2021年新教材人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（三）【含答案】

2021年新教材人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)

一、單選題

1.為了了解全校240名高一學(xué)生的身高情況，從中抽取40名學(xué)生進(jìn)行測量，下列說

法正確的是（）

A.總體是240B.個體是每一個學(xué)生

C.樣本是40名學(xué)生D.樣本容量是40

2.已知復(fù)數(shù)z=（2+i）（a—3。是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）

A.-|B.|C.-3D.3

3.若△ABC外接圓圓心為O,半徑為4,且瓦？+2希+2前=6,則石。浜的值為（）

A.14B.2V7C.V7D.2

4.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b=4,點(diǎn)。為其外接

圓的圓心.已知詼.瓦5=6，則角4的最大值為（）

A.ZB.gCjD以

5.在斜三棱柱ABC-Ci中，乙4cB=90。，ABX1BC,則名在底面ABC上的射影

“必在（）

A.直線AC上B.直線8C上C.直線AB上D.AABC內(nèi)部

6.已知長方體ABC7）-48iGDi的體積為6C,*3,AB=\cm,BC=2cm,若該長方體的八

個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積是（）

A.口便Tre/B.^-rtcm3C.—item3D.^rtcm3

3333

7.已知直角梯形0A8C上下兩底分別為分別為2和4,高為2近，

則利用斜二測畫法所得其直觀圖的面積為（）。匕7弋

A.6V2B.3V2-------￥------

C.3D.6

8.如圖正方體力BCC-4BiGDi中，M是正方形ABC。的中

心，則直線與直線BiM所成角大小為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十

大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊

靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，

現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（1880年）重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓,

邀好友范仲淹作福陽樓記少使得岳陽樓著稱于世.自古有“洞庭天下水，岳陽天

下樓”之美譽(yù).小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得

^DAC=30°,^DBC=45°,4B=14米，則岳陽樓的高度C￡>約為（）（夜”

1.414,73?1.732)

二、多選題

10.如圖所示，在棱長為2的正方體4BCD-41當(dāng)口。1中，E,

F,G分別為所在棱的中點(diǎn)，P為平面BCCiBi內(nèi)（包括邊界

）一動點(diǎn)，且DiP〃平面EFG,則（）

A.BD//EGB.BQ〃平面EFG

C.三棱錐Di-EFG的體積為5

D.P點(diǎn)的軌跡長度為2

11.在△ABC中，角所對的邊分別為a,b,c,給出下列四個命題中，其中正確的命題

為（）

A.若A：B：C=1：2：3,則a：b：c=1：2：3

B.若cosACcosB,則sirM>sinB

C.若A=30。，a=3,b=4,則這個三角形有兩解

D.當(dāng)AABC是鈍角三角形.則tanA?tanC<1

三、填空題

12.，是虛數(shù)單位，則|言|的值為.

在直三棱柱中，。為棱的

13.48C-41B1GAC1BC,AC=3,BBX=2BC=8,

中點(diǎn)，則三棱錐D-ACCi的外接球的表面積為.

14.四面體ABCQ的頂點(diǎn)A、B、C、。在同個球面上,4。，平面ABC,4。=獨(dú),48=2,

3

AC=3,/.CAB=60°,則該四面體的外接球的表面積為.

15.已知向量五=(1,2),b=(0,-1)>c=(x,-2),若丘〃3則》=；若(日一

2b)lc>貝卜=?

16.擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為g事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，

事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件Au5(后表示事件B的對

立事件)發(fā)生的概率為.

17.如圖，在A4BC中，前=：枇,若麗=4而，則；I的值為尸是8N上的一

點(diǎn)，若存=1荏+m而，則，”的值為_(2)_.

四、解答題

18.已知平面向量五，b,|五|=2,㈤=1,且H與石的夾角為宗

(1)求

(2)求他+2石|;

(3)若五+2石與2五+4石(46R)垂直，求4的值.

19.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=V^acosB.

(1)求角8的大??；

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

20.為了了解高二年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,

將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小長方形面

積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.

（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？

（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該學(xué)校全體高二學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多

少？

21.已知正方體力BCD-4B1GD1的棱長為1,除面4BCO外，該正方體其余各面的中

心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M（如圖），則四棱錐M-EFGH的體積為.

22.某校參加夏令營的同學(xué)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,匕Z,其所屬年

級情況如表:

高一年級高二年級高三三年級

男同學(xué)ABC

女同學(xué)XYZ

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)

(I)用表中字母寫這個試驗(yàn)的樣本空間；

(II)設(shè)M為事件”選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，寫

出事件M的樣本點(diǎn)，并求事件M發(fā)生的概率.

