人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練期末難點(diǎn)特訓(xùn)(三)與平行四邊形有關(guān)的壓軸題(原卷版+解析)

八下期末難點(diǎn)特訓(xùn)（三）與平行四邊形有關(guān)的壓軸題1．（1）問題背景：如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝DF，M為AF的中點(diǎn)，求證：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．（2）變式關(guān)聯(lián)：如圖2，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，點(diǎn)F在直線BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M為AF的中點(diǎn)，求證：①CE⊥CF；②AE＝2DM．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E在線段BC上，F(xiàn)在線段BD上，BE＝DF，直接寫出的最小值．2．已知：正方形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，連接，作交于點(diǎn)．(1)如圖（1），求證：；(2)如圖（2），作交于點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖（3），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則_________．3．已知，在菱形中，，，、分別為、上一點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，為中點(diǎn)，，線段交于，交于，，若，．①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；②若，則______．4．（1）問題背景：如圖1，E是正方形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作交AB的延長(zhǎng)線于F求證：；（2）嘗試探究：如圖2，在（1）的條件下，連接DB、EF交于M，請(qǐng)?zhí)骄緿M、BM與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在（2）的條件下，DB和CE交于點(diǎn)N，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，已知，，直接寫出PB的長(zhǎng)________．5．正方形的邊長(zhǎng)為4．(1)如圖1，點(diǎn)在上，連接，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，對(duì)角線，交于點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作，，連接．點(diǎn)從點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，直接寫出的長(zhǎng)為________．6．如圖，已知四邊形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，O是BD的中點(diǎn)，BF是∠ABE的角平分線交AD于點(diǎn)F，DE是∠ADC的角平分線交BC于點(diǎn)E，連接FO并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)G．(1)求∠ABC+∠ADC的度數(shù)；(2)求證：FO＝OG；(3)當(dāng)BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°時(shí)，求證：DM＝2AB7．如圖，已知在和中，．(1)如圖1，若，，，，，連接，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，，E、F分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，與相交于點(diǎn)M，，連接，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，證明：；(3)在（2）的條件下，G是的中點(diǎn)，，連接，H是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，和關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，連接，求的最小值．8．在□ABCD中，對(duì)角線，且，E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，M為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若，，M為BF的中點(diǎn)，求AM的長(zhǎng)；(2)如圖2，若M在線段BF上，，作交BE于點(diǎn)N，連接AN，求證：；(3)如圖3，若M在線段EF上，將△ABM沿著AM翻折至同一平面內(nèi)，得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．9．在菱形中，點(diǎn)、分別為、邊上的點(diǎn)，連接、、．(1)如圖1，與交于點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿翻折至同一平面內(nèi)，得到，連接與交于點(diǎn)，記、、的面積分別為、、，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．10．在菱形ABCD中，，E為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE．(1)如圖1，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，是等邊三角形，連接DM，H為DM的中點(diǎn)，連接AH，猜想線段AH與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)在（2）的條件下，N為AD的中點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊，連接PN，若，直接寫出PN的最小值．11．問題解決：如圖1，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，與相交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．12．矩形中，將矩形沿、翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，、、三點(diǎn)在同一直線上．(1)如圖，求的度數(shù)；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，連接，交、于點(diǎn)、，若，，求的長(zhǎng)度；(3)如圖，當(dāng)，時(shí)，連接，，求的長(zhǎng)．