高三年級上冊期中數(shù)學(xué)真題分類匯編（新高考）專題16計(jì)數(shù)原理（十二大題型）

專題16計(jì)數(shù)原理

題型01捆綁法以及插空法

1.（2022秋?河南洛陽?高三洛陽市第一高級中學(xué)上學(xué)期期中）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一

排參加文藝匯演，若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】采用捆綁法和特殊位置優(yōu)先法，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.

【詳解】將甲和乙看作一個(gè)整體，有A：=2種方法，

將丁、戊和甲乙的整體首先安排到兩端，則有*=6種方法，

再安排丙和剩余的人，有有A；=2種方法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的排列方式有：2x6x2=24^-

故選：B.

2.（2022秋?福建泉州?高三泉州五中校考期中）2023年春節(jié)在北京工作的五個(gè)家庭，開車搭伴一起

回老家過年，若五輛車分別為48,C,O,E,五輛車隨機(jī)排成一排，則A車與8車相鄰，A車與C車

不相鄰的排法有（）

A.36種B.42種C.48種D.60種

【答窠】A

【分析】利用捆綁法和插空法可求出結(jié)果.

【詳解】將A車與8車?yán)υ谝黄甬?dāng)一個(gè)元素使用，有A；=2種捆法，

將除C車外的3個(gè)元素全排，有A；=6種排法，

將C車插入，不與A車相鄰，又3種插法，

故共有2x6x3=36種排法.

故選：A

3.（浙江省杭州市第二中學(xué)濱江校區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）為慶祝廣益中學(xué)建校130周年,

高二年級派出甲、乙、丙、丁、戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成

一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（）種.

A.40B.24C.20D.12

【答案】R

【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.

【詳解】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，

先令丙、丁兩人相鄰用捆綁法A〉再把丙、丁與戊排列在一起A；,最后插空令甲、乙兩人不相鄰A；,

則不同的排法共有人；乂人；〉人；=2'2、6=24種.

故選：B.

4.（遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）2位另生和3位女生共5位

同學(xué)站成一排.若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（）

A.36B.42C.48D.60

【答案】C

【分析】捆綁法并將女生先排好，討論男生是否相鄰，進(jìn)而將男生按要求安排位置即可得結(jié)果.

【詳解】女生任選兩人捆綁看作A,并與余下女生8排成一排有A；A；種方法，所成排中有3個(gè)空，

若兩男生不相鄰，則男生甲排在48之間的位置上，另一男生在48兩端任選一個(gè)位置有C；種；

若兩男生相鄰，則有A；種排法，再插入之間的位置上只有一種方法；

綜上,不同排法共有A；A；（C；+A；）=48種.

故選：C

5.（山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）2022年10月22日，中國共產(chǎn)

黨第二十次全國代表人會勝利閉幕.某班舉行了以“禮贊二十人、奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晚會，原

定的5個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果搭這兩個(gè)教師節(jié)目插入

到原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為（）

A.42B.30C.20D.12

【答案】A

【分析】分兩個(gè)教師節(jié)目相鄰和不相鄰兩種情況討論，分別計(jì)算可得.

【詳解】若兩個(gè)教師節(jié)目相鄰，則有A；A；=12種插法：

若兩個(gè)教師節(jié)目不相鄰，則有A：=30種插法；

綜上可得一共有12+30=42種插法.

故選：A

6.（廣東省廣州市增城中學(xué)、廣東華僑，協(xié)和中學(xué)二校2023屆高二上學(xué)期期中）將3本不同的數(shù)學(xué)

和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則3本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.

【答案】y

【分析】先求出3本數(shù)學(xué)相鄰的情況，再求出隨機(jī)排列的情況，最后根據(jù)古典概型即可求解.

【詳解】???3本數(shù)學(xué)書相鄰的排法為A；A；=12種可能，4本書隨機(jī)排列有A：=24種可能，

121

，3本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為9=：.

242

故答案為：y.

倍縮法和隔板法

7.（2022秋?云南?高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┈F(xiàn)有6個(gè)評優(yōu)名額要分配給3個(gè)班級，要

求每班至少一個(gè)名額，則分配方案有（）

A.8種B.10種C.18種D.27種

【答案】B

【分析】相同元素分組問題，利用隔板法求解即可

【詳解】現(xiàn)有6個(gè)評優(yōu)名額要分配給3個(gè)班級，要求每班至少一個(gè)名額，

利用隔板法，把6個(gè)元素排成一列形成5個(gè)空，再在5個(gè)位置放置2個(gè)隔板，

則共有C；=10種方案，

故選：B

8.（2022秋?浙江?高三浙江省三門中學(xué)校聯(lián)考期中）某學(xué)習(xí)小組A、B、C、D、E、F、G七名

同學(xué)站成一排照相，要求A與8相鄰，并且C在。的左邊，E在。的右邊，則不同的站隊(duì)方法種數(shù)

為（）

A.120B.160C.240D.360

【答案】C

【分析】將A與8捆綁，然后要求。在。的左邊，E在。的右邊，結(jié)合倍縮法可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，A與8相鄰，則將A與8捆綁，

然后要求。在。的左邊，E在。的右邊，

由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為與尊=圓鏟=240種.

