河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次質(zhì)量考評(píng)理科數(shù)學(xué)試卷

河南省中原名校（即豫南九校）2018屆高三第六次質(zhì)量考評(píng)理科數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題得,所以.故選C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1B.C.D.【答案】A3.已知雙曲線的漸近線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題得雙曲線的漸近線方程為，即.所以，故選B.4.若向量，向量，則（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】由題得,故選A.5.已知命題，命題.若為真命題，且為假命題，則函數(shù)的解析式可能為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榧倜},所以函數(shù)不是偶函數(shù),故選項(xiàng)B不滿足題意.對(duì)于選項(xiàng)A，如果滿足，則，顯然不滿足題意，所以選項(xiàng)A不滿足題意.對(duì)于選項(xiàng)C，如果滿足，則，滿足題意.對(duì)于選項(xiàng)D,如果滿足，則所以，而，所以選項(xiàng)D不滿足題意，故選C.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則這幾何體的表面積為（）A.31B.52C.D.【答案】B【解析】由三視圖可知幾何體原圖為如圖所示的幾何體,所以,所以幾何體的表面積=52，故選B.7.我國(guó)東漢時(shí)期的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣個(gè)問(wèn)題：今有共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各幾何？設(shè)總?cè)藬?shù)為，雞的總價(jià)為，如圖的程序框圖給出了此問(wèn)題的一種解法，則輸出的的值分別為（）A.7,58B.8,64C.9,70D.10,76【答案】C【解析】按照程序框圖運(yùn)行，，所以x=9,y=70.故選C.8.已知函數(shù)，若集合含有4個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題得解得：，所以（k∈Z），設(shè)直線y=﹣1與y=f（x）在（0，+∞）上從左到右的第四個(gè)交點(diǎn)為A，第五個(gè)交點(diǎn)為B，則，．由于方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則xA＜π≤xB，即，解得，故選D．9.函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)榈膱D像過(guò)原點(diǎn),所以圖像中過(guò)原點(diǎn)的拋物線是函數(shù)的圖像,在選項(xiàng)C中,上面的圖像是函數(shù)的圖像,下面的是函數(shù)的圖像,所以,所以,由題得,因?yàn)閍<0,所以恒成立，所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不是選項(xiàng)C中的圖像，故選C.10.已知是球表面上四點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若,，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可知與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，如圖，過(guò)與的中心M,N分別作所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)就是球心O，在Rt中，∠MEO=60°，,所以O(shè)E=2ME=,所以球O的半徑,所以求O的表面積為.故選B.........................11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于點(diǎn)，以線段為直徑的圓上存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題得直線AB的方程為即y=x1,設(shè)A，聯(lián)立所以，|AB|=所以AB為直徑的圓E的圓心為（3,2），半徑為4.所以該圓E的方程為.所以點(diǎn)D恒在圓E外，圓E上存在點(diǎn)P,Q，使得以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D(2,t)，即圓E上存在點(diǎn)P,Q，使得DP⊥DQ，顯然當(dāng)DP,DQ與圓E相切時(shí)，∠PDQ最大，此時(shí)應(yīng)滿足∠PDQ，所以，整理得.解之得，故選D.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于分析轉(zhuǎn)化，本題的分析轉(zhuǎn)化，主要是利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合把問(wèn)題轉(zhuǎn)化得簡(jiǎn)潔明了.如果不用數(shù)形結(jié)合，本題解題會(huì)很復(fù)雜.12.已知函數(shù)，若與的值域相同，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題得所以函數(shù)f(x)在（0,1）上是增函數(shù)，在（1，+）是減函數(shù).所以，f(x)的值域?yàn)?設(shè)中，f(x)=t，則，所以y=f(t)與y=f(x)值域相同.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在（0,1）上是增函數(shù)，在（1，+）是減函數(shù)，所以所以，故選A.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)主要是難在轉(zhuǎn)化，與的值域相同如何轉(zhuǎn)化？這里要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域分析.轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想是高中數(shù)學(xué)中很重要的數(shù)學(xué)思想，要理解掌握和靈活運(yùn)用.函數(shù)的分析轉(zhuǎn)化，主要是分析函數(shù)的圖像和性質(zhì).第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)__________．【答案】【解析】對(duì)于,它的通項(xiàng)公式為.所以的系數(shù)為2=12.故填12.14.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，若?duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題得不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，4)時(shí)，直線的縱截距最大，z最小，且z的最小值為.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1,0）時(shí)，直線的縱截距最小，z最大，且z的最大值為.所以，所以，故填.15.已知函數(shù)，由是奇函數(shù)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，類(lèi)比這一結(jié)論，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)___________對(duì)稱(chēng).【答案】【解析】由題得所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故填.16.在中，角的對(duì)邊分別為，設(shè)的面積為，若，則的最大值為_(kāi)__________．【答案】【解析】由題得由題得所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最大值為,故填點(diǎn)睛:本題的難在解題思路,第一個(gè)難點(diǎn)就是把中的分母化簡(jiǎn)成,第二個(gè)難點(diǎn)是得到后，如何求tanA的最大值.轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求cosA的最大值.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，先通過(guò)已知條件求出d的值，再寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng).(2)第（2）問(wèn)，先化簡(jiǎn)，再利用裂項(xiàng)相消求和，最后證明.試題解析：（1）由得，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，整理得，即，因?yàn)?，所以，所?（2）由（1）可得，所以，所以，所以.18.