湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

年湖北部分名校高二3月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：黃陂一中（前川校區(qū)）命題教師：胡啟軍李波王愛文余嘉倫審題學(xué)校：鄂南高中考試時(shí)間：年3月日下午：：試卷滿分：分注意事項(xiàng)：．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題：每小題5分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知是等差數(shù)列，，則（）A.0B.5C.10D.15【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，，①又由可得，，即，②由①②解得，所以，故選:A.2.在等比數(shù)列中，，，則公比（）第1頁/共24頁A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楣葹榈牡缺葦?shù)列滿足，，由題意可得，故.故選：B.3.棱長為的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)可計(jì)算得出的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，故.故選：C.4.已知圓，圓，點(diǎn)P在圓N上運(yùn)動，直線與圓M相切于點(diǎn)A，則的最大長度為（）第2頁/共24頁A.8B.7C.D.【答案】C【解析】【分析】利用圓的切線長公式以及點(diǎn)到圓的距離的位置關(guān)系求解.【詳解】由題，圓，圓，所以圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，作圖如下，因?yàn)?由幾何性質(zhì)可知，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，有最大值為，此時(shí)最大，最大值為，故選:C.5.已知函數(shù)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得，對和的大小進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由可得，，第3頁/共24頁因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，則，當(dāng)時(shí)，則，列表如下：增極大值減極小值增故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，列表如下：增極大值減極小值增故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意.綜上所述，.故選：D.6.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，可求得，求導(dǎo)可得，令，可求得，可求切線方程.【詳解】令，可得，即，解得，由，可得，令，可得，解得，第4頁/共24頁所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D.7.、是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過的直線與的上、下兩支分別交于、兩點(diǎn)．若，，又，則雙曲線的實(shí)軸長為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，在直角中，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出，利用勾股定理可求得，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于的等式，解出的值，進(jìn)而利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的實(shí)軸長.【詳解】如下圖所示：因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，則，故，由雙曲線的定義可得，即，解得，因此，該雙曲線的實(shí)軸長為.故選：B.8.已知數(shù)列、滿足，，這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)組成一個(gè)集合，集合中的數(shù)按從第5頁/共24頁小到大的順序排列組成數(shù)列，的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】、的公共項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列列的前項(xiàng)包含數(shù)列的前項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)，且、、這三項(xiàng)出現(xiàn)兩次，各記為一次，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)為：、、、、、、、、、、、，數(shù)列的各項(xiàng)為：、、、、、、、、、、、，所以，數(shù)列、的公共項(xiàng)為：、、、，則數(shù)列、公共項(xiàng)構(gòu)成以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，則，且，所以，數(shù)列的前項(xiàng)包含數(shù)列的前項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)，且、、這三項(xiàng)出現(xiàn)兩次，各記為一次，所以，.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)在于確定數(shù)列的前解.二、多選題：本題共3小題，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.在棱長為2的正方體EFG分別為P為線段上的動點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）第6頁/共24頁A.B.三棱錐的體積為定值C.平面截正方體所得的截面面積為9D.存在實(shí)數(shù)使得【答案】BD【解析】【分析】連接，求得，利用勾股定理的逆定理可判斷A；取的中點(diǎn)，連接，利用線面位置關(guān)系可得平面，可判斷B；連接，可得截面為四邊形，求得面積可判斷C；利用四邊形為梯形，可判斷D.【詳解】對于A，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又易求得，所以，所以不垂直于，所以不垂直于，故A錯(cuò)誤；對于B，取的中點(diǎn)，連接，第7頁/共24頁由E、F、G分別為的中點(diǎn)，所以可得，又平面，平面，所以平面，又易得，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，又，所以到平面距離為定值，又為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確.對于C，連接，因?yàn)镋、F分別為的中點(diǎn)，所以易得，且，則四點(diǎn)共面，所以平面截正方體所得的截面為四邊形，由題意可得，所以四邊形為等腰梯形，所以梯形的高為，所以四邊形的面積為，故C錯(cuò)誤；對于D，易知，又因?yàn)镋、F分別為的中點(diǎn)，第8頁/共24頁所以，且，則四點(diǎn)共面，所以四邊形為梯形，又為相交直線，所以存在實(shí)數(shù)使得，又因?yàn)榍遥?，所以存在?shí)數(shù)使得，故D正確.故選：BD.10.已知橢圓，斜率為k且不經(jīng)過原點(diǎn)O直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓的左頂點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的（）A.若直線斜率為，則B.若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則直線l的方程為C.若直線l的方程為，則D.若直線l過橢圓右焦點(diǎn)，則線段的最小值為1【答案】BC【解析】AA和點(diǎn)斜式可得BC直線方程為，聯(lián)立曲線由弦長公式可得D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)，對于A，由題意可得，，所以，第9頁/共24頁因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，代入上式可得，故A錯(cuò)誤；對于B，由A可得，由點(diǎn)斜式可得，化簡可得直線l的方程為，故B正確；對于C，聯(lián)立，消去可得，，，由弦長公式可得，故C正確；對于D，橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)此時(shí)直線方程為，聯(lián)立曲線方程可得，消去可得，，，由弦長公式可得，由函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)取得最小值為1，但此時(shí)斜率不存在，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：BC分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：13610稱為三角形數(shù)；第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，稱為正方形數(shù)．