A36

故選：C.

9.（2022秋?江蘇南京?高三南京市雨花臺中學(xué)校考期中）某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2

位同學(xué)要加入，如果保持原來4位同學(xué)的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）

A.10B.20C.24D.30

【答案】D

【分析】利用排列中的定序問題的處理方法進(jìn)行處理.

【詳解】6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，共有A：種排法，

A6

如果俁持原來4位同學(xué)的相對順序不變，則有/-30種排法，故A,B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

10.（2022秋?河北唐山?高三開灤第二中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）距離高考不到14）1天時(shí)，國家教育部

發(fā)布了《中國高考報(bào)告2023》，2023年的高考對各科都有重大的調(diào)整，為讓高二的學(xué)生各科的調(diào)整

有所了解，某學(xué)校擬在一周內(nèi)組織數(shù)學(xué)、英語、語文、物理、化學(xué)的5位該學(xué)科的骨干教師進(jìn)行“中

國高考報(bào)告2023”的相應(yīng)學(xué)科講座，每天一科，連續(xù)5天.則下列結(jié)論正確的是（）

A.從五位教師中選兩位的不同選法共有20種

B.數(shù)學(xué)不排在第一天的不同排法共有96種

C.數(shù)學(xué)、英語、語文排在都不相鄰的三天的不同排法共有12種

D.物理要排在化學(xué)的前面（可以不相鄰）的排法共有120種

【答案】BC

【分析】直接利用組合計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)；先排數(shù)學(xué)，再排其他四門學(xué)科，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)

原理可判斷B選項(xiàng)；先排數(shù)學(xué)、英語、語文三門學(xué)科，再排其他兩門學(xué)科，結(jié)合結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)

原理可判斷C選項(xiàng)；利用倍縮法可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，從五位教師中選兩位的不同選法共有=10種，A錯(cuò)；

對于B選項(xiàng)，數(shù)學(xué)不排在第一天，則數(shù)學(xué)有4種排法，其他4門學(xué)科全排即可，

所以，不同的排法種數(shù)為4A：=96種，B對；

對于C選項(xiàng)，數(shù)學(xué)、英語、語文排在都不相鄰的三天，則這三門學(xué)科分別排在第一、三、五天,

所以，不同的不法種數(shù)為A武=12種,C對;

對于D選項(xiàng)，物理要排在化學(xué)的前面（可以不相鄰）的排法種數(shù)為冬=岑=60種，D錯(cuò).

A22

故選：BC.

11.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）在中國革命史上有許多與“8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事，

如“八子參軍”、“八女投江”等，因此數(shù)字“8”是當(dāng)之無愧的新時(shí)代“英雄數(shù)字”.如果一個(gè)四位數(shù)，各

個(gè)位置上數(shù)字之和等于8,這樣的數(shù)稱為“英雄數(shù)”（比如1223,1+2+2+3=8,就是一個(gè)“英雄數(shù)”）,

則所有的“英雄數(shù)''有個(gè)（用數(shù)字回答）

【答案】120

【分析】根據(jù)題意，將原問題轉(zhuǎn)化為將8個(gè)小球分為4組且第一組不能為。的問題，根據(jù)0的個(gè)數(shù)

分情況，結(jié)合擋板法即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，8個(gè)相同的小球排成一排，8個(gè)小球兩兩之間不包括頭尾共有7個(gè)空位中，

若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中不含0,則需要在這7個(gè)空位中隨機(jī)安排3個(gè)擋板，可以將小球分為4組每

兩個(gè)擋板之間的小球的數(shù)目依次對應(yīng)四位數(shù)的千、百、十、個(gè)位數(shù)字，共有=35個(gè)，

若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中只有一個(gè)0,則需要在這7個(gè)空位中隨機(jī)安排2個(gè)擋板，可以將小球分成個(gè)

數(shù)不為0的3組，0可以作為百、十、個(gè)位其中一位上的數(shù)字，此時(shí)共有C；x3=63個(gè)，

若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中有兩個(gè)0,則需要在這7個(gè)空位中隨機(jī)安排1個(gè)擋板，可以將小球分成個(gè)數(shù)

不為。的2組，0可以作為百、十、個(gè)位其中兩位上的數(shù)字，此時(shí)共有C；xC；=21個(gè)，

若四位數(shù)的"英雄數(shù)''中有3個(gè)0,則只能是8000,只有一種情況，

綜上:共有35+63+21+1=120個(gè)“英雄數(shù)”.

