第八章 非參數(shù)檢驗課件

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)

福醫(yī)衛(wèi)生統(tǒng)計系林征2013.11

第八章.秩轉(zhuǎn)換的非參數(shù)檢驗

ChapterVIII.NonparametricTest1第八章、非參數(shù)檢驗一些常見的“特殊”數(shù)據(jù)與資料無法確認樣本所來自的總體分布形式如何(任意分布)非正態(tài)或樣本例數(shù)較少分布類型明顯偏態(tài)的資料只能以嚴(yán)重程度、優(yōu)劣等級、次序先后等表示的資料（等級資料）有些分組資料一端或兩端是不確定數(shù)值，如5克以上第八章、非參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗統(tǒng)計推斷方法可分為兩大類：參數(shù)統(tǒng)計（parametricstatistics）和非參數(shù)統(tǒng)計（nonparametricstatistics）t檢驗和方差分析屬參數(shù)統(tǒng)計方法，其共同特點是假定隨機樣本來自可用有限個參數(shù)描述的總體(如正態(tài)分布)，并對總體分布的參數(shù)（如總體均數(shù)）進行估計或檢驗而對上述“特殊”類型資料可以采用非參數(shù)統(tǒng)計：即對總體分布不作嚴(yán)格規(guī)定，不考慮總體分布類型是否已知，不比較總體參數(shù)，只比較總體分布的位置是否相同的統(tǒng)計方法實際工作中，非參數(shù)統(tǒng)計方法可以發(fā)揮作用的情形有：總體分布不易確定；分布呈非正態(tài)而又無適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法；不能或未加精確測量，如等級資料等