13．如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C、D重合）．過點(diǎn)B作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作的垂線分別交于，于點(diǎn)M、N．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求線段的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，的大小是否改變？若不變，求出該值，若改變請(qǐng)說明理由．14．（1）如圖1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于點(diǎn)O且AE⊥DF．則AE和DF的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，CD上的點(diǎn)，BG⊥EF，垂足為H．求證：EF＝BG．（3）如圖3，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是邊AD，BC，AB上的點(diǎn)，AE＝2，BF＝4，BM＝1，將正方形沿EF折疊，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與CD邊上的點(diǎn)N重合，求CN的長(zhǎng)度．15．已知：在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且．將三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，一條直角邊與直線BC交于點(diǎn)E，另一條直角邊與射線BA交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合），將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E、F在線段BC、AB上時(shí)，求證：PE＝PF；(2)當(dāng)∠FPB＝60°時(shí)，求△BEP的面積；(3)當(dāng)△BEP為等腰三角形時(shí)，直接寫出線段BF的長(zhǎng)．16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：．(2)如圖②和③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)判斷CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系，并證明之；(3)如圖③，若連接正方形ADEF對(duì)角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．（1）如圖1，連接CE，求證：△BCE是等邊三角形；（2）如圖2，點(diǎn)M為CE上一點(diǎn)，連結(jié)BM，作等邊△BMN，連接EN，求證：EN∥BC；（3）如圖3，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)，連結(jié)BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延長(zhǎng)線于Q，探究線段PD，DQ與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．（1）如圖1，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，連接DE，CE，若AB=4，求線段EC的長(zhǎng)；（2）如圖2，M為線段AC上一點(diǎn)（M不與A，C重合），以AM為邊，構(gòu)造如圖所示等邊三角形AMN，線段MN與AD交于點(diǎn)G，連接NC，DM，Q為線段NC的中點(diǎn)，連接DQ，MQ，求證：DM=2DQ．八下期末難點(diǎn)特訓(xùn)（三）與平行四邊形有關(guān)的壓軸題1．（1）問題背景：如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝DF，M為AF的中點(diǎn)，求證：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．（2）變式關(guān)聯(lián)：如圖2，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，點(diǎn)F在直線BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M為AF的中點(diǎn)，求證：①CE⊥CF；②AE＝2DM．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E在線段BC上，F(xiàn)在線段BD上，BE＝DF，直接寫出的最小值．答案：（1）①見解析；②見解析；（2）①見解析；②見解析；（3）分析：（1）問題情景：①證明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性質(zhì)得出AE=AF，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）變式關(guān)聯(lián)：①延長(zhǎng)BE交DF于G，BG交CD于H，證明△CBE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BCE=∠DCF，則可得出結(jié)論；②延長(zhǎng)DM到N，使DM=MN，連接AN，證明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AN=DF，證明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AE=DN=2DM；（3）拓展應(yīng)用：過點(diǎn)D作DP⊥DF，且使PD=AB，連接PF，PA，過點(diǎn)P作PQ⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，證明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即當(dāng)A，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)，AE+AF的最小值為AP，求出則可得出答案．