名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.2．曲線的一個焦點F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.3．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.4．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.45．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.6．已知平面法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為A. B.C.與相交但不垂直 D.7．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.C. D.8．某校去年有1100名同學(xué)參加高考，從中隨機抽取50名同學(xué)總成績進(jìn)行分析，在這個調(diào)查中，下列敘述錯誤的是A.總體是：1100名同學(xué)的總成績 B.個體是：每一名同學(xué)C.樣本是：50名同學(xué)的總成績 D.樣本容量是：509．過拋物線的焦點作直線l，交拋物線與A、B兩點，若線段中點的縱坐標(biāo)為3，則等于（）A.10 B.8C.6 D.410．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點到灶底（拋物線的頂點）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m11．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，12．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.26二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________.14．?dāng)€尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角為___________15．用1，2，3，4排成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.16．寫出直線一個方向向量______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.18．（12分）已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率，若不能，說明理由19．（12分）已知拋物線C:（1）若拋物線C上一點P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，求證：直線l過定點20．（12分）已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交點，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）在正方體中，、、分別是、、的中點（1）證明：平面平面；（2）證明：22．（10分）已知圓，直線（1）求證：對，直線l與圓C總有兩個不同交點；（2）當(dāng)時，求直線l被圓C截得的弦長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量所學(xué)點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點到平面的距離為，所以，故選：D.2、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A3、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當(dāng)時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.4、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以的最小值為4.故答案為：4.【點睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運用不等式的性質(zhì)降低元的個數(shù)，運用均值不等式，是中檔題.5、B【解析】根據(jù)橢圓中之間的關(guān)系，結(jié)合橢圓焦距的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，則焦距為，故選：B.6、A【解析】.本題選擇A選項.7、D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點坐標(biāo)以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為，其焦點坐標(biāo)為，其漸近線方程為，即，則其焦點到漸近線的距離；故選D.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標(biāo).8、B【解析】采用逐一驗證法，根據(jù)總體，個體，樣本的概念，可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學(xué)的總成績，故A正確個體是每名同學(xué)的總成績，故B錯樣本是50名同學(xué)的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點睛】本題考查總體，個體，樣本的概念，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】根據(jù)拋物線的定義求解【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，所以，故選：B10、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點，求得拋物線的方程，進(jìn)而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點，即，可得，所以拋物線的方程為，當(dāng)時，，所以.故選：C.11、A【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導(dǎo)結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項和，是由特殊推導(dǎo)出一般性的結(jié)論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時，結(jié)論不正確，故D不正確.故選：A.12、A【解析】可設(shè)出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設(shè)缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】畫出可行域，通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界來求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)時，取得最大值.故答案為：14、【解析】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)OP.則以O(shè)為原點，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出側(cè)面與底面夾角.【詳解】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點O，連結(jié)OP.則，，以O(shè)為原點，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，顯然平面的法向量為所以，所以側(cè)面與底面的夾角為故答案為：.15、【解析】利用插空法計算出正確答案.【詳解】先排，形成個空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：16、【解析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線的一個方向向量.【詳解】由題意可知，直線可以化為，所以直線的斜率為，直線的一個方向向量可以寫為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結(jié)果；（2）二次函數(shù)的恒成立問題需要對二次項系數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，即，解得或，所以，解集為或.（2）因為在上恒成立，①當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)時，，解得，綜上，的取值范圍為.18、（1）證明見解析（2）能為平行四邊形；斜率為4－或4＋【解析】（1）設(shè)兩點坐標(biāo)，由點差法證明（2）求出兩點坐標(biāo)，由平行四邊形的幾何性質(zhì)判斷【小問1詳解】設(shè)的斜率為,，兩式相減可得，即故【小問2詳解】由（1）得的直線為，直線方程為聯(lián)立，解得聯(lián)立解得若四邊形OAPB為平行四邊形，則對角線互相平分為中點，解得，經(jīng)檢驗，均符合題意故四邊形OAPB能為平行四邊形，此時斜率為4－或4＋19、（1）（2）見解析【解析】（1）由拋物線的定義，可得點的坐標(biāo)；（2）可設(shè)直線的方程為，，，，與拋物線聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，，再根據(jù)，可得，從而可求得參數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)，，由拋物線的定義可知，即，解得，將代入方程，得，即的坐標(biāo)為；【小問2詳解】證明：由題意知直線不能與軸平行，可設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，設(shè)，，，則，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直線方程為，當(dāng)時，，所以直線過定點20、（1）（2）【解析】（1）先求得直線和直線的交點坐標(biāo)，再用點斜式求得直線的方程.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問2詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接，分別證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：連接，在正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，在中，、分別為、的中點，所以，，所以，，因為平面，平面，所以，平面因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，，平面，平面，平面又