第八章、非參數(shù)檢驗秩和檢驗基于以上不依賴總體分布參數(shù)的特點，非參數(shù)檢驗又稱任意分布檢驗（distribution-freetest）非參數(shù)統(tǒng)計方法很多，本講主要介紹基于秩和的非參數(shù)檢驗，也稱秩和檢驗（ranksumtest）對于適合參數(shù)檢驗的資料，如果使用秩和檢驗會造成信息的丟失，導(dǎo)致檢驗功效降低(當(dāng)H0不成立時，不拒絕它)發(fā)現(xiàn)不了這種差別而如果資料不滿足參數(shù)檢驗條件，秩和檢驗與參數(shù)檢驗方法如t檢驗相比，其檢驗效率更好(特別是小樣本、資料特征不態(tài)滿足t檢驗、方差分析的情況下)第八章、非參數(shù)檢驗秩次與秩和秩次(rank)，又稱為秩統(tǒng)計量，是指全部觀察值按某種順序排列的位序秩和(ranksum)是指同組數(shù)據(jù)的秩次之和不同設(shè)計類型的資料其編秩原則不同第八章、非參數(shù)檢驗秩次與秩和設(shè)有以下兩組數(shù)據(jù)：A組4.76.42.63.25.2B組1.72.63.62.33.7兩組各有5個變量值；現(xiàn)在欲依從小到大的順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋?，并?biāo)明秩次計算秩和第八章、非參數(shù)檢驗排序結(jié)果：原始值中有兩個“2.6”，分屬A、B組，它們的秩次應(yīng)是3和4，然而它們的數(shù)值本來是同樣大小的，哪組取“3”，哪組取“4”呢？我們計算它們的平均數(shù)（3+4）/2=3.5，作為“2.6”的秩次，這種情況稱為稱為“秩次相持”(tie)，這樣兩組所得的秩次及秩和如下：A組秩和：3.5+5+8+9+10=35.5B組秩和：1+2+3.5+6+7=19.5A組2.63.24.25.76.4B組1.72.32.63.63.7秩次123、45678910秩次與秩和第八章、非參數(shù)檢驗二、配對設(shè)計和單樣本資料的秩和檢驗例8－1：對12份血清分別用新、舊兩種方法檢測谷丙轉(zhuǎn)氨酶活性(nmol.S-1/L)，請問結(jié)果是否有別？由醫(yī)學(xué)常識可知，酶活力通常不滿足正態(tài)分布，且其活力隨時間通常不呈線性改變，因而差值d通常也不滿足正態(tài)樣品號原法（A）新法（B）差值d=B-A16076162142152103195243484808225242240-2622022007190205158253813919824345103844611236190-4612951005第八章、非參數(shù)檢驗配對設(shè)計資料的編秩原則按照配對設(shè)計，先求出對子之間的差值，按其差值的絕對值，從小到大進行排序，其序號即秩次，并在秩次之前保持原差值的正負號不變編秩遇到差值為零時則舍去不編秩，對絕對值相等的差值取平均值，并在秩次之前保持原差值的正負號一般來說，秩次最小為1，最大為對子數(shù)n，當(dāng)有差值為零時，最大秩次等于對子數(shù)n減去差值為零的個數(shù)第八章、非參數(shù)檢驗T+=54.5，T-=11.5341.5-1.5配對設(shè)計資料的編秩原則樣品號原法（A）新法（B）差值d=B-A16076162142152103195243484808225242240-2622022007190205158253813919824345103844611236190-461295100556789-1011第八章、非參數(shù)檢驗Wilcoxonsignranktest原理在新舊兩種方法檢測結(jié)果無差別時(H0成立時)，正差值的秩和與負差值的秩和理論上應(yīng)相等，即使有些差別，也只能是一些隨機因素造成的，所以兩者差別不大換句話說，如果H0成立，一份隨機樣本中“不太可能”出現(xiàn)正差值的秩和與負差值的秩和相差懸殊的情形如何判斷其可能性大?。繐Q而言之，秩和是否有規(guī)律可循？第八章、非參數(shù)檢驗Wilcoxonsignranktest原理秩次之和是有規(guī)律性的假定只有4對數(shù)值，若其差值的絕對值∣d∣不存在0，也不存在相等的情況如果兩種方法的差值的中位數(shù)為0，意味著將二者差值排序后正秩次之和應(yīng)該與負秩次之和相等，現(xiàn)將所有可能性列出如下：第八章、非參數(shù)檢驗d為正值時的秩次d為負值時的秩次正秩和T+負秩和T-概率1，2，3，4—10—0.06252，3，41910.06251，3，42820.06251，2，43730.06253，4，1，2730.06251，2，34640.06252，41，3640.06251，42，3550.06252，31，4550.06251，32，4460.062541，2，3460.06251，23，4370.062531，2，4370.062521，3，4280.062512，3，4190.0625—1，2，3，4—100.0625Wilcoxonsignranktest原理第八章、非參數(shù)檢驗Wilcoxonsignranktest原理所有可能的組合有2n=16種(n為對子數(shù)，下同)正秩與負秩絕對值之和等于n(n+1)/2=10正秩或負秩的秩和出現(xiàn)的概率關(guān)于n(n+1)/4=5對稱，自5向兩端出現(xiàn)的概率逐漸將少第八章、非參數(shù)檢驗Wilcoxonsignranktest原理如果已有專業(yè)知識背景，認為B方法的檢測值不會低于A法(意味著T+≥T-，即單側(cè)檢驗)，如果出現(xiàn)T+=8，T-=2，以及更極端情況，其概率P有多大？P=P(T+≥8)，或者P=P(T-≤2)；根據(jù)上表，得出P(T+≥8)=0.1875而如果沒有專業(yè)背景支持(雙側(cè)檢驗)，出現(xiàn)了T+=8，T-=2，問其概率P有多大？則P值的含義為P[∣(T+)–(T-)∣]≥6)=0.1875×2=0.375第八章、非參數(shù)檢驗Wilcoxonsignranktest原理統(tǒng)計學(xué)家將對子數(shù)介于5～50的情況列出，見附表9(表中的N為非0對子數(shù))N=11時，雙側(cè)0.05的秩和界值為10－56；其含義為當(dāng)(不等0)對子數(shù)為11時，正秩和或負秩和小于等于10以及大于等于56的可能性之和為0.05（相當(dāng)于假設(shè)檢驗中的拒絕域）本例出現(xiàn)了T+=54.5的情況(T-也一樣)，不在拒絕域內(nèi)，則尚不拒絕H0第八章、非參數(shù)檢驗Wilcoxonsignranktest計算步驟如下：求各對數(shù)據(jù)的差值dH0：差值的總體中位數(shù)等于零，即：Md=0H1：差值的總體中位數(shù)不等于零，即Md≠0a=0.05(雙側(cè))按前述編秩原則對差值d編秩查表，確認當(dāng)前的秩和是否在拒絕域內(nèi)（任意取正或負秩和查表均可）第八章、非參數(shù)檢驗Wilcoxonsignranktest本例中出現(xiàn)一例差值為0的情況，故n=11理論上其正、負秩和之和為(12×11)/2=66；本例T++T-=66故認為編秩計算秩和過程無誤任意取T+或T-，查附表9；均落在雙側(cè)0.05的秩和界值內(nèi)(10,56)，故在0.05的水準(zhǔn)上不拒絕H0，尚不認為兩種方法的檢測結(jié)果不同。第八章、非參數(shù)檢驗秩和分布的正態(tài)近似性當(dāng)不等0的對子數(shù)n>50時，正或負秩和的概率分布就逼近正態(tài)(在n<50的情況下，其概率分布也是對稱的)記為：T~N(mT,sT2)第八章、非參數(shù)檢驗秩和分布的正態(tài)近似性滿足正態(tài)分布就可以作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)性轉(zhuǎn)換：根據(jù)樣本資料計算的u值大小判斷是否有理由拒絕H0第八章、非參數(shù)檢驗秩和分布的正態(tài)近似性若秩次相同的現(xiàn)象出現(xiàn)較多（如超過不等0的總對子數(shù)n的25%），用上式求得的u值偏小，應(yīng)計算校正的統(tǒng)計量值uc