23.如圖，在四棱錐P—ABC。中，P4_L平面ABC。，底

面4BCC是菱形，24=48=2,ABAD=60°.

(1)求證：48〃平面PCD；

(2)求證：直線BD_L平面PAC；

(3)求直線PB與平面PAO所成角的正切值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：本題考查的對象是240名高一學(xué)生的身高情況，故總體是240名高一學(xué)生

的身高情況；個體是每個學(xué)生的身高情況；樣本是40名學(xué)生的身高情況，故樣本容量

是40.

故選D.

本題考查的是確定總體.解此類題需要注意“考查對象實(shí)際應(yīng)是表示事物某一特征的數(shù)

據(jù)，而非考查的事物”.我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量這四個概念時(shí)，首先

找出考查的對象是某校高一學(xué)生的身高，從而找出總體、個體，再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這

一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量.

解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象.總體、個體與樣

本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小.樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，

不能帶單位.

2.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=(2+i)(a-3i)=(2a+3)+(a-6)i是純虛數(shù)，

解得實(shí)數(shù)a=-|.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和純虛數(shù)的定義，列方程求出實(shí)數(shù)〃的值.

本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：取BC的中點(diǎn)E,

O

由市+2通+2前=6得次+4近=6，得而=4荏，

所以點(diǎn)A,E,。三點(diǎn)共線，且E為線段A。的靠近A的四等分點(diǎn)，

vA0=4,:.AE—1,0E—3,

在直角三角形OEC中可得CE=V7,

.-.CA-CB=\CA\\CB\cos^ACE=\CA\\'CB\^-=\CB\■\CE\=2\'CE\2=2X7=

14.

故選：A.

取8c的中點(diǎn)￡再根據(jù)已知推出點(diǎn)A,E,。三點(diǎn)共線，且E為線段A。的靠近A的四

等分點(diǎn)，AE=1,0E=3,最后利用向量數(shù)量積可得.

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：如圖:

A

取AB的中點(diǎn)。，貝IJ00184,.?.前.瓦？=(而+說).瓦？=加?瓦?，

="不+函?@-函=“16-a2)=6,a=2,

p.b2+c2-a2C2+12c,12、3lc12百

乂???COSA=----------=------=-d——>2/------=—,

2bc8c88c788c2

當(dāng)且僅當(dāng)*含h=26時(shí)取等號，二的心?，

又???Ae(0,n),???Ae(0,^].

故選：A.

取AB的中點(diǎn)D,則。。1BA^CO-JA=(CD+^0)-JA=CDBA=6.

求出。值，再利用余弦定理和基本不等式，求出cosA的范圍即可.

本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算、余弦定理、基本不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及直

觀想象能力，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：?.?在斜三棱柱4BC-4/G中，

AACB=90°,ABr1BC,

BCLAC,又ACn4當(dāng)=4,

???BC1平面ACBi，BCu平面ABC,

二平面ZCBiJ_平面ABC,

?.Bi在底面ABC上的射影H必在兩平面的交線

AC上.

故選：A.

由題意知要判斷當(dāng)在底面ABC上的射影H,需要看過這個點(diǎn)向底面做射影，觀察射影

的位置，根據(jù)BC與一個平面上的兩條直線垂直，得到BC與兩條直線組成的面垂直，

根據(jù)面面垂直的判斷和性質(zhì)，得到結(jié)果.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查直線與平面垂直的判定，考查平面與平面垂直的判定,

考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查球的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

根據(jù)長方體48CD-4囪GOi的體積為6c〃?3,AB=\cm,BC=2cm,可得BBi,再計(jì)算出

球O的半徑R,即可求解體積.

【解答】

解：由題意長方體ABC￡MiBiCQ的體積為6。加，AB=\cm,BC=2cm,

可得：BBi=3,

球的半徑回2+BC?+8津2哼,

3

則球O的體積V=JTT/?=27r.

33

故選:A.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)斜二測畫法可知,

y軸上的0C,在新系中在y'軸上,

且。。=：。。=近，

作C'Dlx軸于，則C'D=1,

又C'B'=CB,C'B'//CB,

Soc’B'A=2X（2+4）X1=3.

故選：c.

利用斜二測畫法找到新系中各點(diǎn)的位置，則新梯形的底和高容易求得，進(jìn)而求出面積.

