高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修二）第13講424隨機(jī)變量的數(shù)字特征

4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征TOC\o"13"\h\u題型1利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值 ②D(c)=0(其中c為常數(shù))知識(shí)點(diǎn)四.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則D（X）=p（1p）.（2）若隨機(jī)變量X~B（n，p），則D（X）=np（1p）.【提示】由于兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，故兩者之間是特殊與一般的關(guān)系．即若X~B（n，p），則D（X）=np（1p），取n=1，則D（X）=p（1p）就是兩點(diǎn)分布的方差.題型1利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值【方法總結(jié)】求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X所有可能的取值.求出X取每個(gè)值的概率P（X=k）.寫出X的分布列.（4）利用均值的定義求E（X）.◆類型1離散型隨機(jī)變量均值與方程性質(zhì)的應(yīng)用【方法總結(jié)】求解隨機(jī)變量Y=aX+b的均值時(shí)，可以先求出隨機(jī)變量X的均值E（X），然后利用性質(zhì)E（ax+b）=aE（X）+b，求得隨機(jī)變量Y的均值；也可以先求出Y=aX+b的分布列，然后利用均值的定義公式求出隨機(jī)變量Y的均值.【例題11】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于隨機(jī)變量X，它的數(shù)學(xué)期望EX和方差D①EX是反映隨機(jī)變量的平均取值；

②DX越小，說(shuō)明X越集中于③EaX+b【答案】①②③【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望與方差的意義，以及期望與方差的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】離散型隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說(shuō)明隨機(jī)變量的取值越集中于均值，則①②正確；EaX+b故答案為：①②③.【變式11】1．（2022·黑龍江·肇東市第四中學(xué)校高二期末）設(shè)ξ的分布列如表所示，又設(shè)η=2ξ+5ξ1234P1111A．76 B．176 C．173【答案】D【分析】根據(jù)分布列求出E(【詳解】解：依題意可得E(所以E(故選：D．【變式11】2．（2022·浙江金華第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X滿足E(2A．E(X)=C．E(X)=2,【答案】B【分析】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解【詳解】E(2X+3)=2D(2X+3)=4故選：B【變式11】3．（2022·江蘇省橫林高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2A．q=0.1 B．D(X)=1.8 C．【答案】ABC【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得參數(shù)q，結(jié)合分布列求得EX【詳解】對(duì)A：由q+0.4+0.1+0.2+0.2=1，解得q對(duì)B：EXDX對(duì)C：EY對(duì)D：DY故選：ABC.【變式11】4．（2022·江蘇·南京田家炳高級(jí)中學(xué)高二期中）已知隨機(jī)變量X的概率分布為X012P111且設(shè)Y=3X+2，則E（Y）=________.【答案】4【分析】先求出隨機(jī)變量X的均值，再根據(jù)其性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)镋（X）＝0×12＋1×1所以E（Y）＝E（3X＋2）＝3E（X）＋2＝3×23＋2＝故答案為：4【變式11】5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布是(123【答案】7.4【分析】由分布列求隨機(jī)變量的均值，再由均值的性質(zhì)求E(2【詳解】由題設(shè)，E(所以E(2故答案為：7.4◆類型2離散型隨機(jī)變量的均值定義的應(yīng)用【例題12】（2022·廣東江門·高二期末）從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中有放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為X，則E5A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先求出抽一次抽到次品的概率，依題意可得X～【詳解】解：依題意每次抽到次品的概率P=所以X～B3,215故選：C【變式12】1．（2022·福建·莆田一中高二期末）（多選）甲乙兩位同學(xué)紙牌游戲（紙牌除了顏色有不同，沒(méi)有其他任何區(qū)別），他們手里先各持4張牌，其中甲手里有2張黑牌，2張紅牌，乙手里有3張黑牌，1張紅牌，現(xiàn)在兩人都各自隨機(jī)的拿出一張牌進(jìn)行交換，交換后甲?乙手中的紅牌數(shù)分別為X?Y張，則（

）A．PX=2=12 B．PX【答案】AD【分析】依題意可得X的可能取值為1、2、3，且Y=3?X，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求出【詳解】解：甲取出一張紅牌為事件A，乙取出一張紅牌為事件B，則P(A)=則X的可能取值為1、2、3，且Y=3?則P(X=1)=1所以E(所以E(D(故正確的有A、D；故選：AD【變式12】2．（2022·云南·昆明一中模擬預(yù)測(cè)（理））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干個(gè)，每個(gè)生日蛋糕成本為60元，售價(jià)為100元．如果賣不完，剩下的蛋糕作垃圾處理，現(xiàn)收集并整理了該店100天生日蛋糕的日需求量（單位：個(gè)）如下表：需求量101112131415頻數(shù)8202427147將這100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發(fā)生的概率．(1)若蛋糕店某一天制作生日蛋糕13個(gè)，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若蛋糕店計(jì)劃一天制作13個(gè)或14個(gè)生日蛋糕，以每日銷售利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，你認(rèn)為應(yīng)制作13個(gè)還是14個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，期望為432；(2)應(yīng)制作13個(gè)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)出每天的需求量，根據(jù)題意，求得X的取值以及對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可；（2）求得制作14個(gè)蛋糕時(shí)利潤(rùn)的分布列以及數(shù)學(xué)期望，和（1）中所求數(shù)學(xué)期望進(jìn)行對(duì)比即可.【詳解】（1）設(shè)當(dāng)天的需求量為n(則當(dāng)n≥13時(shí)，利潤(rùn)X=40×13=520，當(dāng)n≤12所以X的取值為520，420，320，220，P(X=520)=P(X=320)=X的分布列為X520420320220P0.480.240.20.08期望E(（2）若制作14個(gè)生日蛋糕，設(shè)當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）為Y，當(dāng)天的需求量為m,則當(dāng)m≥14時(shí)，Y=560；當(dāng)m<14則Y可取560，460，360，260，160，P(Y=560)=P(Y=360)=24期望E(因?yàn)镋(【變式12】3．（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試20222023學(xué)）現(xiàn)有4所學(xué)校，每校派出3名教師，這12名教師中，經(jīng)過(guò)選拔挑出4名教師參加技能比賽.(1)恰有2名教師來(lái)自同一所學(xué)校的概率；(2)設(shè)這4名教師來(lái)自的學(xué)校個(gè)數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)3655(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.（2）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算得到分布列，然后計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）恰有2名教師來(lái)自同一所學(xué)校的概率為：C4（2）ξ的可能取值是2，3，4，PξPξ=3=所以分布列為：ξ234P2369所以Eξ【變式12】4．（河南省新鄉(xiāng)市20222023學(xué)年）乒乓球被稱為中國(guó)的“國(guó)球”．甲、乙兩位乒乓球愛(ài)好者決定進(jìn)行一場(chǎng)友誼賽，制定如下比賽規(guī)則：比賽分兩天進(jìn)行，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局者獲得該天的勝利．若兩天比賽中一方連續(xù)勝利，則該方獲得勝利；若兩天比賽中雙方各勝一天，則第三天加賽一局，一局定勝負(fù)．設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為p0<(1)當(dāng)p=(2)記比賽結(jié)束時(shí)的總局?jǐn)?shù)為Y，當(dāng)p=12【答案】(1)2027；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為11【分析】（1）由題可知甲可能以2:0或2:1獲勝，然后計(jì)算概率即得；（2）由題可得Y可取4，5，6，7，分別計(jì)算概率可得分布列，再利用期望公式即得.【詳解】（1）第一天比賽甲可能以2:0或2:1獲勝，因?yàn)镻2:0=2所以第一天甲獲勝的概率p=（2）因?yàn)閜=所以第一天和第二天甲以2:0獲勝的概率為12×1第一天和第二天甲以2:1獲勝的概率為C21×即第一天和第二天甲、乙各自以2:0和2:1獲勝的概率都是14同樣以0:2和1:2負(fù)的概率都是14所以Y的所有可能取值為4，5，6，7，PYPYPYPY所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y4567P1331所以EY【變式12】5．