河南省大聯(lián)考高三下學(xué)期4月第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

河南省大聯(lián)考2022屆高三下學(xué)期4月第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，若與的虛部相等，則（）A． B． C． D．2．已知a，b，c均為非零向量，且，，則（）A．與垂直 B．與同向 C．與反向 D．與反向3．已知集合，，則（）A． B． C． D．4．某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己的興趣愛好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參加太極拳社團(tuán)的有12名，則（）A．這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%C．這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的8%D．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%5．如圖，一個(gè)底面邊長為cm的正四棱柱形狀的容器內(nèi)裝有部分水，現(xiàn)將一個(gè)底面半徑為1cm的鐵制實(shí)心圓錐放入容器，圓錐放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若該容器的厚度忽略不計(jì)，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．6．在等比數(shù)列中，，，則（）A．80 B．242 C． D．2447．若，，，則（）A． B． C． D．8．若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（）A．9 B．15 C．21 D．339．已知為定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A． B．C． D．10．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（）A． B． C． D．11．在正方體中，點(diǎn)E為線段上的動點(diǎn)，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點(diǎn)E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中所有真命題的序號是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④12．若過點(diǎn)最多可作出條直線與函數(shù)的圖象相切，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．當(dāng)時(shí)，的值不唯一C．可能等于 D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．若，，則______．14．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為C上一點(diǎn)，若，則______．15．“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物兒何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題．已知問題中，一個(gè)數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，則在不超過2022的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為______．16．設(shè)，若，則整數(shù)n的值為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17．（12分）如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距200km．飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場起飛以后，飛機(jī)沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到C地，再沿與原來的飛行方向成45°角的方向繼續(xù)飛行km到達(dá)終點(diǎn)．（1）求A，C兩地之間的距離；（2）求．18．（12分）某大學(xué)為了鼓勵(lì)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識競賽”，該競賽決賽局有A，B兩類知識競答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進(jìn)入決賽的選手要先從A，B兩類知識中選擇一類進(jìn)行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對剩下的一類知識挑戰(zhàn)的機(jī)會，挑戰(zhàn)失敗則競賽結(jié)束，第二類挑戰(zhàn)結(jié)束后．無論結(jié)果如何，競賽都結(jié)束．A，B兩類知識挑戰(zhàn)成功分別可獲得2萬元和5萬元?jiǎng)?chuàng)業(yè)獎(jiǎng)金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到2000元激勵(lì)獎(jiǎng)金．已知甲同學(xué)成功晉級決賽．他對A，B兩類知識的挑戰(zhàn)成功率分別為，，且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無關(guān)．（1）若記X為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額（單位：元），寫出X的分布列；（2）為了使甲同學(xué)可獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，請幫甲同學(xué)制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由．19．（12分）如圖，點(diǎn)A，B，C分別為圓柱下底面圓周上的三個(gè)等分點(diǎn)，，，分別為圓柱的三條母線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為母線，上的點(diǎn)，且，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)．（1）證明：BM⊥平面AEF．（2）求平面AEF與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）證明：．21．（12分）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，且四邊形是面積為8的正方形．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）M，N為C上且在y軸右側(cè)的兩點(diǎn)，，與的交點(diǎn)為P，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中．曲線C的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若A是曲線C上一動點(diǎn)，B是線段上一動點(diǎn)，且直線AB與x軸垂直．求的最大值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．（2）證明：當(dāng)時(shí)，．河南省大聯(lián)考2022屆高三下學(xué)期4月第三次模擬考試數(shù)學(xué)解析（理科）1．D【解析】依題意可得，則．2．C【解析】因?yàn)?，，所以與同向，與反向，所以與反向．3．C【解析】因?yàn)椋?，所以?．D【解析】這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為，．A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤．因?yàn)樘珮O拳社團(tuán)人數(shù)的占比為，所以脫口秀社團(tuán)人數(shù)的占比為，B錯(cuò)誤．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為，D正確．5．A【解析】依題意可得圓錐的體積，又（其中h為圓錐的高），則cm，則圓錐的母線長為cm，故圓錐的側(cè)面積為．6．B【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，所以，即．7．A【解析】由題意可知，，，，，則，所以．8．C【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又在區(qū)間上不單調(diào)，所以，即．因?yàn)橹本€是曲線的一條對稱軸，所以，即，故的最小值為21．9．D【解析】因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，又，所以．依題意可得，當(dāng)或時(shí)，．所以等價(jià)于或，解得或．10．B【解析】如圖，連接，，則，A，C和，B，D都三點(diǎn)共線．設(shè)，則．由，得，又，則，，，因此，即，則，，，故．11．A【解析】易證AC⊥平面，平面，所以恒有AC⊥DE，直線DE與直線AC所成角為90°，所以①是真命題．點(diǎn)E到直線AB的距離與點(diǎn)E到直線的距離有關(guān)，所以②是假命題．因?yàn)?，所以平面，故點(diǎn)E到平面的距離d為定值，則為定值，所以③是真命題．點(diǎn)E在處和在的中點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的外接球半徑不同，故其外接球的體積不是定值，所以④是假命題．12．B【解析】不妨設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為，則，整理得．設(shè)函數(shù)，則，令，得．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，，，A與C均正確；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，D正確．13． 【解析】 ．14．【解析】由拋物線的定義可知，即，則，解得．15．20410【解析】易知滿足被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小的數(shù)為23，滿足該條件的數(shù)從小到大構(gòu)成以23為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，令，解得，則所有滿足條件的數(shù)的和為．16．129【解析】因?yàn)?，所以?7．解：（1）由余弦定理得，所以km．（2）（方法一）由正弦定理得，則，因?yàn)?，所以A為銳角，所以故．（方法二）由余弦定理得,則，故．18．解：（1）由題意可知，X可取的值為2000，20000，70000，，，．故X的分布列為X20002000070000P0.40.360.24（2）記Y為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額，甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)A類知識所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額的期望為，優(yōu)先挑戰(zhàn)B類知識所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額的期望為，由題意可知，Y可取的值為2000，50000，70000，，，．（元），（元），因?yàn)?，所以為了使甲同學(xué)可獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，應(yīng)該優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)B類知識．19．（1）證明：如圖1，記AB的中點(diǎn)為N，連接MN，CN．因?yàn)辄c(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形CFMN為平行四邊形，則．因?yàn)镸N⊥平面ABC，所以MN⊥CN，又CN⊥AB，且，所以CN⊥平面ABE，CN⊥BM．即MF⊥BM，因?yàn)?，所以BM⊥平面AEF．（2）解：如圖2，記AC，的中點(diǎn)分別為D，，連接，BD，則，平面ABC，BD⊥AC，以D為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。不妨設(shè)，則，，，，．由（1）可知平面AEF的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的法向量為，，，則令，則，所以，故平面AEF與平面所成銳二面角的余弦值為．20．（1）解：由題意可知，，對于二次函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，，恒成立，有0個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有2個(gè)大于零的零點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可知，有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)只有1個(gè)大于零的零點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可知，有1個(gè)極值點(diǎn)．（2）證明：要證，即證．（方法一）設(shè)，則，在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，所以在上存在唯一的零點(diǎn)m，且，即，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以等號不成立，所以，所以，從而原不等式得證．（方法二）不妨設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，恒成立，則恒成立，則恒成立，即．又，所以等號不成立，即，從而不等式得證．21．解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又四邊形的面積，所以，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）得，．設(shè)，由題意可知，，，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為，直線