《工程力學(xué) 》課件第2章

第2章平面匯交力系2.1平面匯交力系的簡化

2.2平面匯交力系的平衡

思考題

習(xí)題

2.1平面匯交力系的簡化

2.1.1平面匯交力系合成的幾何法

1．二匯交力合成的三角形法則設(shè)有F1與F2二力作用于某剛體上的A點，根據(jù)平行四邊形公理，這兩個力可以合成為一個合力FR，它的作用線通過匯交點A，大小和方向由平行四邊形的對角線決定，如圖2-1a所示。用矢量表達為

FR=F1+F2

（2-1）

按選定比例作圖，可以從圖上直接量得合力的大小和方向（）。

為簡便計，作圖時可省略AC與CD，直接將F2聯(lián)在F1的末端，通過即可求得合力FR，如圖2-1b所示。此法就稱為求二匯交力合力的三角形法則。三角形法則同樣地表達出矢量式FR=F1+F2

。

圖2-1

2．多個匯交力合成的力多邊形法則設(shè)在剛體某平面上有一匯交力系F1、F2、F3、F4作用并匯交于O點其合力FR可連續(xù)使用上述三角形法則來求得，即先作F1與F2的合力FR1，再將FR1與F3合成為FR2，最后求出FR2與F4的合力FR，力FR即為該匯交力系的合力，可用矢量式表示為

FR=F1+F2+F3+F4

由圖2-2可見，F(xiàn)R1、FR2……亦可省略，故求合力FR，只需將各力首尾相接，形成一條折線，最后連其封閉邊，從共同的始端O指向F4的末端所形成的矢量即為合力FR的大小與方向。此法稱為力的多邊形法則。

圖2-2由多邊形法則求得的合力FR，其作用點仍為各力的匯交點，而且合力FR的大小、方向與各力相加次序無關(guān)。若平面匯交力系包含n個力，以FR表示它們的合力，上述關(guān)系可用矢量表達式表述如下：

（2-2）

例2-1

在O點作用有四個平面匯交力，如圖2-3所示。已知F1=100N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=150N，F(xiàn)4=200N，用幾何作圖法求力系的合力FR。

解

選用比例尺如圖所示，將F1、F2、F3、F4首尾相接依次畫出，如圖2-3所示。得到力多邊形abcde，其封閉邊就表示合力FR。量得

FR=170N合力的作用點仍在O點。

圖2-32.1.2平面匯交力系合成的解析法

1．力在坐標(biāo)軸上的投影已知力F作用于剛體平面內(nèi)A點，且與水平線成的夾角。建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，如圖2-4所示。過力F的兩端點A、B分別向x、y軸引垂線，垂足在x、y軸上截下的線段ab、a1b1分別稱為力F在x、y軸上的投影，記作Fx、Fy。力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，其正負(fù)規(guī)定為：由起點a到終點b（或由a1到b1）的指向與坐標(biāo)軸的正向一致時為正，反之為負(fù)。一般地，有(2-3)

式中——力F與x軸所夾的銳角。

圖2-4圖2-4中，力F在x、y軸上的投影為

反過來，若力F在x及y軸上的投影F及F已知，則可確定F的大小和方向：

（2-4）

式中表示力F與x軸所夾的銳角，F(xiàn)的指向由投影F、F的正負(fù)號確定。

如果將力F沿x、y坐標(biāo)軸分解，所得分力Fx、Fy的大小與F力在同軸上的投影Fx、Fy的絕對值相等。（只有當(dāng)采用直角坐標(biāo)時，才有這種關(guān)系。如果x與y不相垂直，讀者試作圖證明兩分力的大小不等于兩投影的絕對值）。但須注意，力的投影是代數(shù)量，而力的分力則是矢量。

2．合力投影定理設(shè)剛體上O點作用有平面匯交力系(F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3)（圖2-5a），其合力FR即可連續(xù)使用力三角形法則來求解，如圖2-5b所示。取坐標(biāo)系Oxy，將合力FR及力系中各力F1、F2、F3向x軸投影，得