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）小明和小紅進(jìn)行拋擲硬幣比賽，規(guī)定小明和小紅每人拋6次.小明得分規(guī)則為每連續(xù)拋擲n(2≤n≤6)(1)求小紅得8分的概率；(2)求小明得分的分布列和期望，并比較兩人誰(shuí)獲勝的概率大？【答案】(1)1564；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望6.5【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件概率公式即得；（2）由題可得X可為0,2,4,6,8,10,16,32，然后利用古典概型概率公式分別求概率，進(jìn)而可得分布列及期望，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可得小紅得分期望，進(jìn)而即得.【詳解】（1）設(shè)小紅得8分為事件A，則小紅拋擲6次恰有4次正面向上，則P(（2）設(shè)小明得分為X，則X可為0,2,4,6,8,10,16,32，X=0時(shí)，（正反正反正反或者反正反正反正），此時(shí)PX=2時(shí)，（只有一個(gè)連續(xù)兩次），此時(shí)PX=4時(shí)，（一個(gè)三次或者兩個(gè)兩次），此時(shí)PX=6時(shí)，（一個(gè)三次一個(gè)兩次或者3個(gè)兩次），此時(shí)PX=8時(shí)，（兩個(gè)三次或者一個(gè)四次），此時(shí)PX=10時(shí)，（一個(gè)四次一個(gè)兩次），此時(shí)PX=16時(shí)，（一個(gè)五次），此時(shí)PX=32時(shí)，（一個(gè)六次），此時(shí)P所以小明得分X的分布列為：X02468101632P15571111E(設(shè)小紅得分為2Y，則Y服從二項(xiàng)分布B6,1因?yàn)镋(所以小明獲勝概率大.【變式12】6．（2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)）2021年中國(guó)共產(chǎn)黨迎來(lái)了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某校組織了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有200名同學(xué)參賽．為了解競(jìng)賽成績(jī)的分布情況，將200名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)按30,40、40,50、50,60、60,70、70,80、80,90、90,100分成7組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這200名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)及競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)人數(shù)；(2)學(xué)校決定對(duì)競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中以抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，其中競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，低于90分不低于80分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，獎(jiǎng)品為黨史書籍，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品數(shù)量（單位：本）及對(duì)應(yīng)的概率如下表：現(xiàn)在從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎(jiǎng)書籍的數(shù)量為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．獎(jiǎng)品數(shù)量（單位：本）24概率31【答案】(1)中位數(shù)65，不低于80分的同學(xué)有30人；(2)分布列見(jiàn)解析，E【分析】（1）先確定中位數(shù)所在的組，設(shè)中位數(shù)為x，由從左到右頻率和為0.5列等式求解即可；（2）ξ的可能取值為2，4，6，8，對(duì)應(yīng)的概率P分步計(jì)算：第一步為不同抽獎(jiǎng)次數(shù)的概率，第二步為不同抽中本數(shù)的概率，最后按定義列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）∵0.0025+0.015+0.020×10=0.375，0.0025+0.015+0.020+0.025×10=0.625，所以中位數(shù)位于設(shè)這200名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為x，則0.0025+0.015+0.020+0.025x?60×10=0.5競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)為：200×0.010+0.005（2）設(shè)這名同學(xué)獲得書籍的數(shù)量為ξ，則ξ的可能取值為2，4，6，8．Pξ=2=23×3所以ξ的分布列為ξ2468P11711Eξ【變式12】7．（2022·重慶一中）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽“簡(jiǎn)稱CBA”半決賽采用“五局三勝制”，具體規(guī)則為比賽最多進(jìn)行五場(chǎng)，當(dāng)參賽的兩方有一方先贏得三場(chǎng)比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場(chǎng)比賽都需分出勝負(fù).同時(shí)比賽采用主客場(chǎng)制，比賽先在A隊(duì)的主場(chǎng)進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，再移師B隊(duì)主場(chǎng)進(jìn)行兩場(chǎng)比賽（有必要才進(jìn)行第二場(chǎng)），如果需要第五場(chǎng)比賽，則回到A隊(duì)的主場(chǎng)進(jìn)行，已知A隊(duì)在主場(chǎng)獲勝的概率為23，在客場(chǎng)獲勝的概率為1(1)第一場(chǎng)比賽B隊(duì)在客場(chǎng)通過(guò)全隊(duì)的努力先贏了一場(chǎng)，賽后B隊(duì)的教練鼓勵(lì)自己的隊(duì)員說(shuō)“勝利的天平已經(jīng)向我們傾斜”，試從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是否客觀正確；(2)每一場(chǎng)比賽，會(huì)給主辦方在門票，飲食，紀(jì)念品銷售等方面帶來(lái)綜合收益300萬(wàn)元，設(shè)整個(gè)半決賽主辦方綜合收益為ξ，求ξ的分布列與期望，【答案】(1)從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是客觀正確的.(2)分布列見(jiàn)解析，Eξ【分析】（1）計(jì)算B隊(duì)獲勝的情況的概率判斷即可；（2）由題知ξ的可能取值為900,1200,1500，再計(jì)算概率求解分布列，期望即可.【詳解】（1）由題知，B隊(duì)獲勝的情況有三種，第一種情況，比賽三場(chǎng)獲勝，其概率為P1第二種情況，比賽四場(chǎng)獲勝，則第二場(chǎng)或第三場(chǎng)B隊(duì)失敗，故其概率為P2第三種情況，比賽五場(chǎng)獲勝，則B隊(duì)在第二場(chǎng)，第三場(chǎng)，第四場(chǎng)中贏得一場(chǎng)比賽，第五場(chǎng)比賽獲勝，其概率為P3所以，B隊(duì)在第一場(chǎng)比賽獲勝的情況下，贏得比賽的概率為P=所以，從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是客觀正確的.（2）由題知，至少舉辦3場(chǎng)球賽，至多舉辦5場(chǎng)球賽，所以ξ的可能取值為900,1200,1500，所以，當(dāng)舉辦3場(chǎng)球賽時(shí)，A隊(duì)獲勝的概率為23×2所以，Pξ當(dāng)舉辦4場(chǎng)球賽時(shí)，A隊(duì)獲勝的概率為23B隊(duì)獲勝的概率為23Pξ所以，Pξ所以，ξ的分布列為：ξ90012001500P51313所以，Eξ【變式12】8．（2022·貴州六盤水·）為迎接2022年8月8日至8月18日在六盤水市舉行的貴州省第十一屆運(yùn)動(dòng)會(huì)，運(yùn)動(dòng)員們正艱苦訓(xùn)練，積極備戰(zhàn).某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X8910P0.40.40.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為ξ.(1)求此人兩次命中環(huán)數(shù)相同的概率；(2)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ【答案】(1)0.36(2)分布列見(jiàn)解析；E【分析】（1）分別計(jì)算此人連續(xù)兩次命中8,9,10環(huán)的概率，加和即可得到結(jié)果；（2）首先確定ξ所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式可計(jì)算得到ξ每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望.【詳解】（1）∵此人連續(xù)兩次命中8環(huán)的概率為0.42=0.16；連續(xù)兩次命中9環(huán)的概率為0.42=0.16；連續(xù)兩次命中∴此人兩次命中環(huán)數(shù)相同的概率為0.16+0.16+0.04=0.36.（2）由題意可知：ξ所有可能的取值為8,9,10，∵Pξ=8=0.4×0.4=0.16；∴ξξ8910P0.160.480.36則數(shù)學(xué)期望Eξ題型2二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值【方法總結(jié)】?jī)牲c(diǎn)分布∶E（X）=1×p＋0×（1p）=p.二項(xiàng)分布，若X~B（n，p），則E（X）=np.（3）超幾何分布，若X~H（N，n，M），則E（X）=nMN◆類型1二項(xiàng)分布與性質(zhì)的應(yīng)用【例題21】（2022·湖北孝感·高二期末）已知隨機(jī)變量ξ～B6,p，且A．56 B．12 C．