項(xiàng)目八 相關(guān)分析與回歸分析法

統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

相關(guān)分析與回歸分析法8.1.1相關(guān)關(guān)系的含義

（1）函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是指變量之間存在的一種完全確定性的一一對應(yīng)關(guān)系，在這種關(guān)系中，對于某一變量的一個(gè)數(shù)值，都有另一變量的唯一確定的值與之對立?？陀^世界的各種現(xiàn)象之間，特別是在自然界，廣泛存在著函數(shù)關(guān)系。（2）相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系是指變量之間的一種不完全確定的關(guān)系，即對于某一變量的每一個(gè)數(shù)值，另一變量有若干個(gè)數(shù)值與之相適應(yīng)在相關(guān)關(guān)系中，相互聯(lián)系的現(xiàn)象之間通常存在著一定的、因果關(guān)系，這時(shí)就把其中起著影響作用的變量叫作自變量(用x來表示)，由于受到自變量響而發(fā)生變動(dòng)的變量叫作因變量(用y來表示)。8.1.2相關(guān)關(guān)系的類型（1）按變量之間相關(guān)因素的多少分按變量之間的相關(guān)因素的多少分，有單相關(guān)和復(fù)相關(guān)。（2）按變量之間相關(guān)關(guān)系的方向分按變量之間相關(guān)關(guān)系的方向分，有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。（3）按變量之間相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式分按變量之間相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式分，有直線相關(guān)和曲線相關(guān)。（4）按變量之間相關(guān)的程度分

按變量之間相關(guān)的程度分，有完全相關(guān)、不相關(guān)和不完全相關(guān)。相關(guān)分析與回歸分析法8.1.3相關(guān)關(guān)系分析的內(nèi)容

(1)相關(guān)分析通過相關(guān)分析，確定現(xiàn)象之間有無關(guān)系及相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式。①確定現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的類型由于相關(guān)分析的研究對象是現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，然而現(xiàn)象之間有無關(guān)系是個(gè)定性認(rèn)識的問題。所以進(jìn)行相關(guān)分析之前，首先要根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論、專業(yè)知識和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對被研究對象進(jìn)行定性判斷。當(dāng)確認(rèn)現(xiàn)象之間具有相關(guān)關(guān)系時(shí)，才能運(yùn)用相關(guān)分析方法進(jìn)行定量分析。為了驗(yàn)證定性判斷是否正確，還要運(yùn)用大量的實(shí)際資料，通過編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖及計(jì)算相關(guān)系數(shù)對被研究現(xiàn)象是否真正存在相關(guān)關(guān)系，以及相關(guān)關(guān)系的形式做出進(jìn)一步的判斷。②測定現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系的密切程度由于相關(guān)關(guān)系是一種不嚴(yán)格的數(shù)量關(guān)系，它們的關(guān)系有的不大密切，有的比較密切。所以相關(guān)分析的一個(gè)重要內(nèi)容，就是要從現(xiàn)象之間不嚴(yán)格的數(shù)量關(guān)系中想辦法來判斷它們之間相關(guān)關(guān)系的密切程度，只有相關(guān)關(guān)系的密切程度達(dá)到一定的標(biāo)準(zhǔn)，對其進(jìn)行研究才具有實(shí)際意義。判斷相關(guān)關(guān)系密切程度的主要方法是計(jì)算相關(guān)系數(shù)或相關(guān)指數(shù)。相關(guān)圖表能幫助我們做出一般性的判斷，相關(guān)系數(shù)能從數(shù)量上明確說明直線相關(guān)關(guān)系的密切程度與方向，要確定曲線相關(guān)關(guān)系的密切程度則需要計(jì)算相關(guān)指數(shù)。相關(guān)分析與回歸分析法（2）回歸分析

通過回歸分析，說明現(xiàn)象變量之間的數(shù)量影響關(guān)系。

①建立相關(guān)變量之間的一般關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式(即回歸方程)