FRx=adF1x=abF2x=bc

F3x=-dc

圖2-5由圖可知

ad=ab+bc+(-dc)

故

同理可得

顯然，上述關(guān)系可以推廣到由n個力F1、F2、…、Fn組成的平面匯交力系，從而得出（2-5）

3．平面匯交力系合成的解析法若進一步按式（2-4）運算，即可求得合力FR的大小及方向

（2-6）

式中為合力FR與x軸之間所夾的銳角。合力FR的指向由、的正負(fù)號確定。

例2-2

用解析法求圖2-6（a）所示平面匯交力系的合力的大小和方向。已知F1=100N，F(xiàn)2=100N,F3=150N,F4=200N。解

由式（2-5）計算合力FR在x、y軸上的投影

故合力FR的大小和方向為：

由于為負(fù)值，為正值，所以合力指向第二象限，如圖2-6（b）所示，合力的作用線通過力系的匯交點Ｏ。

圖2-62.2平面匯交力系的平衡

2.2.1平面匯交力系平衡的幾何條件設(shè)物體在A點受到五個力F1、F2、F3、F4、F5組成的平面匯交力系作用而處于平衡狀態(tài)，如圖2-7（a）所示。我們可以用力多邊形法則求得其中任意四個力（如F1、F2、F3、F4）的合力FR1，則原力系（F1、F2、F3、F4、F5）與力系（FR1，F(xiàn)5）等效，如圖2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系（FR1，F(xiàn)5）也是平衡力系。根據(jù)二力平衡公理，F(xiàn)R1與F5應(yīng)等值、反向、共線?？梢奆R1與F5的合力等于零，也就是原力系的合力等于零。由此可得：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是力系的合力FR等于零。以矢量式表示為

FR=0或

（2-7）

圖2-7例2-3

圖2-8所示起重機吊起一重G=10kN的鋼管。試求AB、AC、AE繩的拉力。解

（1）選取研究對象并畫出其受力圖。本題若單取吊鉤為研究對象，其分離體受力圖如圖2-8（d），吊鉤受三個未知力的作用。若取吊鉤及重物一起研究，其分離體受力圖如圖2-8（b）所示，包含已知力重力G。因此利于解題。

圖2-8（2）從圖2-8（b）可知，F(xiàn)TE與G構(gòu)成二力平衡，F(xiàn)TE、G必共線、反向、等值。FTE=G。已知FTE后，可取吊鉤為研究對象，先畫出已知力FTE（ed段），在已知力FTE的首尾兩端，分別作出FTB、FTC的平行線并交于f點，則即為所求的封閉的力三角形，圖中ef及fd段分別代表FTB、FTC（如圖2-8c）所示。由于de、ef、fd段采用相同的比例作圖，可量出ef、fd的長度，算出FTB=FTC=19kN。2.2.2平面匯交力系平衡的解析條件由上述可知，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是，該力系的合力FR等于零。由式2-7，應(yīng)有

欲使上式成立，必須同時滿足

（2-8）

用解析法求解平面匯交力系平衡問題的步驟如下：（1）確定研究對象，畫分離體受力圖；（2）選定坐標(biāo)軸x、y，將諸力分別向x、y軸上投影；（3）列平衡方程并求解；（4）校核。例2-4