83【答案】A【分析】由E2ξ?3=7，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得：【詳解】由E2ξ?3因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B6,可得方程：2×6p?3=7，解得：p=故選：A.【變式21】1．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）（多選）已知隨機(jī)變量X,Y滿足X+A．E(x)=6C．D(X)=2.4【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件及二項(xiàng)分布的期望與方差公式，結(jié)合期望與方差的線性公式即可求解.【詳解】因?yàn)閄～B(10,0.6)所以D(又因?yàn)閄+Y=8所以E(所以D(故選：ACD.【變式21】2．（2022·福建漳州·高二期末）（多選）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中PX=1=12，EA．PX=0=12 B．EX【答案】AB【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布推出P(X=0)=12【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中PX=1=12E(則E(3D(X)=故選：AB.【變式21】3．（2022·全國(guó)·）（多選）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中PXA．PX=1=C．D3X+2【答案】AB【分析】求出PX=0,【詳解】解：依題意PX所以EX=0×1所以PX=1=E所以AB選項(xiàng)正確，CD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB【變式21】4．（2022·陜西·寶雞市陳倉(cāng)高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））若隨機(jī)變量X~B6,p，【答案】7【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式可得出關(guān)于p的等式，解出p的值，利用二項(xiàng)分布的期望公式以及期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閄~B6,p，則DX因此，E3故答案為：7.【變式21】5．（2022·上海·華師大二附中）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B12,0.25，且EaX?3=3（【答案】9【分析】由二項(xiàng)分布的期望和方差公式求出EX，DX，再根據(jù)期望的性質(zhì)求出【詳解】解：因?yàn)閄～B12,0.25，所以又EaX?3=aEX?3=3，即故答案為：9◆類型2二項(xiàng)分布的均值【例題22】（2022·廣西貴港·）某學(xué)校在50年校慶到來(lái)之際，舉行了一次趣味運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目比賽，比賽由傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目和新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目組成，每位參賽運(yùn)動(dòng)員共需要完成3個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．對(duì)于每一個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若沒(méi)有完成，得0分，若完成了，得30分．對(duì)于新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若沒(méi)有完成，得0分，若只完成了1個(gè)，得40分，若完成了2個(gè)，得90分．最后得分越多者，獲得的資金越多．現(xiàn)有兩種參賽的方案供運(yùn)動(dòng)員選擇．方案一：只參加3個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．方案二：先參加1個(gè)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，再參加2個(gè)新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．已知甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員能完成每個(gè)傳統(tǒng)項(xiàng)目的概率為12，能完成每個(gè)新增運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的概率均為1(1)若運(yùn)動(dòng)員甲選擇方案一，求甲得分不低于60分的概率．(2)若以最后得分的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請(qǐng)問(wèn)運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)該選擇方案一還是方案二？說(shuō)明你的理由．【答案】(1)12【分析】（1）甲得分不低于60分等價(jià)甲至少要完成2項(xiàng)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目；（2）方案一服從二項(xiàng)分布從而可求數(shù)學(xué)期望，再由方案二得分的分布列求得數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小.【詳解】（1）運(yùn)動(dòng)員甲選擇方案一，若甲得分不低于60分，則甲至少要完成2項(xiàng)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，故甲得分不低于60分的概率P=（2）若乙選擇方案一，則乙完成的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的個(gè)數(shù)X~所以乙最后得分的數(shù)學(xué)期望為30E若乙選擇方案二，則乙得分Y的可能為取值為0，30，40，70，90，120，PYPYPYPYPYPY所以Y的數(shù)學(xué)期EY因?yàn)?859【變式22】1．（2022·湖南·湘潭一中）2022年8月7日是中國(guó)傳統(tǒng)二十四節(jié)氣“立秋”，該日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，據(jù)此，學(xué)校社會(huì)實(shí)踐小組隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100位奶茶愛(ài)好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計(jì)奶茶愛(ài)好者的平均年齡；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)估計(jì)奶茶愛(ài)好者年齡位于區(qū)間20,60的概率；(3)以頻率替代概率進(jìn)行計(jì)算，若從該地區(qū)所有奶茶愛(ài)好者中任選3人，求3人中年齡在30歲以下的人數(shù)X的分布列和期望.【答案】(1)21.4歲(2)0.48(3)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為12【分析】（1）由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的方法直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到20,60的頻率，用頻率估計(jì)概率即可；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到年齡在30歲以下的頻率，可得X～B3,【詳解】（1）由頻率分布直方圖估計(jì)奶茶愛(ài)好者的平均年齡為：x=5×0.016+15×0.036+25×0.028+35×0.010+45×0.008+55×0.002×10（2）由頻率分布直方圖得：奶茶愛(ài)好者年齡位于區(qū)間20,60的頻率為10×0.028+10×0.010+10×0.008+10×0.002=0.48由頻率估計(jì)概率可知：奶茶愛(ài)好者年齡位于區(qū)間20,60的概率為0.48.（3）由頻率分布直方圖得：從該地區(qū)所有奶茶愛(ài)好者中任選1人，年齡在30歲以下的概率為0.016+0.036+0.028×10=0.8=45則X所有可能的取值為0,1,2,3，∴PX=0=153∴XX0123P1124864則數(shù)學(xué)期望EX【變式22】2．（2022·湖北·武漢市武鋼三中）袋中有大小相同的6個(gè)球，其中1個(gè)白球，2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，今從中逐一取出一個(gè)球.(1)若每次取球后放回，記三次取球中取出紅球的次數(shù)為X，求X的分布列、期望和方差；(2)若每次取球后不放回，直至取出3種顏色的球即停止取球，求取球次數(shù)恰好為4次的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，EX=1，DX【分析】（1）由題可得X~（2）根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合排列組合知識(shí)即得.【詳解】（1）由題可得X~B3,PXPXPXPX∴X的分布列為：X0123P8421∴EX=3×1（2）設(shè)取球次數(shù)恰好為4次是事件A，∴PA∴PA【變式22】3．（湖南·高考真題（理））某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力．每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%．假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.(1)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；(2)任選3名下崗人員，記ξ為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求ξ的分布列和期望.【答案】(1)0.9(2)分布列見(jiàn)詳解，E【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式結(jié)合對(duì)立事件運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布的概率和期望運(yùn)算求解.