如果相關(guān)的程度高，就需要進(jìn)行回歸分析，即建立相關(guān)變量之間的一般關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。如果現(xiàn)象之間表現(xiàn)為直線相關(guān)，采用配合直線方程的方法；如果表現(xiàn)為曲線相關(guān)，就采用配合曲線方程的方法。所配合的方程稱為回歸方程式，它是進(jìn)行判斷、推算和預(yù)測的依據(jù)。②對因變量估計(jì)值的可靠程度進(jìn)行檢驗(yàn)

根據(jù)回歸方程，可以給出自變量的若干數(shù)值，求得因變量的相應(yīng)的估計(jì)值。估計(jì)值與實(shí)際值之間存在誤差的，確定因變量估計(jì)值誤差大小的指標(biāo)叫作回歸誤差。回歸誤差越小，則因變量估計(jì)值的可靠程度越高；反之，因變量估計(jì)值的可靠程度越低。相關(guān)分析與回歸分析法8.2.1相關(guān)表和相關(guān)圖對兩個(gè)現(xiàn)象變量作相關(guān)分析時(shí)，首先必須取得一系列的成對的統(tǒng)計(jì)資料。這是相關(guān)分析的原始數(shù)據(jù)。根據(jù)資料是否經(jīng)過分組，相關(guān)表可以分為簡單相關(guān)表與分組相關(guān)表。簡單相關(guān)表是指根據(jù)總體單位的原始資料，將其中一個(gè)變量的數(shù)值按一定的順序排列，同時(shí)列出與之對應(yīng)的另一個(gè)變量的變量值而形成的表格。例如，研究棉紗產(chǎn)量與單位成本之間的關(guān)系，搜集數(shù)據(jù)排列形成表8—1就是簡單相關(guān)表。相關(guān)分析與回歸分析法月份產(chǎn)量（噸）單位成本（千元/噸）1977.22100731036.941096.751106.561156.571087.281067.291146.8101186.8表8—1某種棉紗產(chǎn)量與單位成本之間的關(guān)系相關(guān)分析與回歸分析法相關(guān)圖也稱散點(diǎn)圖，是根據(jù)原始數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)中繪制出兩個(gè)變量相對應(yīng)的觀察值的所有點(diǎn)，從這些點(diǎn)的分布情況觀察分析兩個(gè)變量間的關(guān)系，這個(gè)圖稱為相關(guān)圖。該圖表明相關(guān)點(diǎn)分布狀況，如將上表的資料畫在一坐標(biāo)系中，以x軸代表產(chǎn)量，y軸代表單位成本，各點(diǎn)的分布狀況如圖，即散點(diǎn)圖(相關(guān)圖)。相關(guān)分析與回歸分析法分組相關(guān)表和相關(guān)圖當(dāng)相關(guān)資料包括的對應(yīng)數(shù)值很多時(shí)，直接根據(jù)兩變量各原始值編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖進(jìn)而計(jì)算各相關(guān)指標(biāo)，工作量很大，且相關(guān)表會很長，也不方便，相關(guān)圖也不好繪制，在這種情況下，可編制分組相關(guān)表或繪制分組相關(guān)圖。分組相關(guān)表是指將原始資料按某一變量的變量值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分組，并計(jì)算相對應(yīng)的變量值的平均數(shù)以后整理形成的表格。例如，為研究耕作深度與畝產(chǎn)量的關(guān)系，分別搜集了30塊地的耕作深度與畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，共60個(gè)數(shù)據(jù)值。由于數(shù)據(jù)多，所以把30塊地按耕作深度分組，形成成分組相關(guān)表如表8一2。

耕作深度（厘米）

田塊數(shù)（塊）平均畝產(chǎn)量（公斤/畝）81012141618459741427498568631683734

合計(jì)30——表8—2某鄉(xiāng)某農(nóng)作物耕作深度與平均畝產(chǎn)量分組資料相關(guān)分析與回歸分析法8.2.2相關(guān)系數(shù)相關(guān)關(guān)圖表可以幫助我們直觀地看出所觀察的兩個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變動(dòng)之間是否存在直線相關(guān)關(guān)系和相關(guān)方向。相關(guān)系數(shù)是研究和判斷兩個(gè)現(xiàn)象之間線性相關(guān)密切程度大小的一個(gè)統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。通常用r來表示。