記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（）第10頁/共24頁A.B.1275既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C.D.，總存在，使得成立【答案】ACD【解析】【分析】用累加法求得，再用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可判斷A；分別令，計(jì)算可得是三角形數(shù)的第50項(xiàng)，但1275不是完全平方數(shù)，可判斷B；將放縮后用裂項(xiàng)相消法求和即可判斷C；計(jì)算可得，可得結(jié)論.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)也滿足上式，所以，所以，故A正確；對于B，由得，，即，解得，故1275是三角形數(shù)的第50項(xiàng)，但1275不是完全平方數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，，其中，所以當(dāng)時(shí)，第11頁/共24頁，當(dāng)或時(shí)不等式顯然成立，故C正確：對于D，，所以，故，總存在，使得成立，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于用累加法求得數(shù)列的累加法求得通項(xiàng)公式，利用放縮法求得，求解可得結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.在棱長為的正四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】【分析】將用基底表示，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】連接，如下圖所示：由空間向量數(shù)量積的定義可得，同理可得，，所以，第12頁/共24頁.故答案為：.13.已知圓的距離等于的范圍是____________．【答案】【解析】的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)之即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x方程僅有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．【答案】第13頁/共24頁【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論函數(shù)求解即可.【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋畬瘮?shù)求導(dǎo)得，令，可得；令，可得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故當(dāng)時(shí)，有極小值為．作出函數(shù)圖象如下，令，則方程化成，解得或，則有1個(gè)實(shí)數(shù)解，所以或且，解得或且，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）若，求在上的最大值；第14頁/共24頁（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)上的最大值；（2函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】，①當(dāng)時(shí)，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；第15頁/共24頁②當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.16.已知在數(shù)列中，為其前的前項(xiàng)和為，且有，.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）令，若的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】1）令，可求得的值，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定其首項(xiàng)和公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，由可得出，結(jié)合等比中項(xiàng)法知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第16頁/共24頁（2）求得，利用錯(cuò)位相減法求出，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，即，化為：，對任意的，，所以，，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，則．當(dāng)時(shí)，，即，可得，因?yàn)?，，所以，?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，．【小問2詳解】因?yàn)?，則，，則，上述兩個(gè)等式作差可得，因?yàn)椋裕?17.如圖，在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)．第17頁/共24頁（1）證明：平面平面；（2M滿足與平面所成角的正弦值為與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）推導(dǎo)出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍可求出的值，然后利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連接，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，且，又，則，且，所以，，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，平面平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第18頁/共24頁則、、、，所以，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量則，取，則，，可得，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，則，整理可得，因?yàn)?，解得，則，所以，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，，因此，面與平面夾角的余弦值為．第19頁/共24頁18.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離相等．直線過點(diǎn)交曲線于、兩點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）若，求直線的方程；（3軸的直線被以的方程？若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】1）分析可知，曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，即可得出曲線的方程；（2）分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由可得可求出的值，由此可得出直線的方程；（3）設(shè)直線的方程為，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出直線截圓所得弦長的表達(dá)式，根據(jù)弦長為值可求得的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】因?yàn)榍€上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離相等．所以，曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，第20頁/共24頁聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，由得，可得，所以，，則，所以，，解得.因此，直線的方程為.【小問3詳解】設(shè)直線的方程為，線段中點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)、，點(diǎn)到直線的距離為，又，所以，，則，當(dāng)時(shí)，即，截得弦長為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：第21頁/共24頁（1）從特殊入手，求出定值，再證