故答案為：120.

12.（2022秋?吉林長春?高三長春市第十七中學(xué)上學(xué)期期中）將8個(gè)大小和形狀完全相同的小球放入

編號為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，使每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不大于其編號，則不同的放法有種.

【答案】10

【分析】設(shè)1,2,3,4號盒子分別放X，%，占后個(gè)球，則有（2-司）+（3-/）+（4-&）+（5-七）=6,

然后將問題轉(zhuǎn)化為將6個(gè)大小和形狀完全相同的小球分成4部分，且每一部分至少1個(gè)球，利用隔

板法求解即可.

【詳解】設(shè)1,2,3,4號盒子分別放個(gè)球，則

X[+々+七+/=8,且n42,再43,.qW4,

所以(2-xJ+(3-/)+(4-》3)+(5-xj=6,

其中2—*之1,3—X2之1,4—Xj>1,5—X4NI,

此時(shí)相當(dāng)將6個(gè)大小和形狀完全相同的小球分成4部分，且每一部分至少1個(gè)球,

所以將6個(gè)球形成的5個(gè)空插入3個(gè)板，

所以共有C：=10種，

故答案為：10

13.（湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體2023屆高三上學(xué)期期中）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會于6月26

日至7月7口在成都舉辦，現(xiàn)在從6男4女共10名青年志愿者中，選出3男2女共5名志愿者，安排

到編號為1、2、3、4、5的5個(gè)賽場，每個(gè)賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編

號為1、2的賽場，編號為2的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（）

A.1440種B.2352種C.2880種D.3960種

【答案】D

【分析】對女志愿者甲是否被選中進(jìn)行分類討論，分別確定各賽場的人員安排，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)

原理可得結(jié)果.

【詳解】分以下兩種情況討論：

①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的9人中選出3男1女，選法種數(shù)為C：C；=60,

則女志愿者甲可安排在3號或4號或5號賽場，另一位女志愿者安排在2號賽場，

余下3個(gè)男志愿者隨意安排，此時(shí)，不同的安排種數(shù)為60x3xA；=1080；

②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余9人中選出3男2女，選法種數(shù)為C：C：=60,

編號為2的賽場必須安排女志愿者，只需從2名女志愿者中抽1人安排在2號賽場，

余下4人可隨意安排，此時(shí)，不同的安排方法種數(shù)為60X2XA：=2880.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為1080+2880=3960種.

故選：D.

14.（海南省?？诩蝿赘呒壷袑W(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考）朔門古港遺址入選2022年度全國十大考

古新發(fā)現(xiàn)，遺址出土數(shù)十噸古代瓷片，以龍泉窯產(chǎn)品為主，實(shí)證了溫州古港是成就“天下龍泉”盛世

場景的海運(yùn)起點(diǎn)和樞紐港口.為了更好地打造“千年商港.幸福溫州”的城市新定位，溫州市博物館

陶瓷館巡禮中展示了溫州出土的甌窯青釉褐彩瓜形蓋罐（南朝）、青釉點(diǎn)彩盤口雞首壺（東晉）和甌

窯虎形燈座（東晉）三件文物，若將三件文物排成一排進(jìn)行巡展，則甌窯虎形燈座（東晉）排在中

間的概率是（）

1111

A.5-

【答案】B

【分析】根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合排列數(shù)即可求解.

【詳解】因?yàn)槿奈锱懦梢慌诺呐欧ㄓ蠥；=6種，甌窯虎形燈座（東晉）排在中間的排法有A；=2

種，

21

所以甌窯虎形燈座（東晉）排在中間的概率是p=:=7.

63

故選：B

15.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱七十三中?？计谥校ǘ噙x）某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4

名醫(yī)生到4B,C三家企業(yè)開展“面對面”義診活動，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，每家企業(yè)至少

派1名醫(yī)生，則下列結(jié)論正確的是（）

A.所有不同分派方案共個(gè)種

B.所有不同分派方案共36種

C.若甲必須到/企業(yè)，則所有不同分派方案共12種

D.若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共30種

【答案】BCD

【分析】先將四人分成三組，然后分配到三個(gè)企業(yè)即可判斷AB；分A企業(yè)有兩人和A企業(yè)只有一

人，兩種情況討論即可判斷C;先求出甲，乙安排到同一家企業(yè)的種數(shù)，再利用排除法求解即可.