式中tj為第j(j=1,2…)次相持時，所含相同秩次的個數(shù)

；在本例中，共有2例秩次相持，故S(tj3-tj)=(23-2)=6第八章、非參數(shù)檢驗單樣本資料的符號秩和檢驗若單組隨機樣本來自正態(tài)總體，比較其總體均數(shù)與某常數(shù)是否不同，可用t檢驗若樣本來自非正態(tài)總體或總體分布無法確定，也可用Wilcoxon符號秩和檢驗，檢驗總體中位數(shù)是否等于某已知數(shù)值所不同的只是差值為各觀察值與已知總體中位數(shù)之差，其他符號的意義同配對設(shè)計資料第八章、非參數(shù)檢驗單樣本資料的符號秩和檢驗已知某地正常人的尿氟含量的中位數(shù)為45.30μmol/L；在該地的某廠隨機抽取12名工人，測得尿氟含量見下表，問該廠工人的尿氟含量是否高于正常人？尿氟含量差值d秩次尿氟含量差值d秩次44.21-1.09

53.267.9645.300—54.379.0746.391.0957.1611.8649.474.1767.3722.0751.055.7571.0525.7553.167.8687.3742.07-1.51.534567891011第八章、非參數(shù)檢驗單樣本資料的符號秩和檢驗計算步驟如下：求各數(shù)據(jù)與已知總體中位數(shù)的差值dH0：差值的總體中位數(shù)等于零，即：Md=0H1：差值的總體中位數(shù)不等于零，即Md≠0a=0.05(單側(cè))按差值的絕對值由小到大編秩，并按差值的正負給秩次加上正負號；編秩時，若差值為0，舍去不計；若差值的絕對值相等，稱為相持（tie），這時取平均秩次合計T+=64.5，T-=1.5，正、負秩和之和為66，與理論值一致；查表時取n=11(原始數(shù)據(jù)有12例，但是有一例與已知中位數(shù)差值等于0)，查表界值為(13,53)，故在0.05的水準(zhǔn)上拒絕H0，認為該工廠工人的尿氟含量高于當(dāng)?shù)卣Ｈ说诎苏?、非參?shù)檢驗三、兩獨立樣本秩和檢驗完全隨機設(shè)計兩個獨立樣本比較的Wilcoxon秩和檢驗，目的是推斷兩樣本分別代表的總體分布位置是否不同Wilcoxon秩和檢驗的基本思想是：假設(shè)兩總體分布相同，兩樣本可認為是從同一總體中抽取的隨機樣本將二者混合后由小到大編秩，然后分別計算兩樣本組的秩和，如果兩總體分布的中心位置相同，則兩樣本的秩和在n1=n2時應(yīng)該大致相等，如果n1≠n2