下表為2014年至2017年某百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額(單位：萬(wàn)元），其中年份代碼年份.（1）已知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2018年該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額；（2）隨著網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的飛速發(fā)展，有不少顧客對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額持續(xù)增長(zhǎng)表示懷疑，某調(diào)査平臺(tái)為了解顧客對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額持續(xù)增長(zhǎng)的看法，隨機(jī)調(diào)查了55位男顧客、50位女顧客(每位顧客從“持樂(lè)觀態(tài)度”和“持不樂(lè)觀態(tài)度”中任選一種），其中對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額持續(xù)增長(zhǎng)持樂(lè)觀態(tài)度的男顧客有10人、女顧客有20人，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額持續(xù)增長(zhǎng)所持的態(tài)度與性別有關(guān)？參考公式及數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)預(yù)測(cè)2018年該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額為377.5萬(wàn)元，(2)以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額持續(xù)増長(zhǎng)所持的態(tài)度與性別有關(guān).【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，直接利用公式求出線性回歸方程，再根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè).(2)第（2）問(wèn)，先完成2×2列聯(lián)表，再求出的觀測(cè)值，最后下結(jié)論.試題解析：（1）由題意得，，所以，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.由于，所以當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)2018年該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額為377.5萬(wàn)元.（2）由題可得列聯(lián)表如下：故的觀測(cè)值，由于，所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷(xiāo)售額持續(xù)増長(zhǎng)所持的態(tài)度與性別有關(guān).19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，.（1）求證：平面平面；（2）若，試判斷棱上是否存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)棱上不存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，把平面平面平面(2)第（2）問(wèn)，先利用向量法得到直線與平面所成角的方程，再探究方程的解的情況，從而得到解答.試題解析：（1）因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知平面，如圖，分別以所在直線為軸、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由，，可得，所以，假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則,即，令，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，整理得，因?yàn)?，所以，故無(wú)解，所以棱上不存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓的離心率，且橢圓與圓的4個(gè)交點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，為橢圓上與不重合的兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，試判斷是否存在定點(diǎn)，使得直線恒過(guò)點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得直線恒過(guò)點(diǎn)【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，直接根據(jù)已知條件得到關(guān)于a,b的一個(gè)方程組，再解方程組即可.(2)第（2）問(wèn)，對(duì)直線的斜率分兩種情況討論.每一種情況都要先根據(jù)已知條件求直線DE的方程，再判斷其方程是否過(guò)定點(diǎn).試題解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即，因?yàn)闄E圓與圓的4個(gè)交點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，所以直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在橢圓上，所以，由解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入得，，所以，即.設(shè)，則，因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為，所以，整理得，所以直線的方程為，顯然直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為，設(shè)，則，所以，解得，此時(shí)直線的方程為，顯然直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).綜上，存在定點(diǎn)，使得直線恒過(guò)點(diǎn).點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是計(jì)算，先要把直線DE的方程和橢圓的方程聯(lián)立，得到比較復(fù)雜的韋達(dá)定理，再把韋達(dá)定理代入=，化簡(jiǎn)得到,計(jì)算量比較大，如果計(jì)算出錯(cuò)，則結(jié)果出錯(cuò).所以我們?cè)谟?jì)算時(shí)要認(rèn)真細(xì)心.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：函數(shù)在上的最小值小于.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞増(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，直接求導(dǎo)，再利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性.(2)第（2）問(wèn)，對(duì)a分類(lèi)討論，再利用導(dǎo)數(shù)求出求每一種情況下函數(shù)的單調(diào)性，從而證明函數(shù)在上的最小值小于.試題解析：（1）由題可得，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞増.（2）由（1）知在上單調(diào)遞増，因?yàn)?，所以，所以存在，使得，即，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞増，所以當(dāng)時(shí)，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上的最小值小于.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在后，要證明f(t).這時(shí)，要再構(gòu)造函數(shù)，求它的單調(diào)性和最值，從而找到突破口.在導(dǎo)數(shù)解答里，構(gòu)造函數(shù)是一個(gè)常規(guī)技巧，我們要理解掌握和靈活運(yùn)用.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若是曲線上兩點(diǎn)，求的值.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，先把參數(shù)方程化成普通方程，再把普通方程化成極坐標(biāo)方程.(2)第（2）問(wèn)，先根據(jù)已知條件求出，再代入化簡(jiǎn)求值.試題解析：（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程為，即，由，可得曲線的極坐標(biāo)方程為，因?yàn)榍€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得(負(fù)值舍去