本題考查了斜二測畫法，屬容易題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖，將&D平移到&C,連接MC,

則4MB1。是直線與直線BiM所成角

設(shè)棱長為2,則8停=2VLMC=V2,BrM=V6

cos4MBic=y,

乙MB[C=30°,

故選:A.

先將為D平移到B】C,連接MC,得到的銳角NMBiC

就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.

本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力，屬

于基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：設(shè)CC=x,

如圖,測得4fMe=30。，ADBC=45°,4B=14米，

則：DC=BC,

在△ACD中，

利用三角函數(shù)的關(guān)系式：

Y

tanZ.DAC=-----,

x+14

整理得出=-

3x+14

解得：xX19(米)，

故選：B.

直接利用解直角三角形知識的應(yīng)用和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的值，解直角三角形知識的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對于A,取BBi的中點(diǎn)連接GM,BD,由正

方體的性質(zhì)可知，BD//GM,

而GM與EG相交，故BC與EG不平行，故A錯誤；

對于B,連接QC,由面面平行的判定可得平面FGE〃平面QBC,

由平面與平面平行的性質(zhì)可得BDi〃平面EFG,故B正確；

1

對于C,由等體積法可得：VD1-EFG=^E-FGD1=,4E

=1X(iX2X1)X1=i,故C正確;

對于。，由分析時(shí)可知平面FGE〃平面ABC,即點(diǎn)P的軌跡為線段BC,長度為2,故

。正確.

故選：BCD.

取BBi的中點(diǎn)連接GM,BD,可得BD//GM,由GM與EG相交判定A錯誤；連接

D.C,由面面平行的判定及性質(zhì)判斷B；利用等體積法求體積判定C；求出P點(diǎn)的軌跡

判斷D.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與

思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的體積，是中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于A,若4B,C=l：2：3,

則4=30°,B=60°,C=90°,

故b：c=sm30°：sm60°：sin90o=1：V3：2.故錯誤；

對于8,在中，cosA<cosB<=>A>B<=>sinA>sinB,故正確；

34__o

對于C,由A=30。，a=3,b=4,可得丁=或而，可得sinB=1>sin30。，故滿足條

件的角B有2個，一個為銳角，另一個為鈍角，三角形有兩個解，故正確；

對于。，當(dāng)A為鈍角時(shí)，tanA<0,tanC>0,tanAtanC<1,成立，

當(dāng)C為鈍角時(shí)，tanA>0,tanC<0,tanAtanC<1,成立，

當(dāng)8為鈍角時(shí)，cosB=—COS(J4+C)=sinAsinC—cosAcosC<0,可得sbiAsinC<

cosAcosC,可得tanA-tanC<1,成立，

綜上，命題正確.

故選：BCD.

對于A,運(yùn)用內(nèi)角和定理，求出A,B,C,再由正弦定理，即可得到三邊之比，即可判

斷；

對于8,在△ABC中，cosA<cosBsinA>sinB,得出答案；

對于C,利用正弦定理求得滿足條件的角C有2個，一個為銳角，另一個為鈍角，三角

形有兩個解；

對于D，分類討論，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可判斷得解.

本題考查正弦定理和余弦定理及運(yùn)用，考查三角形的形狀的判斷，考查運(yùn)算能力，屬于

中檔題和易錯題.

12.【答案】V13

【解析】

【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算先化簡，再求模長.

【解答】

解：由題意，可知：

5-i_(5-i)(l■-i)_4_6i_2_oy

1+i-(l+i)(l-i)-1-i2-'

二|三|=|2-3i|=G+(-3)2=V13.

故答案為g.

13.【答案】737r

【解析】解：由題意知，BC=BD=B]D=4,

又4clBC,AC=3,AB=5,CD=￡D=4近，

則AD=5MB2+BD2=V41，AQ=yjAC2+CC^=V73.

AC^=AD2+C1D2,得CW14。，

又4c1CCi，??.AC】的中點(diǎn)為三棱錐D-ACC1外接球的球

心，

則外接球的半徑R=Z/lCi=W.

212

外接球的表面積為S=47TR2=4兀x（爭2=73”.

故答案為：737T.

由直三棱柱的性質(zhì)求出C。、AQ、4C],結(jié)合勾股定理可得QD1AD,CCr1AC,

可得AC】的中點(diǎn)為三棱錐D-4CG外接球的球心，再求出外接球的半徑，代入球的表面

積公式得答案.