Cc；c：

【詳解】由題意，所有不同分派方案共?A；=36種，故A錯(cuò)誤，B1E確;

"AT

對于C,若甲必須到力企業(yè),

若A企業(yè)有兩人，則將其余三人安排到三家企業(yè)，每家企業(yè)一人,

則不同分派方案有A；=6種,

若A企業(yè)只有一人，則不同分派方案有C；C：A；=6種,

所以所有不同分派方案共6+6=12種，故C正確；

對于D,若甲.乙安排到同一家企業(yè).

則將剌下的兩人安排到另外兩家企業(yè)，每家企業(yè)一人，

則有A；=6種不同的分派方法，

所以若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共36-6=30種，故D正確.

故選：BCD.

16.（廣東省廣州市南沙區(qū)東涌中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）（多選）將力，B,C,。這4

張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則（）.

A.甲得到A卡片與乙得到A卡片為對立事件

B.甲得到4卡片與乙得到4卡片為互斥但不對立事件

C.甲得到/卡片的概率為1

D.甲、乙2人中有人得到力卡片的概率為今

【答案】BCD

【分析】由互斥、對立事件的概念可判斷選項(xiàng)A、B：由排列組合和古典概型，可求甲得到X卡片

甲、乙2人中有人得到4卡片的概率.

【詳解】甲得到《卡片與乙得到/卡片不可能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生，

所以甲得到4卡片與乙得到力卡片為互斥但不對立事件，A不正確，B正確.

甲得到力卡片的概率為與=）,C正確.

A：4

乙2人中有人得到A卡片的概率為警1

正確.

2D

故選：BCD

17.（河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)在比賽后

合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求的排列方法共有種

【答案】54

【分析】利用排列組合先排特殊元素，再排其余元素即可

【詳解】先排乙，從中間的3個(gè)位置中選1個(gè)安排乙，則有C；=3種方法,

再排甲，從除左端外，剩下的3個(gè)位置中選1個(gè)安排甲，則有C；=3種方法,

最后排其余3個(gè)，有A；=6種方法，

所以由分步乘法原理可知共有3x3x6=54種方法，

故答案為：54

18.（2022秋?云南?高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，

如“我為人人，人人為我”等.數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”.“回文數(shù)”是指從左到右與從

右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121,241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回

文數(shù)”共有個(gè).（用數(shù)字作答）

【答案】225

【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由0出現(xiàn)的次數(shù)分類求解作答.

【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬位與個(gè)位數(shù)字相同，且不能為0;千位與十位

數(shù)字相同，

求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)有兩類辦法：

最多1個(gè)0,取奇數(shù)字有A；種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有A；種，它們排入數(shù)位有A；種，取偶數(shù)字占百

位有A；種,

不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是=200個(gè)，

最少2個(gè)0,取奇數(shù)字有A；種，占萬位和個(gè)位，兩個(gè)0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有A；種，

不同“可文數(shù)”的個(gè)數(shù)是A；A；=25個(gè)，

由分類加法計(jì)算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有

200+25=225個(gè).

故答案為：225

髭型04I

■——?

19.（2022秋?河北滄州?高三任丘市第一中學(xué)?？计谥校┠承^(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個(gè)廣場布置了一個(gè)

如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域.現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公

共邊）不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（）

A.720種B.1440種C.1560種D.2520種

【答案】C

【分析】先對圖中不同的區(qū)域命名，分A與。布置相同的花卉、A與C布置不同的花卉兩種情況,

再運(yùn)用分步計(jì)數(shù)和分類計(jì)數(shù)的方法從E開始計(jì)數(shù)即可.

【詳解】

如圖，不同的布置方案分兩類：

當(dāng)A與C布置相同的花卉時(shí)，

先安排E,有6種不同的選擇；再安排A與C,有5種不同的選擇；再安排8,有4種不同的選擇;

最后安排。，有4種不同的選擇，共有6x5x4x4=480種.

當(dāng)A與C布置不同的花卉時(shí)，

先安排￡，有6種不同的選擇；再安排A與C,有5x4種不同的選擇；再安排8,有3種不同的選擇；

最后安排O,有3種不同的選擇，共有6x5x4x3x3=1080種.

所以不同的布置方案有480+1080=1560種.

故選：C

20.（山東省泰安市新泰市第一中學(xué)北校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）中國是世界上最早發(fā)明雨

傘的國家，傘是中國勞動人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)

區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,8,現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，

相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不

同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.1050種B.1260種C.1302種D.1512種

【答案】C

【分析】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，先涂區(qū)域1,再涂區(qū)域2,再分區(qū)域3與區(qū)域1

涂的顏色不同、區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同，最后根據(jù)分步乘法原理即可求解.

【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色.

先涂區(qū)域1,有7種選擇；再涂區(qū)域2,有6種選擇.

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.

當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有6種選擇.