時則應(yīng)與各樣本含量成比例(即：兩樣本的平均秩次應(yīng)該接近)，其差別是由于隨機抽樣引起；如果按上述方法計算的兩樣本平均秩次差別很大，我們就有理由認為原假設(shè)不成立第八章、非參數(shù)檢驗兩定量資料的秩和檢驗例8-3：對10例肺癌與12例矽肺患者用x線片測量其肺門橫徑右側(cè)距RD(cm)，能否認為肺癌患者RD高于矽肺病例？肺癌矽肺RD值秩次RD值秩次RD值秩次2.783.234.953.233.505.104.204.044.874.155.124.286.214.347.184.478.054.648.564.759.604.82n1=10n2=121T1=141.5T2=111.52.52.571417181922212045689101112131516第八章、非參數(shù)檢驗計算步驟如下：H0：兩總體分布位置相同(即：兩總體的平均秩次相同)H1：兩總體分布位置不同(即：兩總體的平均秩次不同)a=0.05(單側(cè))將兩組數(shù)據(jù)由小到大統(tǒng)一編秩（為便于編秩可先將兩組數(shù)據(jù)分別由小到大排序）；編秩時如遇有相同數(shù)據(jù)，取平均秩次

兩組秩次分別相加，合計T1=141.5，T2=111.5，兩秩和之和為253，與理論值N(N+1)/2一致，表示編秩、計算無誤若兩組例數(shù)相等，則任取一組的秩和為統(tǒng)計量；若兩組例數(shù)不等，為了查表方便以樣本例數(shù)較小者對應(yīng)的秩和為統(tǒng)計量(本例中取甲斷面，T1=141.5)兩定量資料的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗

查附表10（成組設(shè)計用）：先從左側(cè)找到n1（n1和n2中的較小者），本例為10；再從表上方找兩組例數(shù)的差（n2-n1），本例，n2-n1=2；在兩者交叉處即為T的臨界值(89,141)將檢驗統(tǒng)計量T=141.5與T臨界值相比，若T值在界值范圍內(nèi)，其P值大于相應(yīng)的概率；若T值等于界值或在界值范圍外，其P值等于或小于相應(yīng)的概率本例中由于141.5落在界值范圍外，故在0.05的水準(zhǔn)上拒絕H0，認為肺癌RD值高于矽肺患者兩定量資料的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗如果n1或n2-n1超出了成組設(shè)計T界值的范圍，可用正態(tài)近似檢驗在H0成立的情況下，任意一組資料秩和的概率分布近似正態(tài)，記為：Ti~N(mTi,sTi2)兩定量資料的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗滿足正態(tài)分布就可以作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)性轉(zhuǎn)換：根據(jù)樣本資料計算的u值判斷是否拒絕H0兩定量資料的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗若秩次相同的現(xiàn)象出現(xiàn)較多（如超過不等0的總對子數(shù)n的25%）用上式求得的u值偏小，應(yīng)計算校正的統(tǒng)計量值uc

式中tj為第j(j=1,2…)次相持時，所含相同秩次的個數(shù)，N為總例數(shù)；在本例中，共有2例秩次相持；故S(tj3-tj)=23-2=6，c=1-6/(223-22)=0.99943534兩定量資料的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗兩有序變量資料的秩和檢驗?zāi)逞芯空哂u價某口服液治療高甘油三酯血癥的療效，將患者189例隨機分為兩組，分別使用口服液與降脂片，數(shù)據(jù)見下問兩種藥物的療效是否不同？療效人數(shù)秩次范圍平均秩次秩和口服液降脂片合計口服液降脂片無效177087有效251338顯效273764合計691201891~874444×1744×7088~125106.5106.5×25106.5×13126~189157.5157.5×27157.5×37766310292第八章、非參數(shù)檢驗計算步驟如下：H0：兩總體分布位置相同(即：兩總體的平均秩次相同)H1：兩總體分布位置不同(即：兩總體的平均秩次不同)a=0.05(雙側(cè))本例為等級資料，在編秩時，相同等級的個體屬于相持；先按組段計算各等級的合計人數(shù)，由此確定各組段秩次范圍，然后計算出各組段的平均秩次