【詳解】（1）任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件A，“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B，由題意可知：事件A與B事件獨(dú)立，PA=0.6,P任選1名下崗人員，該人沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率P1故任選1名下崗人員，該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率P（2）由題意結(jié)合（1）可知：3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B3,0.9，則ξPξ=0=Pξ=2=ξ的分布列：ξ0123P0.0010.0270.2430.729ξ的期望Eξ【變式22】4．（2022·全國(guó)·）為保護(hù)學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生管理工作的通知》，幾對(duì)中小學(xué)生的使用和管理作出了相關(guān)的規(guī)定．某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用的時(shí)間”．從該校學(xué)生中隨機(jī)選取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下表所示的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．時(shí)間t0,1212,2424,3636,4848,6060,72人數(shù)630351964(1)從該校任選1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每日使用的時(shí)間小于36min的概率；(2)估計(jì)該校所有學(xué)生每日使用的時(shí)間t的中位數(shù)；(3)以頻率估計(jì)概率，若在該校學(xué)生中隨機(jī)挑選3人，記這3人每日使用的時(shí)間在48,72的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX【答案】(1)71100；(2)28.8min；(3)分布列見(jiàn)解析，E【分析】（1）由頻率估計(jì)概率即得；（2）設(shè)中位數(shù)為t0，由中位數(shù)定義知t（3）由題可得X～【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知：學(xué)生每日使用的時(shí)間小于36min共有6+30+35=71人，∴所求概率p=（2）設(shè)中位數(shù)為t0，由表格數(shù)據(jù)知：使用的時(shí)間t小于24分鐘的頻率為36100=925<12，使用的時(shí)間t小于36分鐘的頻率為即估計(jì)該校所有學(xué)生每日使用的時(shí)間t的中位數(shù)為28.8min；（3）由題可得學(xué)生每日使用的時(shí)間在48,72內(nèi)的概率為10100=1所以PX=0=PXPX所以X的分布列為：X0123P729243271所以EX【變式22】5．（2022·全國(guó)·）某企業(yè)開(kāi)發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對(duì)A1、A2、(1)若樣品A1、A(2)若5個(gè)樣品全選擇甲方案，其樣品測(cè)試合格個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列及其期望：(3)若測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)，【答案】(1)227；(2)分布列見(jiàn)解析，E(3)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為3，4或者5.【分析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；(2)由條件確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，并由期望公式求期望；(3)設(shè)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為n，通過(guò)設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為ξ，通過(guò)乙方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為η，利用二項(xiàng)分布期望公式和期望的性質(zhì)求E(ξ+（1）因?yàn)闃悠稟1、A2、A3選擇甲方案，A4、所以5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率為P=（2）由已知隨機(jī)變量X的取值有0,1,2,3,4,5，PX=0=PX=2=PX=4=所以X的分布列為：X012345P11040808032∴E(（3）設(shè)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為n，n=0,1,2,3,4,5則選擇乙方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為5?n，并設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為ξ，通過(guò)乙方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為當(dāng)n=0時(shí)，此時(shí)所有樣品均選邦方案乙測(cè)試，則η所以E(當(dāng)n=5時(shí)，此時(shí)所有樣品均選擇方案甲測(cè)試，則ξ所以E(當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，ξ所以E(若使E(ξ+由于n=1,2,3,4，故n綜上，選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為3，4或者5時(shí)，測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3．◆類型3超幾何分布的均值【例題23】（2022·河南南陽(yáng)·）袋中有2個(gè)紅球，m個(gè)藍(lán)球和n個(gè)綠球，若從中不放回地任取2個(gè)球，記取出的紅球數(shù)量為X，則E(X)=A．13 B．724 C．16【答案】B【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，結(jié)合超幾何分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算可得m,【詳解】P(X=0)=Cm+n2Cm+n+22=(m+n)(m+n故選：B【變式23】1．（2022·湖北·十堰東風(fēng)高級(jí)中學(xué)）一個(gè)箱子中有6個(gè)大小相同產(chǎn)品，其中4個(gè)正品、2個(gè)次品，從中任取3個(gè)產(chǎn)品，記其中正品的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的均值EX【答案】2【分析】先求得X的可能取值為1，2，3對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而利用期望的定義求得EX【詳解】任取3個(gè)產(chǎn)品，記其中正品的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為1，2，3則P則E故答案為：2【變式23】2．（2022·天津市第四十七中學(xué)）為進(jìn)一步做好新冠疫情防控工作，某地組建一只新冠疫苗宣傳志愿者服務(wù)隊(duì)，現(xiàn)從2名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取2人作為隊(duì)長(zhǎng)，則在“抽取的2人中至少有一名女志愿者”的前提下“抽取的2人全是女志愿者”的概率是________；若用X表示抽取的2人中女志愿者的人數(shù)，則EX【答案】

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【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率公式和超幾何分布的期望公式，即可求解.【詳解】設(shè)抽取的2人全是女志愿者為事件A，抽取的2人中至少有一名女志愿者為事件B，則PAB=C32由題意知，X~H(2,3,5)故答案為：13；9【變式23】3．（2022·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））某中學(xué)為增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，舉辦了“愛(ài)貴陽(yáng)，護(hù)環(huán)境”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，為了解本次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)參賽學(xué)生的成績(jī)，從中抽取了n名學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分，所有學(xué)生的得分都在區(qū)間50,100中）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，的分組作出如圖甲所示的頻率分布直方圖，并作出如圖乙的樣本分?jǐn)?shù)莖葉圖（圖中僅列出了得分在50,60，60,70的數(shù)據(jù)）．(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值；(2)在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的2組學(xué)生中按分層抽樣抽取了5名學(xué)生，再?gòu)某槿〉倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生到觀山湖公園參加環(huán)保知識(shí)宣傳活動(dòng)，設(shè)抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)?0,90的人數(shù)為X，將樣本頻率視為概率，求X的概率分布列及期望．【答案】(1)n=40，x=0.0025，y【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖與莖葉圖分?jǐn)?shù)在同區(qū)間中的頻率與頻數(shù)，可求得所求；（2）利用頻率分布直方圖分別求出分?jǐn)?shù)在80,90與90,100的學(xué)生人數(shù)，從而求得在兩區(qū)間抽取出的學(xué)生人數(shù)，再利用古典概型與組合數(shù)求得X的分布列與期望.