故不同的涂色方案有7x6x（5x5+6）=1302種.

故選：C

21.（2022秋?江蘇南通?高三期中）在如圖所示的五塊土地上種植四種莊稼，有五種莊稼秧苗可供選

擇，要求相鄰的十地不種同一種莊稼，共有（）種植方式.

A.240種B.300種C.360種D.420種

【答案】A

【分析】先選出4種莊稼，再根據(jù)可能的相同莊稼情況計(jì)算種數(shù)，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，五塊土地上種植四種莊稼，先選出4種莊稼，共有仁=5種選擇，

則1,5地種植相同莊稼或2,4地種植相同莊稼，共有2x（4x3x2xl）=48種選擇，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，有5x48=2"種.

故選：A

22.（2022秋?河北衡水?高三河北武強(qiáng)中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）如圖，用〃種不同的顏色把圖中

七四塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（）

A.n>3

B.當(dāng)〃=4時(shí)，若民。同色，共有48種涂法

C.當(dāng)〃=4時(shí)，若民。不同色，共有48種涂法

D.當(dāng)〃=5時(shí)，總的涂色方法有420種

【答案】ABD

【分析】根據(jù)風(fēng)。同色或者民。不同色，即可結(jié)合選項(xiàng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】對于A,由于區(qū)域A與&C均相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不

同色，故A正確，

對于B,當(dāng)〃=4時(shí)，此時(shí)按照彳8c的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一個(gè)顏色，此時(shí)有4x3x2=24種涂

法，

涂。時(shí)，由于鳳。同色（。只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的顏色或者與A同色的兩種顏

色中選擇一種涂E，

故共有24x2=48種涂法，B正確；

對于C,當(dāng)駕=4時(shí)，涂/BC有4x3x2=24種，

當(dāng)3,7）不同色（。只有一種顏色可選），此時(shí)48CQ四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂￡只能用與A同

色,此時(shí)共有24種涂法，C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)〃=5時(shí)，此時(shí)按照48C的順序涂，每一個(gè)區(qū)域需要一個(gè)顏色，此時(shí)有5x4x3=60種涂

法，

涂。時(shí)，當(dāng)瓦。同色（。只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的兩種顏色中或者與A同色的顏

色中選擇一種涂五.

故共有60x3=180種涂法,

當(dāng)3,0不同色，此時(shí)49C￡＞四塊區(qū)域所用顏色各不相同，共有5x4x3x2=120,

只需要從剩下的顏色或者與A同色的兩種顏色中選擇一種涂E此時(shí)共有5x4x3x2x2=240種涂法，

綜上可知，總的涂色方法有420種，故D正確，

故選：ABD

23.（2022秋?山東泰安?高三統(tǒng)考期中）有三種不同顏色供選擇，給圖中六個(gè)格子涂色，相鄰格子顏

色不能相同，共有種不同的涂色方案.

【答案】96

【分析】將格子自左向右編號為1,2,3,4,易得格子1,2有=6種選法，再分格子3與格子

1相同和不同求解.

【詳解】解：將格子自左向右編號為1,2,3,4,5,6

格子1,2有A；=6種選法，

當(dāng)格子3與格子1相同時(shí)，此時(shí)格子4,5,6都有2種選法，

當(dāng)格子3與格子1不同時(shí)，此時(shí)格子3有1種選法，格子4,5,6都有2種選法，

所以當(dāng)格子1和2顏色確定后，格子4,5,6共有2x2x2+2x2x2=16種選法，

所以不同的涂色方法有6x16=96種，

故答案為：96

24.（湖北省武漢市江岸區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）

在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定

每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】420

【分析】根據(jù)題意，用48,C,D,E表示5個(gè)區(qū)域，分4步依次分析區(qū)域A、B、C、D、E的涂色

方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算答案.

【詳解】如圖，用48,C,Q,七表示5個(gè)區(qū)域，

分4步進(jìn)行分析：

①，對于區(qū)域A,有5種顏色可選：

②，對于區(qū)域8,與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；

③，對于區(qū)域與A、A區(qū)域相鄰,有3種顏色可選：

④，對于區(qū)域。、E,若。與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，

若0與5顏色不相同，。區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，

則區(qū)域。、E有3+2x2=7種選擇，

則不同的涂色方案有5x4x3x7=420種.

故答案為:420.

25.（湖北省部分省級示范高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考）現(xiàn)有紅、黃、青、藍(lán)四種顏色,

對如圖所示的五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個(gè)不同部分），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有

公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則最多使用三種顏色的不同涂色方案有種.（用數(shù)字作答）

【答案】372

【分析】由題，假設(shè)六塊區(qū)域?yàn)榉治?個(gè)區(qū)域的涂色方案，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得

答案.