兩組秩次分別相加，合計T1=7663，T2=10292，兩秩和之和為17955，與理論值N(N+1)/2一致，表示編秩、計算無誤本例中，n1與n2-n1已經(jīng)超出了附表10的范圍，故采用正態(tài)近似法估計兩有序變量資料的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗由于例數(shù)足夠多，考慮采用正態(tài)近似法；而且本例題中存在大量秩次相持的情況，故需要校正：故在0.05的水準(zhǔn)上拒絕H0，認為口服液療效分布與降脂片不同兩有序變量資料的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗四、完全隨機設(shè)計多樣本秩和檢驗完全隨機設(shè)計多個樣本比較，是將受試對象按隨機化的方法分配到各個處理組中，觀察實驗效應(yīng)，亦可從不同總體中或大樣本中隨機抽樣進行對比觀察，各組受試對象組成的是相互獨立的隨機樣本該非參數(shù)方法是由Kruskal和Wallis在Wilcoxon秩和檢驗的基礎(chǔ)上擴展而來，又稱為K-W檢驗或H檢驗完全隨機設(shè)計多個樣本比較的Kruskal-Wallis秩和檢驗，目的是推斷多個樣本分別代表的總體分布位置是否不同第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗?zāi)翅t(yī)院用三種療法治療15例胰腺癌患者，每種方法各5例；患者的生存時間見下表，請問三組患者的生存時間是否有別？甲法生存月數(shù)乙法生存月數(shù)丙法生存月數(shù)362493710581278138第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗通常情況下，生存時間不滿足正態(tài)（正偏態(tài)）而且三組例數(shù)均較少，所以不滿足方差分析條件（正態(tài)性無法滿足）可以考慮變量轉(zhuǎn)換或直接采用非參數(shù)檢驗分析第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗假設(shè)各樣本來自相同總體，于是可以將各樣本合并，依據(jù)從小到大的順序進行排序，如果有多個相等的變量值分布在不同組中，則按順序排序然后取其平均秩次分別計算多樣本組的秩和，如果所有樣本來自總體分布的中心位置相同，則這些樣本的平均秩應(yīng)該接近(TA:TB:TC=nA:nB:nC)，其差別是由于隨機抽樣引起如果按上述方法計算的樣本間平均秩差別很大，我們就有理由認為原假設(shè)不成立第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗甲法乙法丙法生存月數(shù)秩次生存月數(shù)秩次生存月數(shù)秩次362493710581278138Tini5551514131210101065412.52.57.57.5346026第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗計算步驟如下：H0：三總體分布位置相同

H1：三總體分布位置不全相同a=0.05按照之前編秩要求對三組資料進行編秩

三組秩次分別相加，合計T1=34，T2=60，T3=26；三秩和之和為120，與理論值N(N+1)/2一致，表示編秩、計算無誤第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗當(dāng)H0成立時，第i組樣本的秩和Ti的期望值與方差分別為：檢驗統(tǒng)計量H為：第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗對上式化簡得：第八章、非參數(shù)檢驗多組定量變量的秩和檢驗當(dāng)組數(shù)k=3，且各組例數(shù)均不超過5例時，查附表11如果超出以上范圍，則查v=k-1的卡方界值表本例查表得界值為17~38，計算H=6.32，故P<0.05，拒絕H0，認為三組生存時間不全相同第八章、非參數(shù)檢驗多組有序變量的秩和檢驗例8-7：四種疾病患者痰液內(nèi)嗜酸性粒細胞的檢查結(jié)果見下表，問四種患者痰液內(nèi)嗜酸性粒細胞的等級分布有無差別？白細胞等級例數(shù)合計秩次范圍平均秩次秩和支氣管擴張肺水腫肺癌呼吸道感染支氣管擴張肺水腫肺癌呼吸道感染—035311+257519++953320+++622010合計1715176060——1~1131~5040.5364.5202.5121.5121.551~6055.533311111106739.5436.5409.5244.56×06×36×36×512~302121×221×521×721×5第八章、非參數(shù)檢驗多組有序變量的秩和檢驗計算步驟如下：H0：四總體分布位置相同H1：四總體分布位置不同或不全相同a=0.05按照之前編秩要求對四組資料進行編秩

