初中數(shù)學代數(shù)知識大全

初中數(shù)學代數(shù)知識大全

一、有理數(shù)的運算

1、相反數(shù)：a的相反數(shù)為:-?！猘的相反數(shù)為:。0的相反數(shù)為:0

a(a>0)

2、絕對值：|。|=40(。=0)

<-a(a<0)

3、倒數(shù)：ab=l,。和〃互為倒數(shù).或。=!

b

4、有理數(shù)的加法：+。+人=+(|。|+|〃|)-a+(-b)=+1。I

-a+h=-(\a\-\b\)a+(-h)=^\a|一力|)4|>匕

5、有理數(shù)的減法：a-b=a+(-b')

6、有理數(shù)的乘法：axb=+\a\x\b\-axb=]-a\*2(?>0,Z?>0)

7、有理數(shù)的除法：a-^h=+\a\^-\b\一。子〃=卜4k(a>0,b>0)

8、有理數(shù)的乘方：a〃=axaxXQXQ(〃個Q)

(一")"=""’(一〃)""‘=—a"'"320

二、整式的運算

1、整式的加減：

(1)非同類項的整式相加減：ab±m(xù)n-ab±m(xù)n(不能合并！)

(2)同類項的整式相加減：ab±an=(b+n)a(合并同類項，只把系數(shù)相加減)

2、整式的乘除：

(1)塞的八種計算

(a)同底數(shù)幕相乘：a"xa"=a"+"

(b)同底數(shù)幕相除：3。0)

(C)零指數(shù)：Q°=l(aw0)

(d)負指數(shù)：Q"=’73。0)

a

(e)積的乘方：(ab)=/義b

(f)累的乘方：")=/"

(g)同指數(shù)的基相乘：a"'xb"1=W"

m

(h)同指數(shù)的幕相除：/'+//=(￡)Sw°)

(2)整式的乘法：

(a)單項式乘單項式：maxnb=rruuib

(b)單項式乘多項式：m(a+b+c)=ma+mb+me

(c)多項式乘多項式：(。+，)(加+〃)=am+an+hm+hn

(3)乘法公式：

77

(a)平方差公式：(。+3(。一人)=4--//

<b)完全平方公式：(a+b\=a+b'±2ab

(c)三數(shù)和的完全平方公式：(a+b+c)2=q2+y+c2+2(ab+bc+ac)

(d)立方和公式：(a+b)(q--ab+b)=a+b

(e)立方差公式：(a_b)(a~+ab+b)=Q-。

(f)完全立方公式：(〃±，)=Q-^CL^^~^ab-1}

(g)三數(shù)和的完全立方公式：(Q+b+c)'=4Z+Z?+3abe+b+c)

(4)整式的除法：

(a)單項式除以單項式：irta^nb=(―)(tz4-b)

n

(b)多項式I除以單項式：(ma+mb+/nc)+m=ma+m+mb+m+me+m=a+b+c

三、因式分解的運算

1、提取公因式法：ma+mb+me=m(a+b+c)

2、公式法：/-82=(〃+0)(〃一〃)〃2±2"+//=(〃±/2).

2

3、十字相乘法：〃~+(加+〃)。+加1=(a+m)(a+n)

四、分式的運算

/J7mb

1、分式的通分：匕=々(。工0/。0)

aab

/v_u^/i八、mbmb+bm八,八、

2、分式的化簡(約分)：一=------=—3z。0,力。0)

abab+ba

3、分式的加減:

/77nm+〃

(1)同分母的分式相加減：竺±2=竺」(。工0)

aaa

/77nmb+nci

(2)異分母的分式相加減：竺±q=竺二吧(。工0/。0)

abab

4、分式的乘除：

(1)分式的乘法：‘x'="

abab

,、八mnmbinb?,八、

(2)分式的除法：一+—=—x—=—w0,。w0z,〃w0)

abanan

五、根式的運算

1>根式的加減：m-Ja±ny/a=(m±n)y/a(同類根式才能相加減)

2、根式的乘除:m-Jaxny/b=(mn)y/abm^a+n(〃。0力。0)

(同次根式才能相乘除)

3、根式的乘方：(〃)=。(a>0)

a(a>0)

=Ia1={0(a=0)

-a(a<0)