【詳解】（1）由直方圖可知，分?jǐn)?shù)在60,70中的頻率為0.0075×10=0.075，根據(jù)莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在60,70中的頻數(shù)為3，所以樣本容量n=根據(jù)莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在50,60中的頻數(shù)為1，所以分?jǐn)?shù)在50,60中的頻率為140所以由10x=0.025得再由0.0025+0.0075+y+0.0300+0.0200×10=1所以n=40，x=0.0025，（2）由題意，本次競(jìng)賽成績(jī)樣本中分別在80,90中的學(xué)生有40×0.03×10=12名，分?jǐn)?shù)在90,100中的學(xué)生有40×0.02×10=8名，抽取分?jǐn)?shù)在80,90中的學(xué)生有5×1212+8=3名，抽取分?jǐn)?shù)在90,100由題可知，X的所有取值有0，1，2，PX=0=C3所以，X的分布列為：X012P133∴EX【變式23】4．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高三期中）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙成功對(duì)接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號(hào)航天員乘組成功開(kāi)啟問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙艙門，順利進(jìn)入問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國(guó)空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場(chǎng)，計(jì)劃10月發(fā)射.中國(guó)空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長(zhǎng)期有人照料的國(guó)家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，支持開(kāi)展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識(shí)，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽(yáng)能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評(píng)委測(cè)試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰(shuí)闖關(guān)成功的可能性更大.【答案】(1)81125(2)分布列見(jiàn)解析，E【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求解，（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算概率，即可得分布列，通過(guò)比較甲乙兩人闖關(guān)成功的概率大小，即可判斷誰(shuí)的成功的可能性更大.【詳解】（1）乙正確完成2個(gè)程序或者3個(gè)程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則P(（2）由題意知隨機(jī)變量X所有可能取值為0，1，2，3，P(X=0)=C43C故X的分布列為X0123P1311所以E(所以甲闖關(guān)成功的概率為12+1【變式23】5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市n（n∈N?(1)在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為大集團(tuán)的概率；(2)若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望.【答案】(1)58(2)X的分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由題意根據(jù)全是小集團(tuán)的概率列方程求出n的值，根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算全為大集團(tuán)的概率值；（2）由題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．（1）由題意知共有n+4個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是Cn+42，其中全是小集團(tuán)的情況有整理得到n+3n+4=72即若2個(gè)全是大集團(tuán)，共有C5若2個(gè)全是小集團(tuán)，共有C4故在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，全為大集團(tuán)的概率為1010+6（2）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3，計(jì)算PX=0=PX=2=故X的分布列為：X0123P51051數(shù)學(xué)期望為EX【變式23】6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校高一，高二年級(jí)的學(xué)生參加書法比賽集訓(xùn)，高一年級(jí)推薦了4名男生，2名女生，高二年級(jí)推薦了3名男生，5名女生，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參加市上比賽.(1)求高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)正式比賽時(shí)，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取2人參賽，設(shè)ξ表示參賽的男生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】(1)435；(2)ξ的分布列見(jiàn)解析，E【分析】（1）首先求出從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)的抽取方法數(shù)為C73?C7（2）依題意ξ的所有可能取值為0,1,2，并且符合超幾何分布，分別求出所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列求其期望即可.（1）∵從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)的抽取方法數(shù)為C7代表隊(duì)中恰好有1名高一學(xué)生的抽取方式中，恰有1名高一學(xué)生，若學(xué)生為男生，則抽取方法數(shù)為C4若學(xué)生為女生，則抽取方法數(shù)為C3∴高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率P=（2）依題意得，ξ的所有可能取值為0,1,2，則PξPξPξ∴ξξ012P131∴E【變式23】7．（2022·北京海淀·高二期末）研究表明，過(guò)量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問(wèn)題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國(guó)明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國(guó)某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖一，每年新能源汽車銷量占比如表一．（注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量占比1.5%2%3%5%8%9%20%表一(1)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬(wàn)輛的概率(2)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過(guò)0.5萬(wàn)輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)對(duì)該地區(qū)連續(xù)三年的新能源汽車銷量作統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，若第三年的新能源汽車銷量大于前兩年新能源汽車銷量之和，則稱第三年為“爆發(fā)年”．請(qǐng)寫出該地區(qū)從2017年至2021年中“爆發(fā)年”的年份．（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)6(2)X的分布列為：X012P10101期望E(3)2019年，2021年【分析】（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解.（2）根據(jù)超幾何分布即可求對(duì)應(yīng)事件的概率進(jìn)而可得分布列以及期望.（3）根據(jù)“爆炸年”的定義即可分析數(shù)據(jù)得以求解.（1）從2015年到2021年這七年中，汽車總銷量不小于5.5萬(wàn)輛的年份有2016，2017，2018，2019，2020，2021共有6年，故從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬(wàn)輛的概率為6（2）從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年共有C7故X可取:0，1，2P(X的分布列為：X012P10101期望E（3）從2015年到2021年這七年中，新能源汽車銷量（單位：萬(wàn)輛）分別為：0.0615，0.112，0.168，0.275，0.456，0.540，1.16，其中0.168+0.275=0.443>0.456,0.456+0.540=0.996>1.16，故只有2021，2018，2019連續(xù)三年以及2019，2020，2021這三年第三年的銷量大于前兩年的銷量之和，故“爆發(fā)年”的年份為：2019，2021年.題型3離散型隨機(jī)變量的方差【方法總結(jié)】（1）求離散型隨機(jī)變量方差的步驟①理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X的所有取值；②求出X取每個(gè)值的概率；③寫出X的分布列；④計(jì)算E（X）⑤計(jì)算D（X）.（2）線性關(guān)系的方差計(jì)算∶若n=aξ+b，則D（η）=a2D(Xξ).【例題3】（2022·全國(guó)·）已知隨機(jī)變量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量ξ2取值x1+x22，x2+x32，x3+x42，【答案】>【分析】利用隨機(jī)變量的期望，方差公式及基本不等式即得.【詳解】∵EξEξ∴Eξ1=∴Dξ同理D(∵x1+x∴x1∴Dξ故答案為：>.【變式31】1．