本題考查多面體的外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

14.【答案】127r

【解析】解：如圖所示，設(shè)△ABC的外接圓的余弦為01，

過。1作直線/"!?平面ABC,又ZMJ_平面ABC,

--.DA//1,連接AO】并延長，交球。于H,連接。H,與/的交

點(diǎn)為球心O,

則0〃=0D=R,OOi=^AD=y,

在△4BC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-

cos60°

=4+9—2x2x2x-=7,BC-y/7，

又由正弦定理可得名7=201”,可得。1"=叵.

sin60x3

R2=OH2=001+。也4+旨=3,

則該四面體的外接球的表面積為S=4TIR2127r.

故答案為：12兀.

由題意畫出圖形，求解三角形可得BC,由正弦定理求得底面三角形外接圓的半徑，再

由勾股定理求得多面體外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案.

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

15.【答案】-18

【解析】解：???若五〃3a=(1,2),c=(%,-2),即1x(-2)=2xx,

x=-1,

a-2b=(L4),

■:若(5-2石)即lxx+(-2)x4=0,

***x=8.

故答案為：一1,8.

根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)表示，以及兩向量垂直的坐標(biāo)表示，分別求解.

本題考查了兩向量平行的坐標(biāo)表示，以及兩向量垂直的坐標(biāo)表示，需要學(xué)生熟練掌握公

式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】|

【解析】解：擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為士

O

事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，

基本事件總數(shù)n=6,

事件/U5后表示事件B的對立事件)包含的基本事件有：

2,4,5,6,共4個，

則一次試驗(yàn)中，事件力u5日表示事件B的對立事件)發(fā)生的概率為：

一

P(4UB)=士4=2

63

故答案為：I.

基本事件總數(shù)n=6,利用列舉法求出事件4u后山表示事件B的對立事件)包含的基本

事件的個數(shù)，由此能求出一次試驗(yàn)中，事件Au5(3表示事件B的對立事件)發(fā)生的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

17.【答案】7

1

6

【解析】解：如圖：在A4BC中，AN=^NC.

所以：AN=\AC,故4=；.

44

由于點(diǎn)B、P、N三點(diǎn)共線.

所以前=t麗，

則：AP-AB=t(AN-AP)，

整理得：(1+。荏=荏+：而，

所以捻=親解得"2.

故答案為：,,

476,

直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和向量共線的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及

思維能力，屬于中檔題型.

18.【答案】解：(l)S.K=|a||K|cos(a,K>=2xlx|=l.

(2)|五+2石產(chǎn)=(a+2b)

=a2+4b+4五?6=4+4+4=12,

\a+2b\=V12=2V3.

(3)若為+2方與23+高(46R)垂直，

則0+2石)■(2H+A6)=0.

即2片+24升+4小9+4君j=o-

18+24+4+4=0即12+34=0,

???A=-4

【解析】本題考查了向量數(shù)量積、模的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

(1)直接根據(jù)平面向量數(shù)量積計(jì)算公式求解；

(2)先求出|。+2萬『=0+2石/，再開方即可得|行+2行

(3)根據(jù)向量垂直的充要條件得0+23)?(2五+蔣)=0,展開即得到關(guān)于；I的方程，解

方程即可的答案.

19.【答案】解：(1)bsinA=YiacosB,

由正弦定理可得sinBsinZ=\p3sinAcosB

即得tanB=6，

由于：0cB＜兀，

B=-.

3

(2)???sinC=2sinAf

由正弦定理得c=2a,

由余弦定理域=a24-c2-2clecosB,

9=a2+4a2—2a?2acosg,

解得Q=收，

???c=2a=2V3.

【解析】(1)直接利用已知條件和正弦定理求出8的值.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和余弦定理求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題

20.【答案】解：(1)頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大

小的，

4

因此第二小組的頻率為=0.08.

2+4+17+15+9+3

第二小組的頻數(shù)

因?yàn)榈诙〗M的頻率=―樣本容量'

第二小組的頻數(shù)=二

所以樣本容量=12

第二小組的頻率~0.08-150.

(2)由直方圖可估計(jì)該校全體高二年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為蕓黑100%=88%.

Z+4+1/+15+9+5

【解析】本題考查頻率分布直方圖，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由頻率分布直方圖求出第二小組的頻率，根據(jù)樣本容量=%學(xué)2合即可求得;

(2)由直方圖可估計(jì)該校全體高二年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率.

21.【答案】2

【解析】解：正方體4BCD-&B1C1D1的棱長

為1,除面A8C。外，

該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,