4、分母有理化：?=叱坦=9_g0)

8(?)0

mm(y/ab)m-/amb

4a±b士b)(8b)a-B

六、方程的運算

1>一元一次方程

步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，化未知數(shù)的系數(shù)為1。

注意：移項時，此項前的符號要變號；去括號時，括號前是“一”時，括號內(nèi)的每一項都要變

號。

2、關(guān)于x的一元一次方程方=人的解的三種情況

(1)a=0,b*0,方程無解

(2)a=Q,b=0,方程無數(shù)多個解

(3)方程只有一個解

3、二次一次方程(組)

(1)二元一次方程的正整數(shù)解(不定方程)

(a)不定方程的概念：一個方程，兩個未知數(shù)。

(b)不定方程的解：有無數(shù)組解，這些解有一定的規(guī)律。一般只討論正整數(shù)解。

(C)不定方程的一般解法(選學內(nèi)容******)

對于不定方程3x+4y=90來說：

解法步驟為：(1)整理：用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)。x=90~4v=30--y

33

(2)求解：令y=1,2,3,4,求出x的整數(shù)解。

4

(3)設(shè)參數(shù)：：x=30--y,且x為整數(shù)。

3

4

顯然是3的倍數(shù)。

故y=3—伏=1,2,3,4)

'x=30—4Z

所以符合要求的解集為：V

y=3k

(2)二元一次方程組的解法

(a)代入消元法

要點：用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，代入方程求解。

(b)加減消元法

要點：通過加減消去一個未知數(shù)，求出另一個未知數(shù)，代入方程再求出消去的未知數(shù)。

(3)三元一次方程組的解法

主要是加減消元法

要點：先用①式與②式消成二元一次方程，再用②式與③式消成二元一次方程，然后組

成新的二元一次方程組再求解。

4、分式方程

(1)步驟：方程兩邊同時乘最簡公分母，去分母，化為整式方程求解，檢驗。

(2)要點：增根的檢驗很必要，不然方程中分母為0,無意義！

(3)增根的檢驗：代入原方程的分母，看分母是否為0。為。則是增根，不為0則是原

方程的根

(4)拓展提高：已知增根，求分式方程中的參數(shù)的值。先公為整式方程，代入增根的值,

即可求出原方程中的參數(shù)的值。(注意，不能先代入，否則分母為0,無法計算。)

5、一元二次方程

(1)三種解法

(a)配方法

步驟：一化(化二次項的系數(shù)為1)

二移(把常數(shù)項移到方程右邊)

三配(方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方)

四整理(寫成完全平方式，兩邊開方)

五寫根(通過開方的兩個答案，寫出兩個根)

(b)公式法

步驟：一、找系數(shù)

二、算A=//-4ac的值

一力八一—b±db~-4ac

二、代公式工二--------------

2a

四、寫出兩根

(c)因式分解法

步驟：一整理(方程整理成右邊二0的形式)

二分解(把方程左邊分解成兩個整式之積)

三求根(根據(jù)每一個整式為0,求出兩根)

(2)求根公式的理解x=——------

2a

(a)Q不能為0。因為。=0,分母=0。式子無意義

,八-b±yjb~-4ac±yJ-ac

(b)〃=0,x=------------------=---------

2aa

兩根互為相反數(shù)。

_-b±yjb2—4ac_—b±_—b±b

(c)

2a2a2a

-b+b-b—bb

K=k=0,%=

兩根之中至少有一個根為0。

(3)根的判別式△=//_4ac

(a)當△=//-4。，〉0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

(b)當△=//-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

(c)當△=//-4ac<0時，方程元實數(shù)根。

(d)當△=//-4acN0時，方程有兩個實數(shù)根。

(e)。、。異號時，方程必有實數(shù)根。

(4)方程的特殊解與系數(shù)的關(guān)系

b

(a)當方程有一個根為。時，c=0,另一根為一一

a

(b)當方程有一個根為1時，a+0+c=0,另一根為上

a

(c)當方程有一個根為—1時，a-b+c=O,另一根為一$

a

(5)根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)

”f+bx+c=0的兩個根為M和尤，則無和工?滿足以下關(guān)系:

,bc

+==

XiX2--，X)x2~

根據(jù)以上規(guī)律還可以得到以下關(guān)系:

2

+52c_52ac

XlX2=(沏+%2,-2%%2=(-----)-2x-=

22

a

adaa

b

111=X^+Xi=~a=t>

XiXXiXi-c

2a

h2-2ac

2222

X,X1_X1+X2_

2I———a——_b_2ac

XiX九2-ac

2a

-2

Ixrx，1=V(X1~X2)=Jxi+X2~XIX2

4422、222

Xl+X2=(xi+%2)-2汨X2

3

%]+2--acX,的分析如下：

a

/2hc、b2

??.(/+”+/'+/z%+5+0=0

2

3b2cb2Kbe八

即：X\++

-Xal+-Xa.+a-X2—X2+—a=°

2

3b,22cz.h-ache

X\+T<X1+X2)+=(無+工2)+------X2+~

aaaa

2

3b，2abcJO—acabc

Xi+3——Xi+~r

aaa

3V)-acjy-labc

+

=X1+.....-X2------3—=o

aa

3—ac2abc-l)

X\+~Xl=3

aa

七、不等式(組)的運算

i、不等式的三條性質(zhì)

(1)若a>/?,貝土加〉6±/〃

(不等式兩邊同時加減相同的代數(shù)式，不等號方向不變)

(2)若a>。,m>0,貝必根〉。機或0>2

mm

(不等式兩邊同時乘或除以一個正數(shù)，不等號方向不變)

_ab

(3)若4>/?,/〃<0,貝胸〃?<加1或一<—

mm

(不等式兩邊同時乘或除以一個負數(shù)，不等號方向改變)

2、不等式的解法

步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，化未知數(shù)的系數(shù)為1。

注意：移項要變符號，兩邊同時乘或除以一個負數(shù)，不等號要改變。

3、不等式的解集在數(shù)軸上表示

(1)“>和<”，用空心圓圈

(2)“2和<”，用實心圓圈

4、求符合不等式解集的特殊解

(1)正整數(shù)解

(2)非負數(shù)解

(3)與一元二次方程的判別式相結(jié)合的求解集。(分△>0,A=0,A<0,A20)

(4)知道特殊解的個數(shù)，反過來求不等式中的參數(shù)的取值范圍。

5、不等式組的四種解集

(1)兩個都是大于：大大取較大。

x>a,x>b(a>b)解集為：x>a

(2)兩個都是小于：小小取較小。

x<a,x<b(a>b)解集為：x<b

(3)大于小的，小于大的：大小小大中間找。

x>a,x<b(?</>)解集為：a<x<b(a>力之間)

(4)大于大的，小于小的：大大小小沒法找。

x>a,x<h(a>b)解集為：無解

6、用圖像解不等式

(1)一次函數(shù)

分自+人>0和<0兩種，即橫軸之上與橫軸之下兩種圖象來考慮。

剛好在x軸上，即辰+匕=0。

分三種情況來考慮:

①圖象與x軸的交點：kx+b^O

②圖象在x軸之上的部分：kx+b>0

③圖象在x軸之下的部分：kx+b<Q

(2)一次函數(shù)與反比例函數(shù)

分kx+b＞七kx+—kx+be.—三種情況考慮

xxx

如圖：交點坐標很重要。

每種情況都要分幾個區(qū)域來考慮。

①直線在曲線之上：一次函數(shù)大于反比例函數(shù)

②直線在曲線之下：一次函數(shù)小于反比例函數(shù)

③直線與曲線的交點：一次函數(shù)等于于反比例函數(shù)

(3)二次函數(shù)