【詳解】解：（1）問題情景：①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF；②證明：∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∴AE=AF=2DM；（2）變式關(guān)聯(lián)：①證明：延長(zhǎng)BE交DF于G，BG交CD于H，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，CD=CB，∵BE⊥DF，∴∠BGD=∠BCD=90°，∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE=∠CDF，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，∴∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°，∴CE⊥CF；②延長(zhǎng)DM到N，使DM=MN，連接AN，∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，∴AM=MF，∵M(jìn)D=MN，∠AMN=∠FMD，∴△AMN≌△FMD(SAS)，∴AN=DF，∵△CBE≌△CDF，∴BE=DF=AN，∠NAM=∠DFM，∴ANDF，∴∠DAN+∠ADF=180°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=90°，AB=DA，∵∠BGD=90°，∴∠ABE+∠ADF=180°，∴∠ABE=∠DAN，∴△ABE≌△DAN(SAS)，∴AE=DN=2DM；（3）拓展應(yīng)用：過點(diǎn)D作DP⊥DF，且使PD=AB，連接PF，PA，過點(diǎn)P作PQ⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∴△ABE≌△PDF(SAS)，∴AE=PF，∵∠ADB=45°，∴∠PDQ=45°，DQ=PQ，∴AF+AE=AF+PF≥AP，即當(dāng)A，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線時(shí)，AE+AF的最小值為AP，∵AD=AB=DP=2，∴PQ=DQ=，∴，∴的最小值為8+4．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．2．已知：正方形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，連接，作交于點(diǎn)．(1)如圖（1），求證：；(2)如圖（2），作交于點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖（3），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則_________．答案：(1)見解析(2)見解析(3)分析：（1）過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，由“ASA”可證△ECH=△EFG，可得CE=EF；（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，由正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證△CEF是等腰直角三角形，從而得到，再證得四邊形AGPD是矩形，四邊形DQHC是矩形，四邊形DQEP是矩形，從而得到DQ=QM=GF=AG，由“SAS”可證△ABM≌△BCF，可得BM=CF，可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)E作GE⊥AB于點(diǎn)G，EQ⊥AD于點(diǎn)Q，可得△EGB是等腰直角三角形，進(jìn)而得到BG=EG=7，再根據(jù)四邊形AGEQ是矩形，可得AQ=EG=7，從而得到QN=1，再由勾股定理列出方程可求EF的長(zhǎng)．（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∵EG⊥AB，EH⊥BC，∠ABC=90°，∴四邊形FGBH是正方形，∴GE=EH，∠GEH=90°，∴∠CEF=∠GEH=90°，∴∠CEH=∠GEF=90°-∠HEF，在△ECH和△EFG中，∵∠CEH=∠GEF，EH=EG，∠EHC=∠EGF=90°，∴△ECH≌△EFG（ASA），∴CE=EF；（2）證明：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴PG⊥CD，QH⊥AD，∵CE=EF，CE⊥EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴，∵PG⊥AB，QH⊥AD，∴∠A=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∴四邊形AGPD是矩形，四邊形DQHC是矩形，四邊形DQEP是矩形，∴DQ=CH，DP=AG，∵∠ADB=∠CDB=45°，EQ⊥AD，EP⊥CD，∴EP=EQ，∴四邊形DPEQ是正方形，∴DQ=DP=PE=QE=CH=AG，∵△ECH≌△EFG，∴GF=CH=DQ，∵M(jìn)E⊥BD，∠ADB=45°，∴△DEM是等腰直角三角形，∵EQ⊥AD，∴DQ=QM，∴DQ=QM=GF=AG，∴DM=AF，∵AD=AB，∴AM=BF，又∵AB=BC，∠A=∠CBF=90°，∴△ABM≌△BCF（SAS），∴BM=CF，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)E作GE⊥AB于點(diǎn)G，EQ⊥AD于點(diǎn)Q，由（2）得：AG=GF=QE，∵EG⊥AB，∠ABD=45°，∴△EGB是等腰直角三角形，∵，∴BG=EG=7，∵EQ⊥AD，EG⊥AB，∠A=90°，∴四邊形AGEQ是矩形，∴AQ=EG=7，∵AN=6，∴QN=1，∵，，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．已知，在菱形中，，，、分別為、上一點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，為中點(diǎn)，，線段交于，交于，，若，．①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；②若，則______．答案：(1)證明見解析(2)①；②分析：（1）連接DB，由菱形的性質(zhì)得出∠ABD=∠BDC=60°，證出△ABD為等邊三角形，AB=BD，證明△ABE≌△DBF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）①過點(diǎn)B作交EG于點(diǎn)I，證明四邊形BMEG為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得出BG=EM=6-y，得出AM=y-3，同理DN=1+x，由（1）得AM=DN，得出y-3=x+1，則可得出答案；②過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，由題意求出x=1，y=5，得出BH=1，CG=5，由直角三角形的性質(zhì)求出AM=3，由勾股定理求出答案即可．（1）證明：如圖1，連接DB，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，∴∠ABD=∠BDC=60°，

∴△ABD為等邊三角形，∴AB=BD，∵∠EBF=60°，∴∠ABE=∠DBF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE=DF；（2）解：①如圖2，過點(diǎn)B作交EG于點(diǎn)I，∵，∴四邊形BMEG為平行四邊形，而

∴BG=EM=6-y，∵是AD的中點(diǎn)，∴∴AM=y-3，同理DN=1+x，∵，∴∠EOF=∠EIN=60°，