【詳解】若使用三種顏色，從4種顏色中選3種，有C：=4種方法，從3種顏色中選一種涂在力處,

有3種方法，剩下的每塊區(qū)域都有兩種涂色方案，共計(jì)聯(lián)種方案，

再減去只是用兩種顏色的情況，則由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方案數(shù)為

4x3x（32-2）=360種涂法；

若只使用兩種顏色，則有C；C；=12種涂法；

所以符合要求的涂法種數(shù)有360+12=372種.

故答案為：372

題型05平均分組問題

26.（江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問

天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日我國將“夢天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵

部分的發(fā)射，“夢天實(shí)驗(yàn)艙''也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對接，成為“L字形架構(gòu)，我國成功將中

國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天

員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）

A.450種B.360種C.90種D.70ft

【答案】A

【分析】利用分組和分配的求法求得6名骯天員的安排方案，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可求得.

【詳解】由題知.6名航天員安排二艙.

三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，

可分兩種情況考慮：

第一種：分人數(shù)為1-2-3的三組，共有C；C；C；?A；=360種；

等3種

第二種：分人數(shù)為2-2-2的一組，共有

所以不同的安排方法共有360+90=450種.

故選：A.

27.（2022秋?重慶長壽?高三重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校┰谀稠?xiàng)建造任務(wù)中，需6名航天員在天和

核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙這三個(gè)艙內(nèi)同時(shí)進(jìn)行工作，由于空間限制，每個(gè)艙至少1人，至

多3人，則不同的安排方案共有（）

A.450種B.180種C.720種D.360種

【答案】A

【分析】安排方案分為兩類，第一類，每個(gè)艙各安排2人，第二類，分別安排3人，2人，1人，結(jié)

合分堆分配問題解決方法求解即可.

C2c2c2

【詳解】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有士l.A；=90（種）不同的方案；

方案二：分別安排3人，2人，1人，共有C：C；C：A；=360（種）不同的方案.

所以共有90+360=450（種）不同的安排方案.

故選：A.

28.（河北省高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期期中）習(xí)近平總書記在湖南省湘西州花垣縣

十八洞村考察時(shí)，首次提出“精準(zhǔn)扶貧''概念，"精準(zhǔn)扶貧”已成為我國脫貧攻堅(jiān)的基本方略.為配合

國家“精準(zhǔn)扶貧”戰(zhàn)略，某省農(nóng)業(yè)廳派出8名農(nóng)業(yè)技術(shù)專家（6男2女）分成兩組，到該省兩個(gè)貧困

縣參加扶貧工作，若要求女專家不單獨(dú)成組，且每組至多6人，則不同的選派方案共有（）種

A.480B.252C.306D.236

【答案】D

【分析】根據(jù)組中人數(shù)有｛2,6｝、｛4,4｝、｛3,5｝分組形式，再應(yīng)用分步計(jì)數(shù)求不同的選派方案的種數(shù).

【詳解】由題意，兩組人數(shù)可分為億6｝、｛4,4｝、｛3,5｝兩種，

1、當(dāng)伍6｝形式，選派方案有2（C；-1）=54種;

2、當(dāng)｛4,4｝形式，選派方案有C；=70種;

3、當(dāng)⑶5｝形式，選派方案有2C；=112種；

，不同的選派方案共有54+70+112=236種.

故選：D.

29.（福建省寧德市高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）近年來喜歡養(yǎng)寵物貓的人越來越多.某貓舍

只有5個(gè)不同的貓籠，金漸層貓3只（貓媽媽和2只小貓?jiān)伲?、銀漸層貓4只、布偶貓1只.該貓舍

計(jì)劃將3只金漸層貓放在同一個(gè)貓籠里，4只銀漸層貓每2只放在一個(gè)貓籠里，布偶貓單獨(dú)放在一

個(gè)貓籠里，則不同的安排有（）

A.8種B.30種C.360種D.1440種

【答案】C

【分析】根據(jù)分組原理先確定4只銀漸層貓分兩組的分組方法，再根據(jù)排列數(shù)計(jì)算即可得安排方法

總數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，將3只金漸層貓放在同一個(gè)貓籠里，則把3只金漸層貓看成是1個(gè)整體，

C2c2

4只銀漸層貓每2只放在一個(gè)貓籠里,則分組方法有窄=3（種）

一共有4個(gè)整體進(jìn)行排列放在5個(gè)不同的貓籠，在5個(gè)不同的貓籠中可以放4個(gè)整體,

則一共可以安排的方法有：A>3=360（種）

故選：C.