重為G=1kN的球O用與斜面平行的繩索AB系住，并放置在與水平面成角的光滑斜面上，如圖2-9a所圖。求繩索AB所受的拉力及球?qū)π泵娴膲毫Α?/p>

解（1）取球O為研究對象，畫分離體受力圖，如圖2-9b。這是一平面匯交力系。（2）建立坐標(biāo)系Oxy軸如圖2-9b。（3）列平衡方程，并求解：

根據(jù)作用與反作用公理知，繩AB所受的拉力；球?qū)π泵娴膲毫?，其指向與圖中的指向相反。

圖2-9（4）校核

重新建立坐標(biāo)系Oxy軸如圖2-9c所示，與FT、FN都不垂直。列平衡方程：

（1）

（2）

聯(lián)立解（1）與（2）方程得

例2-5

如圖2-10所示,物重G=20kN,用鋼絲繩經(jīng)過滑輪B再纏繞在絞車D上。桿AB與BC鉸接,并以鉸鏈A、C與墻連接。設(shè)兩桿和滑輪的自重不計,并略去摩擦和滑輪的尺寸,求平衡時桿AB和BC所受的力。解（1）由于滑輪B上作用著已知力和未知力，故取滑輪B為研究對象，畫其受力圖。滑輪受鋼絲繩拉力FT1與FT2作用，且FT1=FT2=G?；喭瑫r還受到二力桿AB與BC的約束反力FBA和FBC作用，滑輪在四個力作用下處于平衡，由于滑輪尺寸不計，這些力可看作平衡的平面匯交力系，滑輪B的受力圖如圖2-10d所示。

圖2-10（2）由于兩未知力FBA和FBC相互垂直，故選取坐標(biāo)軸x,y如圖2-10d所示。（3）列平衡方程并求解。

例2-6

在圖2-11a所示的機構(gòu)中，桿AB和BC長度相等，A、B、C處均為鉸鏈連接。在B鉸鏈處作用一豎直力FP=1kN，向下推動B點而使壓塊C向右壓緊工件，已知壓緊工件時，，不計零件自重及各處摩擦，求工件所受壓緊力。

解

（1）取鉸鏈B和壓塊C為研究對象，分別畫受力圖，如圖2-11b、c所示。（2）分別選取坐標(biāo)軸如圖。列平衡方程并求解：對鉸鏈B有（因鉸鏈B處有已知力FP作用）

對于壓塊C有

壓塊對工件的壓力，就是的反作用力，也等于3.56kN。

圖2-11思考題

2-1

試判斷以下說法是否正確：（1）作用在物體上的各力作用線都匯交于一點的力系，稱為平面匯交力系。（）（2）用力多邊形法則求合力時，各分力的順序可以任意改變。（）（3）作用在同一剛體上的幾個力構(gòu)成的力多邊形自行封閉，則此剛體一定處于平衡狀態(tài)。（）（4）兩個力的合力總是大于每一個分力。（）（5）兩個力在同一軸上的投影相等則這兩個力相等。（）（6）兩個力在兩相互垂直坐標(biāo)軸上的投影分別相等，則此二力大小相等。（）（7）力F沿兩個相互垂直的x、y軸方向的分力與力F在此兩軸上的投影是相同的。（）（8）作用于剛體上的所有的力在某一軸上的投影的代數(shù)和為零，則剛體處于平衡狀態(tài)。

（

）

2-2

用解析法求解平面匯交力系的平衡問題時，任選兩個不垂直的坐標(biāo)軸x、y，建立的方程、，能否滿足條件？

2-3

某剛體受平面匯交力系作用，其力多邊形如圖思2-3所示，問這些圖中哪一個圖是平衡力系？哪一個圖是有合力的？其合力又是哪一個力？

思2-3習(xí)題

2-1

已知四個力作用于O點。F1=500N，F(xiàn)2=300N，F(xiàn)3=600N，F(xiàn)4=1000N，方向如圖所示。試用幾何法求合力的大小與方向。

2-2

已知：F1=200N，F(xiàn)2=150N，F(xiàn)3=200N，F(xiàn)4=100N，各力的方向如圖所示。試求各力在x、y軸上的投影。

題2-1

題2-2

2-3

鉚接薄鋼板在孔心A、B、C和D處受四個力作用，孔間尺寸如圖所示。已知：F1=50N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=150N，F(xiàn)4=200N。求此匯交力系的合力。

2-4簡易起重機由臂BC和鋼索AB構(gòu)成。臂的一端用鉸鏈固定在柱的C點，另一端B用繩懸掛重物G=5kN。不計臂重，求鋼索AB的拉力和臂所受的壓力。（用平衡的幾何條件求解）。

題2-3題2-4

2-5

用兩繩吊掛重物如