第5講數(shù)列通項公式與前n項和(原卷版+解析)

第5講數(shù)列通項公式與前n項和高考預(yù)測一：等差等比公式法求和1．已知等比數(shù)列滿足：，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．2．記為等差數(shù)列的前項和．已知．（1）若，求的通項公式；（2）若，求使得的的取值范圍．高考預(yù)測二：裂項相消求和3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）若等差數(shù)列滿足，求，的通項公式；（Ⅱ）若＝______，求數(shù)列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充到第（Ⅱ）問中，并對其求解．4．為數(shù)列的前項和，已知，．（1）求通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和，若，求整數(shù)值．5．記為數(shù)列的前項和．已知，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．6．已知數(shù)列為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項和．7．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．高考預(yù)測三：錯位相減求和8．已知數(shù)列滿足為實數(shù)，且，，，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求的值和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和．9．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．10．設(shè)等差數(shù)列的公差為前項和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和．高考預(yù)測四：分組求和11．已知等差數(shù)列前10項的和是120，前20項的和是440．（1）求的通項公式；（2）若等比數(shù)列的第2項和第5項分別是6和162，求數(shù)列的前項和．12．已知為數(shù)列的前項和，且，，2，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．13．設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知，，，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，其中．求數(shù)列的通項公式；求第5講數(shù)列通項公式與前n項和高考預(yù)測一：等差等比公式法求和1．已知等比數(shù)列滿足：，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由已知可得解得故．（Ⅱ）若，則，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而．若，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而故．綜上，對任何正整數(shù)，總有．故不存在正整數(shù)，使得成立．2．記為等差數(shù)列的前項和．已知．（1）若，求的通項公式；（2）若，求使得的的取值范圍．【解析】解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列中，設(shè)其公差為，若，則，變形可得，即，若，則，則，（2）若，則，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，有，變形可得，又由，即，則有，即，則有，又由，則有，則有，綜合可得：的取值范圍是，．高考預(yù)測二：裂項相消求和3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）若等差數(shù)列滿足，求，的通項公式；（Ⅱ）若＝______，求數(shù)列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充到第（Ⅱ）問中，并對其求解．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，則．，，①，，解得（舍負），代入①得，，；則，，②設(shè)數(shù)列的公差為，，則；（Ⅱ）選擇①：，，則，．選擇②：，，則，，；選擇③：由（Ⅰ）知；．．．4．為數(shù)列的前項和，已知，．（1）求通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和，若，求整數(shù)值．【解析】解：（1），，，，，兩式相減，得．，，．?dāng)?shù)列為常數(shù)列，，所以．（2）由（1）可得，令，則，，，數(shù)列的前項和，，，若，且為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，，，由，可得，當(dāng)為偶數(shù)時，，，由，可得，．5．記為數(shù)列的前項和．已知，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）由題意，當(dāng)時，，整理，得，解得，或（舍去）．當(dāng)時，由，可得：，兩式相減，可得，整理，得，，．?dāng)?shù)列是首項為4，公差為3的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的通項公式為，．（2）由（1）知，．故．6．已知數(shù)列為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項和．【解析】解：由題設(shè)可得：，，；由（Ⅰ）可得：，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，綜上，．7．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）證明：，，又，，數(shù)列為首項、公比均為2的等比數(shù)列，，；（2）解：由（1）可得：，即，又，當(dāng)時，，又當(dāng)時，也適合上式，，，．高考預(yù)測三：錯位相減求和8．已知數(shù)列滿足為實數(shù)，且，，，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求的值和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（Ⅰ）數(shù)列滿足為實數(shù)，且，，，且，，成等差數(shù)列，所以，即．所以，由于，所以，解得．①當(dāng)時，，②當(dāng)時，．所以數(shù)列的通項公式為：．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以①，則，②①②得，整理得．9．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由，得解得，．因此．（2）由題意知：所以，，兩式相減得整理得，所以數(shù)列的前項和．10．設(shè)等差數(shù)列的公差為前項和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）由題設(shè)知：，解得：或，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．（2）當(dāng)時，由（1）可得，，，則，，又，兩式相減可得：，整理得：．高考預(yù)測四：分組求和11．已知等差數(shù)列前10項的和是120，前20項的和是440．（1）求的通項公式；（2）若等比數(shù)列的第2項和第5項分別是6和162，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)條件知：，解得：，，；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件知：，解得：，，，，所以其前項和為．12．已知為數(shù)列的前項和，且，，2，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】證明：當(dāng)時，，整理得，，，，，是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列．解：由得，．當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，可得．綜上，，為奇數(shù)），為偶數(shù)）．1