30.（廣東省深圳市南山區(qū)北京師范大學(xué)南山附屬學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）有4名高考考生通

過2個(gè)不同的智能安檢門進(jìn)校，每個(gè)安檢門每次只能過1人，要求每個(gè)安檢門都要有人通過，則有

種不同的進(jìn)校方式.（用數(shù)字作答）

【答案】72

【分析】根據(jù)排列、組合的知識求得正確答案.

【詳解】笫1個(gè)安檢門1人，第2個(gè)安檢門3人時(shí)，方法數(shù)有C；?A；=24種，

第1個(gè)安檢門3人，第2個(gè)安檢門1人時(shí)，方法數(shù)有A：=24種,

第1個(gè)安檢門2人，第2個(gè)安檢門2人時(shí)，方法數(shù)有C：A；A；=24種,

故總的方法數(shù)有24+24+24=72種.

故答案為：72

31.（2022秋?河北張家口?高三張家口市第一中學(xué)?？计谥校┡R近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若

干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈送給四戶孤寡老人.春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相

同.經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián).書

法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為.

【答案】15120

【分析】利用全排列計(jì)算長聯(lián)的分配方式，利用平均分組分配計(jì)算短聯(lián)的分配方式，結(jié)合分布乘法

原理，可得答案.

【詳解】4副長聯(lián)內(nèi)容不同，贈送方法有A：=24種；從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈送給乙戶老人,

有A；=7種方法，再將剌余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈送給三戶老人，

方法種數(shù)為箋G

=C：C：C；=90.所以所求方法種數(shù)為24x7x90=15120.

故答案為：15120.

題型06部分平均分組問題

32.（廣東省佛山市第四中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動會于2021年7月

23日至8月8日在日本東京舉行，有4名大學(xué)生申請去4,B,。三個(gè)比賽場地當(dāng)志愿者，組委會

接受了他們的申請.A,B,。三個(gè)比賽場地中每個(gè)比賽場地至少分配一人，且每人只能去一個(gè)比賽

場地.若甲不去力比賽場地，則不同的安排方案共有（）

A.12種B.24種C.30種D.36種

【答案】B

【分析】分類考慮，即分有1個(gè)人和甲去除力場地外的同一個(gè)場地和甲單獨(dú)去一個(gè)場地兩種情況，

根據(jù)分類加法原理可得答案.

【詳解】由題意可分兩類：①有一個(gè)人與甲被安排在除/場地外的同一個(gè)比賽場地，

此時(shí)有=12種不同的安排方案;

②沒有人與甲被安排在同一個(gè)比賽場地，有=12種不同的安排方案.

故若甲不去4比賽場地，則有12+12=24種不同的安排方案,

故選：B.

33.（湖北省襄陽市部分學(xué)校20222023學(xué)年高二上學(xué)期期中考）為了提高命題質(zhì)量，命題組指派5

名教師對數(shù)學(xué)卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進(jìn)行改編，則每種題型至少至少指派1名教師

的不同分派方法種數(shù)為（）

A.144B.120C.150D.180

【答案】C

【分析】將5名老師分為2+2+1和3+1+1的兩種情況，計(jì)算得到答案.

生5內(nèi)=90；

【詳解】5名老師分為2+2+1的情況時(shí)：共有

5名老師分為3+1+1的情況時(shí)：共有C；?A；=60,

故共有90+60=150種不同的分派方法.

故選：C.

34.（山東省濟(jì)寧市鄒城市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）教育扶貧是我國重點(diǎn)扶貧項(xiàng)目，

為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵(lì)教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師到4、B、C三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)

校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，每名教師只能去一個(gè)學(xué)校，不同的選派方法數(shù)有（）種

A.25B.60C.90D.150

【答案】D

【分析】按照分類分步計(jì)數(shù)原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個(gè)學(xué)校去，即可計(jì)算

出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，

第一類：各組人數(shù)分別為1,1,3,共有C；種分法；

第二類：各組人數(shù)分別為1,2,2,共有卑G種分法，

再將三組人員分配到力、B、C三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去，共有A；種，

所以不同的選派方法共有C；3=150#.

故選：D

35.（遼寧省大連市濱城聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）某中學(xué)舉行全區(qū)教研活動，有10名志

愿者參加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，則教研活動當(dāng)天不

同的排班種數(shù)為（）

Ac；°c：CC：?c那

F

c.D.A：°A；A：

【答案】B

【分析】首先對10人分成4,3,3三組，再分早中晚三班排列即可得解.

【詳解】10人分成三組，每組至少3人，故可分為4人,3人,3人三組,

共有筆近

種,

再把三組人員安排到早中晚三班，共有A：種,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有8種.

