集合的概念 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

集合的概念數(shù)學是研究數(shù)量、結(jié)構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。明確研究對象、確定研究范圍是研究數(shù)學問題的基礎為了簡潔、準確地表達數(shù)學對象及研究范圍，我們需要使用集合的語言和工具。自然數(shù)的集合：

同一平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合（即圓）

大家在小學和初中階段接觸過哪些集合呢？看下面的例子:

(1)1-10之間的所有偶數(shù);

(2)立德中學今年入學的全體高一學生;

(3)所有的正方形;

(4)到直線l的距離等于定長d的所有點;

(5)方程x2-3x+2=0的所有實數(shù)根;

(6)地球上的四大洋；

思考：例(1)中，我們把1~10之間的每一個偶數(shù)作為元素，這些元素的全體就是一個集合;同樣地，例(2)中，把立德中學今年入學的每一位高一學生作為元素，這些元素的全體也是一個集合.

思考：例（3）例（6）也都能組成集合嗎？他們的元素分別是什么？思考：集合（集）：研究對象組成的整體。

集合表示：大寫字母A、B、C……

元素：研究對象

元素表示：小寫字母a,b,c……

集合A={a、b、c}

常用的數(shù)集及其記法

元素與集合的關系常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N+ZQR關系語言描述記法讀法屬于a是集合A中的元素a∈Aa屬于集合A不屬于a不是集合A中的元素a?Aa不屬于集合A集合元素的三個特性：

確定性：a?A，a∈A有且僅有一個成立

互異性：{a，b}中，a≠b

無序性：{a，b}={b，a}集合的表示方法：

1.自然語言法小于10的所有自然數(shù)組成的集合

2.列舉法

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

3.描述法{x∈A|P(x)}{x∈N|x＜10}

{x∈N;x＜10}“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋);

“方程x2-3x+2=0的所有實數(shù)根”組成的集合可以表示為{1，2}.

像這樣把集合的所有元素一一列舉岀來，并用花括號“{

}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

列舉法：不等式x-7＜3的解是x＜10，因為滿足x<10

的實數(shù)有無數(shù)個，所以x-7＜3的解集無法用列舉法表示，但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即:x是實數(shù)，且

x＜10，把解集表示為{x∈R|

＜10}.

又如，整數(shù)集Z可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集.對于每一個

x∈Z，如果它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式，那么x除以2的余數(shù)為1，它是一個奇數(shù);反之，如果x是一個奇數(shù)，那么x除以2的余數(shù)為1，它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式.所以x=2k+1(k∈Z)是所有奇數(shù)的一個共同特征，于是奇數(shù)集可以表示為{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.

一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法.

描述法：例1

用列舉法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合

由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關，因此一個集合可以有不同的列舉方法。例如，集合A還可以寫成A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}做一做：解：A={0，l，2，3，4，5，6，7，8，9}.

解：設方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么集合B={0，1}.

例1

用列舉法表示下列集合:(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合做一做：例2

試分別用描述法和列舉法表示下列集合:(1)方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合A做一做：

例2

試分別用描述法和列舉法表示下列集合:(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B

做一做：解：(2)設x∈B，則x是一個整數(shù)，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示為B={x∈Z|10<x<20}.

大于10

且小于20

的整數(shù)有11，12，13，14，15，16，17，18