四組秩次分別相加，合計T1=739.5，T2=436.5，T3=409.5，T4=244.5；四秩和之和為1830，與理論值N(N+1)/2一致，表示編秩、計算無誤第八章、非參數(shù)檢驗多組有序變量的秩和檢驗第八章、非參數(shù)檢驗五、隨機區(qū)組設(shè)計的秩和檢驗隨機化區(qū)組設(shè)計連續(xù)型變量資料，若各實驗組來自非正態(tài)總體，不宜做隨機化區(qū)組設(shè)計方差分析，可采用Friedman秩和檢驗該檢驗方法是由M.Friedman在符號檢驗的基礎(chǔ)上提出來的，常稱為Friedman檢驗，又稱M檢驗，目的是推斷各處理組樣本分別代表的總體分布位置是否不同第八章、非參數(shù)檢驗隨機區(qū)組設(shè)計資料的秩和檢驗區(qū)組編號教學(xué)方式A教學(xué)方式B教學(xué)方式C教學(xué)方式D綜合評分秩次綜合評分秩次綜合評分秩次綜合評分秩次18.49.69.811.7211.612.711.812.039.49.110.49.849.88.79.912.058.38.08.68.668.69.89.610.678.99.010.611.488.38.28.510.8秩和1234142321432134213.53.5132412342134121523.529.5第八章、非參數(shù)檢驗隨機區(qū)組設(shè)計的秩和檢驗Friedman秩和檢驗的基本思想是：各區(qū)組內(nèi)的觀察值按從小到大的順序進行編秩如果各處理的效應(yīng)相同，各區(qū)組內(nèi)秩1，2，…，k應(yīng)以相等的概率出現(xiàn)在各處理（列）中，各處理組的秩和應(yīng)該大致相等，不太可能出現(xiàn)較大差別如果按上述方法所得各處理樣本秩和T1，T2，T3…Tk，相差很大，便有理由懷疑各處理組的總體分布是否相同第八章、非參數(shù)檢驗隨機區(qū)組設(shè)計資料的秩和檢驗檢驗步驟如下：H0：四總體分布位置相同

H1：四總體分布位置不同或不全相同a=0.05先將各區(qū)組內(nèi)數(shù)據(jù)由小到大編秩，遇相同數(shù)值取平均秩次。再將各處理組的秩次相加，得到各處理組秩和Ti計算統(tǒng)計量M值：

第八章、非參數(shù)檢驗隨機區(qū)組設(shè)計資料的秩和檢驗當(dāng)區(qū)組數(shù)b≤15，處理組數(shù)k≤15時，可直接查本書附表12本例b=8，k=4，M界值為105，故在0.05的水準(zhǔn)上，拒絕H0，認為四組的總體分布不同或不全相同第八章、非參數(shù)檢驗隨機區(qū)組設(shè)計資料的秩和檢驗*當(dāng)區(qū)組數(shù)與處理組數(shù)較多時（超出了附表的范圍），可以考慮采用卡方檢驗近似其基本原理如下：第八章、非參數(shù)檢驗隨機區(qū)組設(shè)計的秩和檢驗*上表中rij表示第i處理組(共k個處理組)第j個區(qū)組(共b個區(qū)組)的觀察值對應(yīng)的相應(yīng)秩次任意區(qū)組的秩和為：區(qū)組號處理組1處理組2……處理組k區(qū)組1r11r