故選：B

36.（2022秋?黑龍江大慶?高三大慶中學(xué)?？计谥校┝?xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)說，調(diào)直研究是謀事之基、成

事之道.瓊中縣委、縣政府根據(jù)黨中央、國務(wù)院《關(guān)于在全黨大興調(diào)查研究的工作方案》文件精神，

決定派出7人分成3個(gè)小組，到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展調(diào)查研究工作，其中2個(gè)小組各2人，1個(gè)小組3人,

則不同的安排方法共有.

【答案】630

【分析】運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理及部分平均分組分配模型先將7人分成3組分別2人、2人、3人再將3

組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即可求得結(jié)果.

【詳解】第一步：將7人分成3組分別2人、2人、3人有=105種方法;

第二步：將這3組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)有A：=6種方法；

所以不同的安排方法有105x6=630種.

故答案為：630.

37.（福建省福州華僑中學(xué)等多校2023屆高三上學(xué)期期中）第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至

10月B日在杭州舉行，甲、乙等4名志愿者將分別安排到游泳、射擊、體操三個(gè)場地進(jìn)行志愿服務(wù),

每個(gè)場地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一個(gè)場地服務(wù)，則甲、乙兩名志愿者在同一個(gè)

場地服務(wù)的概率為.

【答案】7

6

【分析】根據(jù)題意，先將4人分為112三組，再計(jì)算得出甲乙在同一個(gè)場地的情況，利用古典擷型

的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，先將4人分為1,1,2三組，共有C：=6種分法，

在將三組分段三個(gè)不同的場地，共有A；=6種分法，

由分步計(jì)數(shù)原理得，共有6x6=36種不同的情況，

又由甲乙兩名志愿者在同一場地服務(wù)，共有C；A；=6種情況，

則甲乙兩面志愿者在同一場地服務(wù)的概率為三=7-

故答案為：7

0

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

38.（山西大學(xué)附屬中學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）若（瓜+；）展開式中含

有常數(shù)項(xiàng)，則〃的最小值是（）

A.2B.3C.12D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.

【詳解】如=仁（瓜廣,

x

令2A=0,得〃=2%,則％=1時(shí)，〃取最小值2.

故選：A

39.（福建省龍巖市永定區(qū)坎市中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）己知。x-9）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)

是672,則。=（）

A.39B.29C.2D.1

【答案】C

【分析】寫出二項(xiàng)式通項(xiàng)整理后讓R的次數(shù)為0,得出〃的值，再根據(jù)題意常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)列出

等式方程即可得出a的值.

【詳解】展開式的通項(xiàng)為&產(chǎn)。（“廣［-9）=3-0」工令9弓=0,得r=6,???

常數(shù)項(xiàng)是加=a'C：=672,故。=2.

故選：C

40.（江蘇省南通西藏民族中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）（多選）已知展開式中

的第三項(xiàng)的系數(shù)為45,則（）

A./i=9B.展開式中所有系數(shù)和為1024

C,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)D.含F(xiàn)的項(xiàng)是第7項(xiàng)

【答案】BCD

【分析】由二項(xiàng)式定理相關(guān)知識逐項(xiàng)判斷即可.

所以第三項(xiàng)的系數(shù)為：C；=45,所以〃=10,故A錯(cuò)誤;

所以《十巧，所以令x=l得展開式中所有系數(shù)和為*=1024,故B正確;

展開式總共有11項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，故C正確；

（斤丫°”/i―\r12rUr-30

通項(xiàng)公式為&i=C：o行2）=c：°x4.%3=c；＞12,

令寫史=3,解得〃=6,所以含V的項(xiàng)是第7項(xiàng).故D正確；

故選：BCD.

41.（廣東省廣州市增城中學(xué)、廣東華僑，協(xié)和中學(xué)三校2023屆高三上學(xué)期期中）二項(xiàng)式（4+：）

展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】60

【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的哥指數(shù)為0,求得「值，即可求得常數(shù)項(xiàng).

【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為

加=般.（4廣口'=2（"嚀,

3r

令3——=0,可得r=2,

2

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為22。：=60.

故答案為：60

42.（江蘇省常州市金沙高級中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知的展開式中第二

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比該項(xiàng)的系數(shù)大18,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】60

【分析】由題意利用二項(xiàng)式展開式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比該項(xiàng)的系數(shù)大18,建立方程解出〃的值,

再利用公式求出展開式中的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】因?yàn)椋?-：）的二項(xiàng)展開式為：

所以它的第二項(xiàng)的系數(shù)為：

該二項(xiàng)式的展開式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：C；,

由（4的展開式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比該項(xiàng)的系數(shù)大I?'

所以有：C；—C：(—2)=18n〃=6,

所以二項(xiàng)式為

,,一K6-r(0\6-3r

由展開式通項(xiàng)為：1-^1=c;{-l)r,

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：7；=C＜（-2）2=60.

故答案為：60.