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)）某網(wǎng)站規(guī)定：一個(gè)郵箱在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該郵箱將被鎖定24小時(shí).小王發(fā)現(xiàn)自己忘記了郵箱密碼，但是可以確定該郵箱的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該郵箱被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定的概率；(2)設(shè)當(dāng)天小王嘗試該郵箱的密碼次數(shù)為X，求X的分布列及EX，D【答案】(1)12(2)X的分布列見(jiàn)解析，EX【分析】（1）“當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定”即3次嘗試均錯(cuò)誤，進(jìn)而求解；（2）由題X可能取到1，2，3，分別求得概率，列出分布列，根據(jù)期望和方差的公式求解即可.（1）設(shè)“當(dāng)天小王的該郵箱被鎖定”為事件A，則P（2）由題意，X可能取到1，2，3，則PX=1=16所以X的分布列為：X123P161623所以EX=1×【變式31】2．（2022·全國(guó)·）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ、η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8、7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2．(1)求ξ、η的分布；(2)比較甲、乙的射擊技術(shù)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)甲比乙的射擊技術(shù)好．【分析】（1）由概率和為1求出對(duì)應(yīng)概率，列出分布列即可；（2）分別計(jì)算期望和方差，比較即可作出判斷.（1）由題意得：0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1ξ10987P0.50.30.10.1η的分布為η10987P0.30.30.20.2（2）由（1）得：Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2；DξDη由于Eξ>E【變式31】3．（2023·全國(guó)·）為了響應(yīng)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號(hào)召，小李畢業(yè)后開(kāi)了水果店，水果店每天以每個(gè)5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干西瓜，然后以每個(gè)10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的西瓜作贈(zèng)品處理．(1)若水果店一天購(gòu)進(jìn)16個(gè)西瓜，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：個(gè)，n∈N(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若水果店一天購(gòu)進(jìn)16個(gè)西瓜，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若水果店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16個(gè)或17個(gè)西瓜，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16個(gè)還是17個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y(2)①分布列見(jiàn)解析；期望為76，方差44；②應(yīng)購(gòu)進(jìn)17個(gè)；理由見(jiàn)解析【分析】（1）分n≥16和n（2）①依題意可得X的可能取值為60，70，80，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望與方差；②求出購(gòu)進(jìn)17個(gè)西瓜所對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)，即可判斷.（1）解：當(dāng)n≥16時(shí)，y=16×(10?5)=80，當(dāng)n≤15所以y=（2）解：①依題意可得X的可能取值為60，70，80，所以P(X=60)=0.1，P所以X的分布列為X607080P0.10.20.7所以EXDX②購(gòu)進(jìn)17個(gè)時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為y=(14×5?3×5)×0.1+(15×5?2×5)×0.2+(16×5?1×5)×0.16+17×5×0.54，因?yàn)?6.4>76，所以應(yīng)購(gòu)進(jìn)17個(gè)．【變式31】4．（2022·北京·）某食品加工廠為了調(diào)查客戶對(duì)其生產(chǎn)的五種口味產(chǎn)品的滿意情況，隨機(jī)抽取了一些客戶進(jìn)行回訪，調(diào)查結(jié)果如下表：產(chǎn)品口味ABCDE回訪客戶（單位：人）100150200300250滿意率0.30.20.50.30.6滿意率是指某種口味的產(chǎn)品的回訪客戶中，滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.假設(shè)客戶是否滿意相互獨(dú)立，且客戶對(duì)于每種口味產(chǎn)品滿意的概率與表格中該口味產(chǎn)品的滿意率相等.(1)從D口味產(chǎn)品的回訪客戶中隨機(jī)選取1人，求這個(gè)客戶不滿意的概率；(2)從A,C所有客戶中各隨機(jī)抽取1，設(shè)其中的滿意的人數(shù)為X，求(3)用“η1=1”，“η2=1”，“η3=1”，“η4=1”，“η5=1”分別表示A,B,C,D,E口味產(chǎn)品讓客戶滿意，“η1=0”，“【答案】(1)0.7(2)分布列見(jiàn)解析，EX=0.8【分析】（1）根據(jù)D口味產(chǎn)品的樣本中的回訪客戶的滿意率，結(jié)合滿意與不滿意的概率和為1求解即可；（2）由題求出滿意的人數(shù)為X的分布列，繼而求出期望;（3）根據(jù)公式直接得出結(jié)果，然后作比較.(1)由題意知，這個(gè)客戶滿意的概率為0.3，故不滿意的概率為1?0.3=0.7(2)由題意，總共抽取2人，故X=0,1,2設(shè)事件A為“從A口味產(chǎn)品所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，事件B為“從C口味產(chǎn)品所有客戶中隨機(jī)抽取的人滿意”，且A、B為獨(dú)立事件.根據(jù)題意，PA=0.3，則PX=0=0.3×0.5+0.7×0.5=0.5；PX的分布列為X012P0.350.50.15X的期望E(3)由題，A口味的平均數(shù)為0.3,所以Dη同理DηDηDη4=0.3×(1?0.3)2【變式31】5．（2022·江蘇宿遷·）在做數(shù)學(xué)卷多選題時(shí)考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯(cuò)得0分，在四個(gè)選項(xiàng)中只選出一個(gè)自己最有把握的選項(xiàng)，將多選題當(dāng)作“單選題”來(lái)做，選對(duì)得2分；策略B：爭(zhēng)取得5分，選出自己認(rèn)為正確的全部選項(xiàng)，漏選得2分，全部選對(duì)得5分．本次期末考試前，某同學(xué)通過(guò)模擬訓(xùn)練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：策略概率每題耗時(shí)（分鐘）第11題第12題A選對(duì)選項(xiàng)0.80.53B部分選對(duì)0.60.26全部選對(duì)0.30.7已知該同學(xué)作答兩題的狀態(tài)互不影響，但這兩題總耗時(shí)若超過(guò)10分鐘，其它題目會(huì)因?yàn)闀r(shí)間緊張而少得1分．根據(jù)以上經(jīng)驗(yàn)解答下列問(wèn)題：(1)若該同學(xué)此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設(shè)他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差；(2)若該同學(xué)期望得到高分，請(qǐng)你替他設(shè)計(jì)答題方案．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，EX=3.7(2)11題和12題均采用策略B，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）先求出隨機(jī)變量X的可能取值，然后求出其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望與方差；（2）依題意列出所有可能情況，分別求出數(shù)學(xué)期望，即可判斷；(1)解：設(shè)事件B1為“第11題得0分”，事件B2為“第11題得2分”，事件事件A1為“第12題得0分”，事件A所以P(B1)=0.1，P(B2由題意可知，X的可能取值為0，2，4，5，7，則P(P(P(P(P(所以小明第11題和第12題總得分X的分布列為：X02457P0.050.350.30.150.15所以EXD(2)解：依題意該同學(xué)答題方案有：方案1:11題采用策略B，12題采用策略A；方案2:11題和12題均采用策略B；方案3:11題和12題均采用策略A；方案4:11題采用策略A，12題采用策略B；設(shè)隨機(jī)變量Y為該同學(xué)采用方案2時(shí)，第11題和第12題總得分，則Y的可能取值為0，2，4，5，7，10，故P(P(P(P(P(P(故Y的分布列為：Y0245710P0.010.080.120.10.480.21所以E(但因?yàn)闀r(shí)間超過(guò)10分鐘，后面的題得分少1分，相當(dāng)于得分均值為37.04?1=6.04分，因?yàn)?.04>3.7，方案3的期望值一定小于4，故不選方案3，設(shè)隨機(jī)變量Z為該同學(xué)采用方案4時(shí)，第11題和第12題總得分，則Z的可能取值為0，2，4，5，7，故P(P(P(P(P(故Z的分布列為：Z02457P0.020.120.160.140.56所以E(方案4的期望值也小于E(Y)所以我建議該同學(xué)按照方案2:11題和12題均采用策略B．【變式31】6．（2023·全國(guó)·）袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)球，求兩球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次模出兩個(gè)球，記ξ為摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)，求ξ的期望和方差．