∵，∴∠MBN=∠EIN=60°，由（1）得，AM=DN，∴y-3=x+1，∴y=x+4；②如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，由①知y=x+4，又∵x+y=6，∴x=1，y=5，∴BH=1，CG=5，∵DM⊥AB，，∴DM⊥CD，∴四邊形MDFN為矩形，∴DM=NF，DF=MN=1，∵∠A=60°，AD=6，

∴AM=AD=3，∴，∵AB=6，∴NH=AB-AM-MN-BH=6-3-1-1=1，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．4．（1）問題背景：如圖1，E是正方形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作交AB的延長(zhǎng)線于F求證：；（2）嘗試探究：如圖2，在（1）的條件下，連接DB、EF交于M，請(qǐng)?zhí)骄緿M、BM與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在（2）的條件下，DB和CE交于點(diǎn)N，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，已知，，直接寫出PB的長(zhǎng)________．答案：（1）證明見解析；（2）DM＝BM＋BF；（3）分析：（1）由“ASA”可證△CDE≌△CBF，可得CE＝CF；（2）由“AAS”可證△DME≌△HMF，可得DM＝MH，可得結(jié)論；（3）由直角三角形的性質(zhì)可得AF＝AE，可求AB的長(zhǎng)，由勾股定理可求PF的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°?∠ABC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CDE和△CBF中，∴△CDE≌△CBF（ASA），∴CE＝CF；（2）DM＝BM＋BF，理由如下：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AF，交DB的延長(zhǎng)線于H，∵△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠FBH＝45°，∵FH⊥AB，∴∠FBH＝∠H＝45°，∴BF＝FH＝DE，∴BH＝BF，∵∠EDM＝∠H＝45°，∠EMD＝∠HMF，DE＝FH，∴△DME≌△HMF（AAS），∴DM＝MH，EM＝MF，∴DM＝MB＋BH＝MB＋BF；（3）連接EP，∵∠DME＝15°，∠ABD＝45°，∴∠AFE＝30°，∴AF＝AE，∴AB＋BF＝（AB?DE），∴AB＋3?，∴AB＝，∴AE＝，AF＝6，∵EC＝CF，∠ECF＝90°，EM＝MF，∴CP是EF的垂直平分線，∴EP＝PF，∵PE2＝AE2＋AP2，∴PF2＝24＋（6?PF）2，∴PF＝4，∴PB＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．5．正方形的邊長(zhǎng)為4．(1)如圖1，點(diǎn)在上，連接，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，對(duì)角線，交于點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作，，連接．點(diǎn)從點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，直接寫出的長(zhǎng)為________．答案：(1)①見解析；②(2)分析：（1）①證明△ADF≌△DCG，即可求證；②連接OG，由①得：△ADF≌△DCG，可得AF=DG，可證得△AOF≌△DOG，從而得到OG=OF，∠DOG=∠AOF，進(jìn)而得到△FOG為等腰直角三角形，可得到，再由，求出，從而得到，進(jìn)而得到FG=，即可求解；（2）取CK的中點(diǎn)Y，連接MY，CQ，可得，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段YM，然后分別計(jì)算出當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，YM1，YM2的長(zhǎng)，即可求解．（1）①證明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDG=90°，∵，，∴∠AFD=∠CGD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠CDG，∴△ADF≌△DCG，∴DF=CG；②解：如圖，連接OG，在正方形ABCD中，OA=OD，∠BAO=∠ADO=45°，∠AOD=∠BAD=90°，∴∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF+∠OAF=∠ODG+∠ADF=45°，由①得：△ADF≌△DCG，∴AF=DG，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠EAF，∴∠OAF=∠ODG，

在△AOF和△DOG中，∵AF=DG，∠OAF=∠ODG，OA=OD，∴△AOF≌△DOG，∴OG=OF，∠DOG=∠AOF，∴∠FOG=∠AOF+∠AOG=∠DOG+∠AOG=∠AOD=90°，∴△FOG為等腰直角三角形，∴，∴，在中，AD=4，AE=3，∠DAE=90°，∴，∵AF⊥DE，∴，∴，

∴，∴FG=DF-DG=，∴；（2）解：如圖，取CK的中點(diǎn)Y，連接MY，CQ，∵點(diǎn)M為KQ的中點(diǎn)，∴，YM∥CQ，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段YM，如圖，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)，即BP=CP=2時(shí)，過點(diǎn)Q作QJ⊥CN于點(diǎn)J，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPJ=90°，∴∠BAP=∠QPJ，∵∠PJQ=∠ABP=90°，AP=PQ，∴△ABP≌△PJQ，∴QJ=BP=2，PJ=AB=4，∴CJ=2，∴，∴，如圖，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，即BP=BC+CN=8時(shí)，過點(diǎn)Q作QL⊥CN交CN延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，同理：△ABP≌△PLQ，∴QL=BP=8，PL=AB=4，∴CL=8，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知四邊形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，O是BD的中點(diǎn)，BF是∠ABE的角平分線交AD于點(diǎn)F，DE是∠ADC的角平分線交BC于點(diǎn)E，連接FO并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)G．