相關(guān)系數(shù)的最簡單的一種計(jì)算方法是積差法，它是用兩個(gè)變量的協(xié)方差與其標(biāo)準(zhǔn)差的乘積之比來計(jì)算的。其計(jì)算公式如下：

從上式可以看到，相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)為：（1）取值范圍是在一1和+1之間，即一l≤r≤+1；（2）r>0為正相關(guān)，r<0則為負(fù)相關(guān)；（3）r的絕對值越接近于1，表示相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，越接近于0，表示相關(guān)關(guān)系越弱；（4）｜γ｜=1，則表明兩個(gè)變量完全相關(guān)，r=0，則表明兩個(gè)變量不存在直線相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)分析與回歸分析法分組相關(guān)表更能清晰地反映兩變量之間相關(guān)關(guān)系的存在。從分組相關(guān)表中可以看出，耕作深度每增加2厘米，平均畝產(chǎn)量增加大致均等的量(即60公斤左右)，由此可以初步判斷耕作深度與畝產(chǎn)量之間存在直線正相關(guān)關(guān)系。相關(guān)分析與回歸分析法8.3.1回歸分析的意義

(1)回歸分析的含義和種類（2）回歸分析的特點(diǎn)

一元線性回歸分析具有以下特點(diǎn)：

①區(qū)分自變量和因變量。兩含變量不是對等的，必須區(qū)分出自變量和因變量。如果是互為因果關(guān)系則根據(jù)研究的目的來確定因變量(y)與自變量(x)。②求回歸方程。在沒有明顯的因果關(guān)系的兩個(gè)變量x與y之間可以求得兩個(gè)回歸方程——y依x的回歸方程及x依y的回歸方程。兩個(gè)方程是互相獨(dú)立的，不能互相替換。

③回歸方程的作用?；貧w方程的主要作用在于給出自變量的數(shù)值來估計(jì)因變量的數(shù)值。一個(gè)回歸方程只能做一種推算。相關(guān)分析與回歸分析法8.3.2直線回歸方程的建立與應(yīng)用

直線的一般方程為：y=a+bx，這個(gè)方程中的y值是x值的函數(shù)，是確定性關(guān)系，也就是說只要給定一個(gè)x值，y值也就隨之確定，但是前面已經(jīng)講過，具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系是不嚴(yán)格的、非確定性的。方程式應(yīng)改寫為：

式中，

表示因變量的估計(jì)值，

為自變量的實(shí)際值；a、b為待定參數(shù)。其幾何意義是：a是直線方程的截距，b是斜率。其經(jīng)濟(jì)意義是：a是當(dāng)x為零時(shí)y的估計(jì)值，b是當(dāng)x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，y平均變動(dòng)的數(shù)量，b也叫回歸系數(shù)。回歸系數(shù)b的符號與相關(guān)系數(shù)r的符號一致并且意義相同。當(dāng)b的符號為正時(shí)，自變量和因變量同方向變動(dòng)；當(dāng)b的符號為負(fù)時(shí)，自變量和因變量反方向變動(dòng)?；貧w系數(shù)b與相關(guān)系數(shù)r的區(qū)別是：相關(guān)系數(shù)r的取范圍是確定的，即一1至+1之間，而回歸系數(shù)b的取值并沒有一個(gè)確定的范圍，其大小是依據(jù)y的計(jì)量單位而確定。相關(guān)分析與回歸分析法最小平方法配合直線，就是要求實(shí)際值與回歸值的離差平方和最小。其求a、b參數(shù)的方法同任務(wù)五中介紹的。相關(guān)分析與回歸分析法8.3.3回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是用來說明回歸方程代表性大小的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。它是以回歸直線為中心反映各觀察值與估計(jì)值平均數(shù)之間離差程度的大小，從另一方面看，也就是反映著估計(jì)值平均數(shù)yc的代表性的可靠程度，其計(jì)算原理與標(biāo)準(zhǔn)差基本相同，計(jì)算公式如下：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算有兩種方法：公式中Syx代表估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，即x為自變量，y為