2,八

ay4-PX+OO

從開口方向、圖象與X軸交點坐標、圖象在無軸之上、與在X軸之下幾個因素來考慮

7

①圖象在x軸上方的部分：ajQ-\-bx-\-oQ

7

②圖象在X軸下方的部分：ax-+bx+c<0

③圖象與x軸的相交處：a^Q+bx+c=Q

④無交點時，整個圖象在上與在下兩種。

八、直角三角形邊角關(guān)系（三角函數(shù)）的運算

1、四種三角函數(shù)的（直角三角形）定義

（1）正弦：（對邊比斜邊）sinA=-

c

h

（2）余弦：（鄰邊比斜邊）cosA=—

C

（3）正切：（對邊比鄰邊）tanA=-

h

（4）余切：（鄰邊比對邊）cotA=-

2、四種三角函數(shù)的（直角坐標）定義

.y

(1)正弦：sma=—

c

X

(2)余弦:cosa=—

c

y

(3)正切:tana=—

X

X

(4)余切:cota=一

y

注意：（A）當角a是銳角時，四種三角函數(shù)都是正數(shù)；

（B）當角a是鈍角時，P點轉(zhuǎn)到第二象限，x的值為負數(shù),

此時只有正弦為正數(shù)，其余的三種三角函數(shù)都是負數(shù)。

（C）由對稱可知：

互補的兩角的正弦相等，如：sin60°=sinl20°,sin30°=sinl50°

互補的兩角的其他三種三角函數(shù)互為相反數(shù)，

如：cos120°=-cos60°,tan150°=—tan30°cot135°=—cot45

3、特殊角的三角函數(shù)值

X0°30°45°60°90°

sinA0也顯1

22

\_

cosA1也在0

222

tanA01忑—

3

cotA—1縣0

口訣：正弦，余弦分分母2,分子根號1,2,3；正切余切分母3,分子根號3次方。

4、三角函數(shù)的關(guān)系

（1）倒數(shù)關(guān)系：tanAxcotA=l（兩切相乘積為1）

（2）平方關(guān)系：silVA+cOS-A=1（兩弦平方和為1）

、sinA,c（8A

（3）商數(shù)關(guān)系：-------tanA-------cot/（兩弦相除得到切）

cosAsin4

（4）互為余角的三角函數(shù)：

siiw=cosR90cos?=sin(90°-a)

tana=cot(90°-a)cota=tan(90°-a)

(5)互為補角的三角函數(shù)：

sim=sin(<l-8tf)cosa--cos(l800-a)

tam=-tan(1-84)cota--cot(l80°-a)

5、直角三角形的邊角計算

b

(1)計算對邊：=cxsinAa-Zzxtan/a=-------

cotA

nh

(2)計算斜邊：c=/一c=—

sinAcosA

(3)計算鄰邊：b=―-—h=acotAh=cxcosA

tanA

(4)規(guī)律：不必死記硬背，只記定義變形。先寫相關(guān)定義，再作乘除變形。

如：sinA=—可以推出：a=cxsinA和c="

csinA

6、三角形中重要的三角函數(shù)公式

(1)三角形的面積公式：

q=—xABxACxsinA=—xABxBCxsinB=—xACxBCxsinC

222

三角形的面積=夾角的正弦與這兩邊乘積的一半。

(2)正弦定理：

~^—=~^—=~^=2R(火為AABC的外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

三角形中任一邊與這邊的對角的正弦比值相等。

(3)余弦定理:A

222

a^b'+c~2bccofiA

222

b=a+C-2accosB

222

c^a+b'-2abcofiC

三角形中任一邊的平方=另兩邊的平方和減去這兩邊與夾角的余弦的兩倍。

(4)規(guī)律與用途

A、用兩邊夾一角計算三角形的面積。

不知道高時，使用這種方法可使計算簡便。尤其適用夾角是特殊角時。

在求夾角是60°、30°、120°、150°等三角形的面積時，可以直接使用這種公

式計算，不需要作高來分析。

q=—xaxaxsin60q=—xaxxsin60"q=—xaxZ?xsin150°

020202

=—"sin30°

12G上2

=5x4x-y41,

--ab

4

\[32

7a

B、己知兩角及其中一個對邊，求另一條對邊。

用正弦定理列出比例式計算。知道兩角夾一邊也可以轉(zhuǎn)化為正弦定理解。

ax

sinasin0

a.八asinB

x=------xsinp=-------

sinesine

當a和尸是特殊角時計算尤為簡便。

C、已知兩邊夾一角計算第三邊。

用余弦定理計算。夾角一般要特殊角才好計算。

x=a+b"-2abcosa

x=yja+b'—2abcosa

當a是特殊角時，計算很簡便。特別是。=60°和a=120°時可以直接使用

(5)典型例題

①非直角三角形求解

如圖：已知NB=60°,ZC=45°,BC=6,求。$M?wC

方法1:作高

作高AD,設(shè)AD=X,

貝ijRtAACD