(1)求∠ABC+∠ADC的度數(shù)；(2)求證：FO＝OG；(3)當(dāng)BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°時(shí)，求證：DM＝2AB答案：(1)180°(2)見解析(3)見解析分析：（1）在四邊形ABCD中，內(nèi)角和為360°，因?yàn)椤螦＝∠C＝90°，所以∠ABC+∠ADC＝180°；（2）由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，根據(jù)BF、DE分別是∠ABE、∠ADC的角平分線，得到∠ABF+∠ADE＝90°，由∠ABF+∠AFB＝90°，得∠ADE＝∠AFB，求出BF∥ED，所以∠BFG＝∠FGD，得證≌，由此得出結(jié)論；（3）證法一：過D點(diǎn)作CD的垂線，延長(zhǎng)BA相交于點(diǎn)N，過B點(diǎn)作BK垂直DN，易證，所以BK＝CD，可證，所以，由，可證，所以；證法二：延長(zhǎng)DM，延長(zhǎng)DC，過B點(diǎn)作MD的垂線，垂足為N，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，可得，所以，再由得，所以，易證，則，所以．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．（2）證明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，∵BF、DE分別是∠ABE、∠ADC的角平分線∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，∴∠ABF+∠ADE＝90°，又∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE＝∠AFB，∴BF∥ED，∴∠BFG＝∠FGD．在和中，∴，∴；（3）證法一：過D點(diǎn)作CD的垂線，延長(zhǎng)BA相交于點(diǎn)N，過B點(diǎn)作BK垂直DN，∴四邊形BCDK是矩形，∵BC=CD，∴四邊形BCDK是正方形，∴，∴BK＝CD，∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∠BDK＝45°，∴∠ADN＝22.5°=∠BDA，在△BAD和△NAD中∴（ASA）∴，∵，在△BKN和△MCD中∴（ASA）∴；解法二：延長(zhǎng)DM，延長(zhǎng)DC，過B點(diǎn)作MD的垂線，垂足為N，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L．∵BC=CD，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∴∠BDM＝22.5°，在△BAD和△BND中，（ASA），，在△LND和△BND中，（ASA），，，∴，在△LCB和△MCD中，（ASA），．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，第（2）問作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知在和中，．(1)如圖1，若，，，，，連接，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，，E、F分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，與相交于點(diǎn)M，，連接，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，證明：；(3)在（2）的條件下，G是的中點(diǎn)，，連接，H是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，和關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，連接，求的最小值．答案：(1)(2)證明見解析(3)分析：（1）先證明，，再證明，得到，，則，求出，即可利用勾股定理求出；（2）如圖所示，延長(zhǎng)到Q使得，延長(zhǎng)到使得，連接，先求出，再由已知條件得到，即可證明都是等邊三角形，得到，由全等三角形的性質(zhì)得到，即可證明，推出是等邊三角形，則，證明得到，再證明是的中位線，得到，即可證明；（3）如圖所示，連接，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，則，由三角形三邊的關(guān)系得到，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，過點(diǎn)G作交延長(zhǎng)線于T，求出，，，即可求出，則．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵，，，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）證明：如圖所示，延長(zhǎng)到Q使得，延長(zhǎng)到使得，連接，∵，∴，∵，，∴，∴都是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∴，∵N是的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴，∴，即，∴；（3）解：如圖所示，連接，，∵和關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，∴，∵G是的中點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，過點(diǎn)G作交延長(zhǎng)線于T，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．在□ABCD中，對(duì)角線，且，E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，M為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若，，M為BF的中點(diǎn)，求AM的長(zhǎng)；(2)如圖2，若M在線段BF上，，作交BE于點(diǎn)N，連接AN，求證：；(3)如圖3，若M在線段EF上，將△ABM沿著AM翻折至同一平面內(nèi)，得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．答案：(1)5；(2)證明過程見解析；(3)．分析：（1）先根據(jù)已知條件求出AF的長(zhǎng)度，再用勾股定理求出BF的長(zhǎng)度，最后根據(jù)直角三角形斜邊中線定理求出AM的長(zhǎng)度即可；（2）過點(diǎn)A作AG⊥AM，交BE于點(diǎn)G，連接CG，先證出△ABM和△ACG全等，再證出BG⊥CG，再證出△ACG和△ANG全等，得到AC=AN，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)已知條件使用勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，用含有字母的代數(shù)式表示出NF、AN、MN、AB、AM的長(zhǎng)度，然后表示出BM、EM的長(zhǎng)度，最后求出答案即可．（1）∵，，∴，∵，∴在中由勾股定理得：，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴．（2）作交于點(diǎn)，連接，∵，，∴，，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴．在和中，∵，∴≌（），∴．∵，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．在和中，∵，∴≌（），∴，∴．（3）．解析：作于點(diǎn)，設(shè)，∵，，∴根據(jù)折疊知，又AN⊥BE，∴，，∴，在Rt△AFN中根據(jù)勾股定理得，∴，同理，，同理，．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)；考查的內(nèi)容比較多，按照階梯難度逐級(jí)上升，熟練掌握那些定理并能畫出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．9．在菱形中，點(diǎn)、分別為、邊上的點(diǎn)，連接、、．(1)如圖1，與交于點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿翻折至同一平面內(nèi)，得到，連接與交于點(diǎn)，記、、的面積分別為、、，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．答案：(1)4(2)證明見解析(3)分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一可知，，可得，根據(jù)勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)；（2）在上截取，連接，則，因?yàn)椋?，則可證≌（），所以，又因?yàn)锽C=CD，所以；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則△BOI≌△FOC，所以BI=CF，又因?yàn)锽I∥CF，所以四邊形ACFI是平行形，，由，，設(shè)，則，，代入計(jì)算可得．(1)解：∵在菱形中，平分，，∴，．∵，∴在中，，，∴．(2)證明：在上截取，連接．∵在菱形中，，∴，即．∵，∴．∴為等邊三角形．∴．∴．∵，∴．∴．在和中，∵，∴≌（）．∴．∵，∴，即．(3)．解析：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．∵AB∥CD，∴∠ABF=∠BFC，∵點(diǎn)O是BF的中點(diǎn)，∴BO=FO，∵∠BOI=∠FOC，∴△BOI≌△FOC，∴BI=FC，∴四邊形ACFI是平行形，∴，∵，，∴．∴．∴．∵沿翻折至同一平面內(nèi)得到，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形，熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)（等腰三角形、等邊三角形、全等三角形等）是解題的關(guān)鍵．10．在菱形ABCD中，，E為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE．(1)如圖1，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，是等邊三角形，連接DM，H為DM的中點(diǎn)，連接AH，猜想線段AH與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)在（2）的條件下，N為AD的中點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊，連接PN，若，直接寫出PN的最小值．答案：(1)30°；(2)AE＝2AH，證明見解析；(3)分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD?∠BAE＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°；（2）延長(zhǎng)DA至F點(diǎn)，使得AF＝DA，連接AM，CE，F(xiàn)M，證明△AMB≌△CEB（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再證△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論；（3）連接NC、PC、NP，證明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，則∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)NP⊥PC時(shí)，PN長(zhǎng)度最短，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°，∵BE＝AE，∴∠ABE＝∠BAE＝30°，∴∠EAD＝∠BAD?∠BAE＝90°，∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴AF＝DF＝DE，∴∠FAD＝∠ADB＝30°；（2）AE＝2AH，證明：延長(zhǎng)DA至F點(diǎn)，使得AF＝DA，連接AM，CE，F(xiàn)M，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵△BEM是等邊三角形，∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE，∴∠ABM＝∠EBC，∴△AMB≌△CEB（SAS），∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC為等邊三角形，∴AD＝AC，∵AD＝AF，∴AF＝AC，∵∠FAB＝180°?∠BAD＝60°，∴∠FAB＝∠ACB＝60°，∴∠FAM＝∠FAB?∠MAB＝∠ACB?∠ECB＝∠ECA，∴△FAM≌△ACE（SAS），∴MF＝AE，∵FA＝AD，H為DM的中點(diǎn)，∴AH＝MF，∴AE＝MF＝2AH；（3）連接NC、PC、NP，∵△AMP為等邊三角形，∴∠MAP＝60°，AM＝AP，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC為等邊三角形，△ADC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠MAB＝∠MAP?∠BAP＝∠BAC?∠BAP＝∠PAC，∴△AMB≌△APC（SAS），∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，∵AC＝CD，N為AD的中點(diǎn)，∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)NP⊥PC時(shí)，PN長(zhǎng)度最短，∵AD＝，∴DN＝AD＝，∴NC＝DN＝3，∵∠PCN＝60°，NP⊥PC，∴∠PNC＝30°，∴PC＝NC＝，∴PN＝PC＝，即PN的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．問題解決：如圖1，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，與相交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．