【答案】(1)1225(2)45【分析】（1）由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式可求解；（2）先求白球的個(gè)數(shù)的所有可能取值，再分別求解每個(gè)取值的概率，進(jìn)而可得結(jié)果.（1）記“摸出一球，放回后再摸出一個(gè)球，兩球顏色不同”為事件A，摸出一球是白球的概率為25，摸出一球是黑球的概率為3由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式得到P(（2）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，當(dāng)ξ=0時(shí)，表示摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)ξ=1時(shí)，表示摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)ξ=2時(shí)，表示摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)為2，∴EξDξ即摸出白球個(gè)數(shù)ξ的期望和方差分別是45，9【變式31】7．（2022·江蘇省揚(yáng)州市教育局）甲、乙、丙進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：賽前抽簽決定先比賽的兩人，另一人輪空：每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有人累計(jì)勝兩場(chǎng)，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙先比賽，丙輪空.設(shè)比賽的場(chǎng)數(shù)為X，且每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求PX=2和(2)求X的標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】(1)P(X=2)=1【分析】（1）分析X=2，X（2）根據(jù)題意可得X可能的取值為2,3,4，再求解X=4(1)X=2P(X=3P((2)根據(jù)題意可得X可能的取值為2,3,4.X=4甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，甲勝乙，結(jié)果甲勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；P(E(D(X)=題型4兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差【方法總結(jié)】?jī)牲c(diǎn)分布與二項(xiàng)分布方差的計(jì)算步驟判斷∶判斷隨機(jī)變量服從什么分布.（2）計(jì)算∶直接代入相應(yīng)的公式求解方差.◆類型1二項(xiàng)分布的方差【例題41】（2022·全國(guó)·）某科技公司新開(kāi)發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率均為12(1)求系統(tǒng)G不需要維修的概率；(2)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)完成相同的系統(tǒng)G組成，設(shè)該電子產(chǎn)品系統(tǒng)維修所需的費(fèi)用為Y元，求Y的均值與方差；(3)為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)G內(nèi)增加2個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后，若有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，問(wèn)：p滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)G正常工作的概率？【答案】(1)1(2)EY=750(3)p【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式直接求解；（2）分析出X~B3,（1）系統(tǒng)G不需要維修的概率為C3（2）設(shè)X為需要維修的系統(tǒng)G的個(gè)數(shù)，則X~B3,12，且Y所以Y的分布列為Y050010001500P1331所以EYDY（3）當(dāng)系統(tǒng)G有5個(gè)電子元件時(shí)，若前3個(gè)電子元件中有1個(gè)正常工作，則新增的2個(gè)電子元件必須都正常工作，所以系統(tǒng)G正常工作的概率為C3若前3個(gè)電子元件中有2個(gè)正常工作，則新增的2個(gè)電子元件至少有1個(gè)正常工作，所以系統(tǒng)G正常工作的概率為C3若前3個(gè)電子元件中3個(gè)都正常工作，則不管新增的2個(gè)電子元件能否正常工作，系統(tǒng)G均能正常工作，所以系統(tǒng)G正常工作的概率為C3所以新增2個(gè)電子元件后，系統(tǒng)G能正常工作的概率為38令34p+所以當(dāng)p∈【變式41】1．（2021·四川·涼山州西昌天立學(xué)校）在新中國(guó)建黨100周年之際，西昌市某中學(xué)的數(shù)學(xué)課題研究小組在某一個(gè)地區(qū)區(qū)做了一個(gè)關(guān)于在每天晚上7：30~10：00共2.5小時(shí)內(nèi)，居民瀏覽“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)間的調(diào)查．如果這個(gè)社區(qū)共有成人10000人，每人每天晚上7：30~10：00期間打開(kāi)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)App”的概率均為p（某人在某一時(shí)刻打開(kāi)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)App”的概率p=學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)調(diào)查總時(shí)長(zhǎng)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)/min50,6060,7070,8080,9090,100頻數(shù)1020402010(1)試估計(jì)p的值；(2)設(shè)X表示這個(gè)社區(qū)每天晚上打開(kāi)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)App”進(jìn)行學(xué)習(xí)的人數(shù)．求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差D【答案】(1)p(2)EX=5000【分析】（1）利用每組學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的中點(diǎn)值乘以每組的頻率再求和可得答案；（2）由X~（1）該社區(qū)內(nèi)的成人每天晚上的平均學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)為55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75min，而調(diào)查總時(shí)長(zhǎng)為150（min），故p（2）根據(jù)題意，X~故EX=np【變式41】2．（2023·全國(guó)·）第30屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽在浙江省蕭山中學(xué)舉行．為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；(2)在這50名學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?cè)?0,80，80,90，90,100的三組中抽取11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記ζ為3人中成績(jī)?cè)?0,90的人數(shù)，求ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績(jī)?cè)?0,100的為A等級(jí)，成績(jī)?cè)?0,90的為B等級(jí)，其他為C等級(jí)．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人，其中獲得B等級(jí)的人數(shù)設(shè)為η，求η的數(shù)學(xué)期望和方差．【答案】(1)m=0.012(2)分布列見(jiàn)解析，9(3)數(shù)學(xué)期望40，方差24【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖中條形面積和為1求解即可，再根據(jù)小于中位數(shù)的頻率為0.5求解中位數(shù)即可；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可得從[70,80)，[80,90)，[90,100]三組中分別抽取7人、3人、1人，可得ζ的可能取值為0，1，2，3，再分別計(jì)算概率求出分布列與數(shù)學(xué)期望即可；（3）由題意知η～（1）(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1，解得前兩組的頻率之和為0.04+0.22=0.26<0.50，前三組的頻率之和為0.04+0.22+0.30=0.56>0.50，設(shè)中位數(shù)為x0，則x所以0.26+(x0?60)×0.030=0.50（2）[70,80)，[80,90)，[90,100]三組數(shù)據(jù)頻率比為0.28:0.12:0.04=7:3:1，所以從[70,80)，[80,90)，[90,100]三組中分別抽取7人、3人、1人．ζ的可能取值為0，1，2，3，P(ζ=0)=P(ζ=2)=所以ζ的分布列為ζ0123P562881E(ζ)=0×56165（3）[70,90)的頻率為0.28+0.12=0.4，由題意知η～所以E(D(【變式41】3．（2022·全國(guó)·）為了響應(yīng)全民健身和運(yùn)動(dòng)的號(hào)召，某單位舉行了羽毛球趣味發(fā)球比賽，規(guī)則如下：每位選手可以選擇在A區(qū)發(fā)球2次或者B區(qū)發(fā)球3次，球落到指定區(qū)域內(nèi)才能得分．在A區(qū)發(fā)球時(shí)，每得分一次計(jì)2分，不得分記0分，在B區(qū)發(fā)球時(shí)，每得分一次計(jì)3分，不得分記0分，得分高者勝出．已知選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次發(fā)球得分的概率分別為23，1(1)如果選手甲從在A區(qū)和B區(qū)發(fā)球得分的期望值角度考慮，問(wèn)選手甲應(yīng)該選擇在哪個(gè)區(qū)發(fā)球？