以運二不，解得￡1F=二，

~6

1

在RtABEF中，tan/EFB=—=^-=V3,

EF忑

由圖象可知，二面角a—PC—B為銳二面角，

故二面角a-PC-B的大小為爭

故答案為：p

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過點B作BE1AC交AC于點E,過點E作EF_LPC于點尸，連接B凡利用線面垂直的

判定定理依次證明BE，平面PAC,PC1平面BEF,從而得到NEFB為二面角4-PC-B

的平面角，在三角形中由邊角關(guān)系求解即可.

本題考查了二面角的求解，線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握

二面角的平面角的定義，并找到對應(yīng)的角，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔

題.

8.【答案I?

【解析】解：連接&G,MG,

因為G是正三角形ABC的中心，BrCJ/BC,

所以B?_L4iG,GM_LBiCi，

則N&GM為二面角4-BiCi-M的平面角，

因為G是正三角形ABC的中心，

所以41G=2GM,

則COSN&GM=篝=3

A1(jZ

由圖象可知，二面角A—BiQ—M是銳二面角,

故二面角4-B?-M的平面角的大小為品

故答案為：p

連接&G,MG,利用正三角形的性質(zhì)以及二面角的平面角的定義，可得N&1GM為二面

角4-BiQ-M的平面角，在三角形中由邊角關(guān)系求解即可.

本題考查了空間角的求解，主要考查了二面角的求解，解題的關(guān)鍵是利用二面角的平面

角的定義找到對應(yīng)的角，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.

9.【答案】哈當(dāng)

【解析】解:M為棱CCi上一動點，根據(jù)題意，設(shè)CM=x(0<x<2),

因為底面ABC。為邊長是1的正方形，

所以=DM=y/1+x2,

如圖，連接Bi%取8。的中點O,/A的中點0「連接。跖。3,

則。M1BD,。。11BD,

故NOiOM為二面角M—8。一%的平面角，

所以/。1。用=。e覃J

則COSNO]OM6>~~\)

連接。1”,OiQ,

在AO1OM中，。。1=2,OM2=BM2-OB2=x2+|,

222

OrM=。1番+QM=x-4x+|,

222

八CMO1O+OM-O1Mx

故8SNO1°M=如0。"?=j=,

則54乒1<三，又0<x<2,

所以漁

62

故線段CM的長度的取值范圍為[彳,j].

故答案為：[彳,手].

設(shè)CM=x(03xW2),連接/A，取BD的中點O,劣名的中點0「連接OM,。。口

由二面角的平面角的定義，得到//OM為二面角M-BD-Bi的平面角，從而得到

COSNO]OM的取值范圍，再利用邊角關(guān)系表示COSNOIOM,建立關(guān)于x的不等式，求解

即可.

本題考查了空間角的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用二面角的平面角的定義找到對應(yīng)的角，考

查了邏輯推理能力、空間想象能力、化簡運算能力，屬于中檔題.

10.【答案】f

【解析】解：AO，，，aC0=I,a上B，ADc/?,

,?AD1a,同理：BC1a.

???乙024為直線PQ與平面a所成的角，為直線PC與平面a所成的角,

:.乙DPA=^CPB,又ND4P=

Z-CBP=90°,

???△DAP^ACPB,

.PA_DA_1

,,PB-BC-2,

第12頁，共16頁

在平面a內(nèi)，以45為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(—3,0),B(3,0).設(shè)P(x,y),(y>0)

2j(x+3)2+y2—4(x—3>+y2,整理得(％+5)2+y2=16.

.-.P點在平面a內(nèi)的軌跡為以M(-5,0)為圓心，以4為半徑的上半圓.

?.?平面PBCC平面S=BC,PB1BC,AB1BC,

NPB4為二面角P—8C—。的平面角.

.?.當(dāng)與圓相切時，“B4最大，cosNPBZ取得最小值.

此時PM=4,MB=8,MP1PB,PB=4V3.

PB4V3V3

COSZz-nPDBA4=—=——=——.

MBS2

故答案為：隹.

2

乙PB4為所求的二面角的平面角，由4DAP八CP8得出普=黑=求出P在a內(nèi)的軌跡,

rDDCZ

根據(jù)軌跡的特點求出NPBA的最大值對于的余弦值.

本題考查了二面角的計算，

1L【答案】解：(1)證明：在半圓中，DM1MC,

?.?正方形ABCD所在的平面與半圓弧比所在平面垂直，

即平面ABC。_L平面CDM,

又平面ABCDCl平面COM=CD,AD1CD,

ADu平面ABCD,

AD1平面DCM,

???MCu平面CDM,貝MD1MC,

■.■ADCiDM=D,ADu平面ADM,DMu平面ADM,

.-.MC1平面ADM,

???MCu平面MBC,

.,?平面AM。_L平面BMC.

(2)???△ABC的面積為定值，

.??要使三棱錐M-ABC體積最大，則三棱錐的高最大，

此時M為圓弧的中點，

建立以C。的中點O為坐標(biāo)原點，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

???正方形ABCD的邊長為2,

???4(2,-1,0),8(2,1,0),M(0,0,1),

則平面MC0的法向量沅=(1,0,0),

設(shè)平面MAB的法向量為元=(x,y,z)

則荏=(0,2，。)，AM=(-2,h1),

由元?AB=2y=0,n-AM=-2x+y+z=0,

令％=1,則y=0,z=2,即元=(1,0,2),

則cos(禮元"系=森施=看

則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sina=J1—(^)2=等.

【解析】本題主要考查空間平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相應(yīng)的判定定理以

及建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

(1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明MCJ_平面ADM即可.

(2)根據(jù)三棱錐的體積最大，確定M的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利

用向量法進行求解即可.

12.【答案】(1)PDL^ABCD,S.BCABCD,

???PD1BC,

???4BCD為長方形，???BC1CD,

且PDClCD=D,PD,CDu平面PCD,

...BC_L平面尸C￡),而DEu平面尸。C,8C_LDE,

又?：PD=CD,點￡是PC的中點，.?.DEIPC.

而PC