答案：?jiǎn)栴}解決：（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析；類比遷移：8分析：?jiǎn)栴}解決：（1）證明矩形ABCD是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可．結(jié)合和可知，再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明，即，即可求解；（2）由（1）中結(jié)論可知，再結(jié)合已知，即可證明，從而求得是等腰三角形；類比遷移：由前面問題的結(jié)論想到延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到，再結(jié)合已知可得等邊，最后利用線段BF長(zhǎng)度即可求解．【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：（1）證明：如圖1，∵四邊形是矩形，．．．．又．∴矩形是正方形．（2）是等腰三角形．理由如下：，．又，即是等腰三角形．類比遷移：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．∵四邊形是菱形，．．．又．是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問題，屬于中檔難度的幾何綜合題．理解題意并靈活運(yùn)用，做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．矩形中，將矩形沿、翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，、、三點(diǎn)在同一直線上．(1)如圖，求的度數(shù)；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，連接，交、于點(diǎn)、，若，，求的長(zhǎng)度；(3)如圖，當(dāng)，時(shí)，連接，，求的長(zhǎng)．答案：(1)45°(2)5(3)4分析：（1）由折疊的性質(zhì)得，則；（2）連接，，，，由折疊的性質(zhì)知垂直平分，垂直平分，則，，再求出，利用勾股定理可得答案；（3）設(shè)，則，，，過點(diǎn)作垂直交的延長(zhǎng)線于，證明四邊形是矩形，求出EH，在中，利用勾股定理列方程求解可得答案．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可知：，，四邊形是矩形，，，，；（2）如圖，連接，，，，若，則四邊形是正方形，由題意可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，由折疊的性質(zhì)可知：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，垂直平分，垂直平分，，，為正方形的對(duì)角線，，，，在中，由勾股定理得：．（3）設(shè)，由題意可知：，，，，，是等腰直角三角形，在矩形中，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知：，，，，，，，如圖，過點(diǎn)作垂直交的延長(zhǎng)線于，則，四邊形是矩形，，，，在中，由勾股定理得：，即，整理得：，解得或舍去，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．13．如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C、D重合）．過點(diǎn)B作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作的垂線分別交于，于點(diǎn)M、N．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求線段的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，的大小是否改變？若不變，求出該值，若改變請(qǐng)說明理由．答案：(1)見解析(2)(3)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，的大小不改變，且分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，求出，再根據(jù)平行四邊形的面積求出EF的長(zhǎng)即可；（3）在DN上截取DG=BN，連接CG，根據(jù)“SAS”證明，得出CG=NC，，說明△GCN為等腰直角三角形，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴，，∵，∴在Rt△ADE中根據(jù)勾股定理得：，∵，∴．（3）解：點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，的大小不改變；在DN上截取DG=BN，連接CG，如圖所示：∵DN⊥AE，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵在△DGC和△BNC中，∴（SAS），∴CG=NC，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的面積，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．14．（1）如圖1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于點(diǎn)O且AE⊥DF．則AE和DF的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，CD上的點(diǎn)，BG⊥EF，垂足為H．求證：EF＝BG．（3）如圖3，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是邊AD，BC，AB上的點(diǎn)，AE＝2，BF＝4，BM＝1，將正方形沿EF折疊，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與CD邊上的點(diǎn)N重合，求CN的長(zhǎng)度．答案：（1）AE＝DF；（2）見解析；（3）CN的長(zhǎng)度為3分析：（1）證明∠BAE=∠ADF，則△ABE≌△DAF（AAS），即可求解；（2）由正方形的性質(zhì)得出∠CBG=∠MEF，證明△BCG≌△EMF（ASA），即可求解；（3）證明△EHF≌△MGN（ASA），則NG=HF，而AE=2，BF=4，故NG=HF=4-2=2，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）∵∠DAO+∠BAE=90°，∠DAO+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AE=DF，故答案為：AE=DF；（2）如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，則四邊形ABME為矩形，則AB=EM，在正方形ABCD中，AB=BC，∴EM=BC，∵EM⊥BC，∴∠MEF+∠EFM=90°，∵BG⊥EF，∴∠CBG+∠EFM=90°，∴∠CBG=∠MEF，在△BCG和△EMF中，，