(2)如果選手甲從在A區(qū)和B區(qū)發(fā)球得分的方差角度考慮，問(wèn)選手甲應(yīng)該選擇在哪個(gè)區(qū)發(fā)球？【答案】(1)選手甲應(yīng)該選擇在B區(qū)發(fā)球；(2)選手甲應(yīng)該選擇在A區(qū)發(fā)球.【分析】（1）求出甲在A區(qū)發(fā)球得分的期望和甲在B區(qū)發(fā)球得分的期望，比較即得解；（2）求出D(2（1）解：設(shè)選手甲在A區(qū)發(fā)2次球得分的次數(shù)為X，則X～所以E(所以甲在A區(qū)發(fā)球得分的期望為E2設(shè)選手甲在B區(qū)發(fā)3次球得分的次數(shù)為Y，則Y～B3,所以甲在B區(qū)發(fā)球得分的期望為E3由于3>8（2）解：因?yàn)镈(X)=2×所以D2X=4由于169【變式41】4．（2022·全國(guó)·）一只小蟲(chóng)從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)爬行，若一次爬行過(guò)程中，小蟲(chóng)等概率地向前或向后爬行1個(gè)單位，設(shè)爬行n次后小蟲(chóng)所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變量ξn(1)若ξ2(2)n=2020時(shí)，小蟲(chóng)最有可能爬行到的位置，并說(shuō)明理由；(3)求Eξn?【答案】(1)C2(2)在原點(diǎn)處；理由見(jiàn)解析；(3)Eξn?D【分析】（1）由題可知小蟲(chóng)爬行2n次后，共向前爬行n（2）設(shè)2020次爬行中有k次向前，由題可得Pξ（3）利用二項(xiàng)分布及期望，方差的性質(zhì)即得.（1）由題可知小蟲(chóng)爬行2n次后，共向前爬行n次，故ξ2n（2）設(shè)2020次爬行中有k次向前，則k~B2020,12所以Pξ所以，當(dāng)k=1010時(shí)，P此時(shí)ξ2020（3）設(shè)小蟲(chóng)n次爬行中有k次向前，則ξn=2k?n∴Pξn=2k?所以Eξn=Eξn?D【變式41】5．（2022·江西九江·）2022年某學(xué)校組織“一路一帶”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，經(jīng)過(guò)幾次選拔，甲?乙兩個(gè)班級(jí)最后進(jìn)入決賽.決賽規(guī)定：通過(guò)完成一項(xiàng)活動(dòng)作為奪冠的依據(jù)，從每個(gè)班級(jí)出4名選手，再?gòu)?名選手中隨機(jī)抽取2人分別完成該項(xiàng)活動(dòng).已知甲班的4人中有3人可以完成該項(xiàng)活動(dòng)，乙班的4人能正確完成該項(xiàng)活動(dòng)的概率均為34(1)求從甲?乙兩個(gè)班級(jí)的選手中抽取的4人都能完成該項(xiàng)活動(dòng)的概率；(2)設(shè)從甲?乙兩個(gè)班級(jí)抽取的選手中能完成該項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)分別為X?Y，求隨機(jī)變量X?Y的期望EX?EY和方差DX【答案】(1)932(2)E(X)=32，E【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的4人都能正確回答的概率；（2）甲班級(jí)能正確回答題目人數(shù)為X，X的取值分別為1，2，分別求出相應(yīng)概率，從而求出EX，DX；乙班級(jí)能正確回答題目人數(shù)為Y，Y的取值分別為0，1，2，且Y~B2,34，從而求出E(1)甲班抽取的2人能完成該項(xiàng)活動(dòng)的概率為：P(乙班抽取的2人能完成該項(xiàng)活動(dòng)的概率為：P(故從甲?乙兩個(gè)班級(jí)的選手中抽取的4人都能完成該項(xiàng)活動(dòng)的概率為：P((2)甲班抽取的選手中能完成該項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)分別為X，則X的取值為1，2.P(X=1)=則E(D(乙班抽取的選手中能完成該項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)分別為Y，則Y的取值為0，1，2，由已知Y~B2,D(因?yàn)镋X=E【變式41】6．（2022·上海市虹口高級(jí)中學(xué)）某班級(jí)分小組進(jìn)行科普知識(shí)問(wèn)題競(jìng)答.甲乙兩個(gè)小組分別從5個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答.已知這5個(gè)問(wèn)題中，甲組能正確回答其中3個(gè)問(wèn)題，而乙組能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為35(1)求甲小組答對(duì)題數(shù)X的分布；(2)若從甲乙兩個(gè)小組中選拔一組代表班級(jí)參加學(xué)校決賽，請(qǐng)從答對(duì)題數(shù)的期望和方差角度，分析說(shuō)明選擇哪個(gè)小組更好？【答案】(1)分布列見(jiàn)詳解(2)甲小組【分析】（1）由題意，判斷甲答對(duì)題數(shù)X的可能值，并求出對(duì)應(yīng)值的概率，即可得分布列.（2）由（1）所得分布列求出甲小組的期望和方差，由題設(shè)乙答對(duì)題數(shù)Y~(1)設(shè)甲答對(duì)題數(shù)為X，X可能取值為1，2，3，則P(X=1)=C3∴甲答對(duì)題數(shù)X的分布列為：X123P331(2)由（1）得：E(X)=1×310+2×35+3×110∵EX=E∴甲與乙的平均水平相當(dāng)，但甲比乙的成績(jī)更穩(wěn)定，故選擇甲小組.【變式41】7．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）據(jù)調(diào)查，目前對(duì)于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺(jué)時(shí)佩戴的一種特殊的隱形眼鏡（因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，所以越來(lái)越多的小學(xué)生家長(zhǎng)選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展），A市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人（其中佩戴角膜塑形鏡的有6人，其中2名是男生，4名是女生）(1)若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率是多大？(2)從這6名戴角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出2個(gè)人，求其中男生人數(shù)X的期望與方差；(3)若將樣本的頻率當(dāng)做估計(jì)總體的概率，請(qǐng)問(wèn)，從A市的小學(xué)生中，隨機(jī)選出20位小學(xué)生，求佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)Y的期望和方差．【答案】(1)1(2)EX=(3)期望是1.2，方差是1.128【分析】（1）先求解這位小學(xué)生戴眼鏡的概率，再求這位小學(xué)生佩戴眼鏡，且眼鏡是角膜塑形鏡的概率，再根據(jù)條件概率的公式求解即可；（2）易得男生人數(shù)X的所有可能取值分別為0，1，2，再根據(jù)概率公式求解分布列，再根據(jù)公式求解數(shù)學(xué)期望與方差即可；（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式求解即可(1)根據(jù)題中樣本數(shù)據(jù)，設(shè)“這位小學(xué)生佩戴眼鏡”為事件A，則PA=24100=0.24所以從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是14(2)依題意，佩戴角膜塑形鏡的有6人，其中2名是男生，4名是女生，故從中抽2人，男生人數(shù)X的所有可能取值分別為0，1，2，PX=0=C4所以男生人數(shù)X的分布列為：X012P681所以EX=1×(3)由已知可得：Y則：EY=所以佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)Y的期望是1.2，方差是1.128◆類型2超幾何分布的方差【例題42】（2022·吉林油田第十一中學(xué)）冬奧會(huì)志愿者有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名志愿者中，三名同學(xué)來(lái)自北京大學(xué)，其余7名同學(xué)來(lái)自北京郵電大學(xué)，北京交通大學(xué)等其他互不相同的7所大學(xué).現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到機(jī)場(chǎng)參加活動(dòng).(每位同學(xué)被選中的可能性相等).(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的大學(xué)的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的期望和方差.【答案】(1)4960；(2)EX=【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.（2）由題可知P((1)設(shè)A為選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的大學(xué)，則P((2)由題可知隨機(jī)變量X的所有可能值為0,1,2,3.∴XX0123P1131∴

EDX【變式42】1．（2022·北京·）某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)若全校學(xué)生參加同樣的測(cè)試，試估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)（每組成績(jī)用中間值代替）；(2)在樣本中，從其成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用X表示其成績(jī)?cè)赱90,100]中的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成績(jī)?cè)赱80,90)的人數(shù)，試判斷方差D(X)【答案】(1)72.6；(2)分布列見(jiàn)解析，EX=1；(3)【分析】（1）利用直方圖的性質(zhì)及平均數(shù)的計(jì)算方法即得；（2）由題可知X服從超幾何分布，即求；（3）由超幾何分布即得.(1)由直方圖可得第二組的頻率為1?0.06?0.18?0.32?0.20?0.10=0.14，∴全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋?5×0.06+55×0.14+65×0.18+75×0