∴△BCG≌△EMF（ASA），∴EF=BG；（3）如圖2，連接MN，∵M(jìn)、N關(guān)于EF對(duì)稱，∴MN⊥EF，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，則EH⊥MG，由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），∴NG=HF，∵AE=2，BF=4，∴NG=HF=4-2=2，又∵GC=MB=1，∴NC=NG+CG=2+1=3．【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．已知：在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且．將三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，一條直角邊與直線BC交于點(diǎn)E，另一條直角邊與射線BA交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合），將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E、F在線段BC、AB上時(shí)，求證：PE＝PF；(2)當(dāng)∠FPB＝60°時(shí)，求△BEP的面積；(3)當(dāng)△BEP為等腰三角形時(shí)，直接寫出線段BF的長(zhǎng)．答案：(1)見解析(2)(3)的長(zhǎng)為4、或分析：（1）如圖1，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、．由正方形的性質(zhì)可證，即可證明；（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在中和中，中，設(shè)ME＝a，則EP＝2a，．表示出，．最后再求△BEP的面積；（3）分兩大類情況討論：Ⅰ：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，只有，Ⅱ：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，又可再分三小類情況，①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，進(jìn)而求得結(jié)果．（1）如圖1，過點(diǎn)P作PG⊥AB，PH⊥BC，垂足分別為點(diǎn)G、H．∵四邊形ABCD為正方形，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝90°∴PH＝PG．∴四邊形GBHP為正方形．∴∠GPH＝90°，∵，∴，即．在和中，，∴．∴．（2）如圖2，過點(diǎn)E作EM⊥BD于點(diǎn)M，當(dāng)∠FPB＝60°時(shí)，∠EPB＝30°，在中，設(shè)ME＝a，則EP＝2a，．在中，∠DBC＝45°，∴EM＝BM＝a，∴，解得：．∴．（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①如圖3，當(dāng)，∴，∴，∵，∴．②當(dāng)時(shí)，則，∴為等腰直角三角形，與重合，舍去．③如圖4，當(dāng)時(shí)，同理可證，∵，∴，∴，∴．Ⅱ：當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，∵，∴只有，如圖5，同理可證：，∴．∵，∴，∴．綜上所述，的長(zhǎng)為4、或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積計(jì)算、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)、判定進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：．(2)如圖②和③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)判斷CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系，并證明之；(3)如圖③，若連接正方形ADEF對(duì)角線AE、DF，交點(diǎn)為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．答案：(1)證明見解析；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，，證明見解析；(3)△AOC是等腰三角形，理由見解析．分析：（1）證明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，即可得到；（2）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，，證明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，證明；當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，，證明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用即可證明；（3）證明△FCD為直角三角形，進(jìn)一步可得，再根據(jù)OA＝AE，AE＝DF，即可證明OC＝OA．【詳解】（1）證明：如圖①：∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠CAF+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵，∴．（2）解：如圖②：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，．理由如下：∵∠BAC＝∠DAF=90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAF+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵，∴；如圖③：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，．理由如下：∵∠CAF+∠BAF＝∠BAC＝90°，∠BAD+∠BAF＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵，∴．（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，由（2）可知：△BAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°=90°，∴△FCD為直角三角形，∵正方形ADEF中，O為DF的中點(diǎn)，∴∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，∴OC＝OA，∴△AOC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定，結(jié)合圖形分析．17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．（1）如圖1，連接CE，求證：△BCE是等邊三角形；（2）如圖2，點(diǎn)M為CE上一點(diǎn)，連結(jié)BM，作等邊△BMN，