特訓(xùn)03 二次函數(shù)（浙江中考真題與模擬解答壓軸題）（解析版）

特訓(xùn)03二次函數(shù)(浙江中考真題與模擬，解答壓軸題)

真題演練

一、解答題

1.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題)在二次函數(shù))，=/—2a+3(?0)中，

⑴若它的圖象過點(2,1),則/的值為多少？

(2)當(dāng)OWXW3時，y的最小值為一2,求出，的值：

(3)如果4w-2M),8(4,b),C(m,a)都在這個二次函數(shù)的圖象上,且求刑的取值范圍.

【答案】⑴/=：

(2)1=6

(3)3<，〃<4或，〃>6

【分析】(1)將坐標(biāo)代入解析式，求解待定參數(shù)值：

(2)確定拋物線的對稱軸，對待定參數(shù)分類討論，分0<fW3,當(dāng)工=，時，函數(shù)值最小，以及，>3,當(dāng)x=3

時，函數(shù)值最小，求得相應(yīng)的/值即可得；

(3)由AQ〃-2,a),C(〃?,a)關(guān)于對稱軸對稱得〃?—=/,且3在對稱軸左側(cè),C在對稱軸右側(cè)；確定拋物線

與2軸交點(。，3),此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為(2機-2,3),結(jié)合己知確定出〃?>3；再分類討論：A,8都

在對稱軸左邊時，48分別在對稱軸兩側(cè)時，分別列出不等式進行求解即可.

【解析】(1)將(2,1)代入)，=——2八十3中，

得1=4-4/+3,

3

解得，，=5；

(2)拋物線對稱軸為x=f.

若Ov/43,當(dāng)x=f時，函數(shù)值最小，

.?/-2/+3=-2,

解得/=±-75.

z>0,

t—yjs

若。3,當(dāng)x=3時，函數(shù)值最小，

.*.-2=9-6/+3,

7

解得/=§(不合題意，舍去)

綜上所述，=\f5.

(3)VA(m-2,a),C(m,a)關(guān)于對稱軸對稱

:.，n~^+fn=tjn-\=t,且4在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)

拋物線與7軸交點為(。，3),拋物線對稱軸為直線"=/,

???此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為(2，〃-2,3)

。<3,/?<3且/>0

/.4<2m-2,解得機>3.

當(dāng),4,8都在對稱軸左邊時，

'：a<b

：.4<ni-2,

解得〃?>6,

/.in>6

當(dāng),4,8分別在對稱軸兩側(cè)時

?；a<b1.8到對稱軸的距離大于4到對稱軸的距離

/.4-(/?-1)>tn-\-(tn-2),

解得〃7V4

/.3</77<4

綜上所述3<"?<4或心6.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、極值問題：存在待定參數(shù)的情況下，對可能情況作出分類討論是

解題的關(guān)鍵.

2.(2023?浙江?統(tǒng)考中考真題)已知點(-機0)和(3根,0)在二次函數(shù))，=加+法+3(4/是常數(shù)，"0)的圖像

上.

⑴當(dāng)〃?=7時，求0和％的值;

⑵若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點4(〃,3)且點力不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時，求〃的取值范圍；

(3)求證：b2+4?=0.

【答案］(1)"=7,力=一2

(2)-4<?<-2

（3）見解析

【分析】（1）由，"=-1可得圖像過點（1,0）和（-3,0）,然后代入解析式解方程組即可解答;

（2）先確定函數(shù)圖像的勸稱軸為直線x=則拋物線過點（〃,3）,（0,3）,即〃=2〃?，然后再結(jié)合-2<〃z<-1

即可解答；

（3）根據(jù)圖像的對稱性得-5=〃?，即力=-2,〃〃，頂點坐標(biāo)為（〃?"/+加?+3）；將點（一九0）和（3肛0）分

別代入表達式并進行運算可得am"=-1;則anf+bin+3=am1-2am2+3=-anr+3=4>進而得到

擔(dān)二2=4,然后化簡變形即可證明結(jié)論.

4a

【解析】（1）解：當(dāng)〃R-1時,圖像過點（1,0）和（一3,0）,

0=a+b+3,,a=-\

0=9。-3Z7+3'解得’

b=-2,

0y=-x2-2x+3,

@a=-l,Z?=-2.

（2）解：團函數(shù)圖像過點（一〃八0）和（3或0）,

回函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=.

團圖像過點（〃，3）,（0,3）,

團根據(jù)圖像的對稱性得〃=2〃?.

0-2</??<-1,

0—4<w<—2.

（3）解：團圖像過點（-〃?,0）和（3肛0）,

團根據(jù)圖像的對稱性得-（=，〃.

^b=-2am,頂點坐標(biāo)為（加+Z?帆+3）.

將點（飛。）和師。）分別代人表達式可得｛。二:荔曉

①x3+②得12加+12=(),

0=-1.

0anr+bm+3=anr-2am2+3=-am2+3=4.

012?-Z?2=16?.

0/?2+4a=0.

【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性、解不等式等知識點，掌

握二次函數(shù)的對稱性是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2022?浙江麗水?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知點用(5方),2(生)，2)在二次函數(shù))，=。(工-2)2-1(〃>0)的圖

⑴若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3,1).

①求這個二次函數(shù)的表達式；

②若X=為，求頂點到MN的距崗：

(2)當(dāng)用工工工左時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1,點N在對稱軸的異側(cè)，求〃的取值范圍.

【答案】⑴①，=2f_8-7；②羨

,、14

⑵

【分析】⑴①將點(3,1)代入)，=。*-2)2-1(">0)中即可求出二次函數(shù)表達式；

②當(dāng)y="時，此時腦V為平行X軸的直線，將例(.r,,y),Ng為)代入二次函數(shù)解析式中求出工+玉=4,

7

再由占一玉=3求出直線MV為)，=Q,最后根據(jù)二次函數(shù)頂點坐標(biāo)即可求解；

(2)分兩種情形：若M,N在對稱軸的異側(cè)，y,>y2；若M、N在對稱軸的異側(cè)，)；工乃，用<2,分別求

解即可.

【解析】(1)解：①將點(3,1)代入)，=〃*—2)2—1(〃>0)中，

01=a(3-2)2-1,解得。=2,

團二次函數(shù)的表達式為：y=2(x-2)2-l=2x2-8x+7；

②當(dāng)=%時，此時MN為平行x軸的直線，

將M(N，y)代入二次函數(shù)中得到：y=2V-8A,+7,

將川天，必)代入二次函數(shù)中得到：必=2/2-8/+7,

團”=當(dāng)，

2(2X

02x,-8x+7=2X2-82+7,

整理得到:(%+七)(司?9)-4($?%)=(),

又回々-N=3,代入上式得到：x:+A,=4,解出再二：,/=，

I177

團必=%=2?空8?-7=-,即直線MN為:y=-t

又,二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(2,-1),

79

團頂點(2,-1)到MN的距離為萬+l=y；

(2)解：若"，N在對稱軸的異側(cè)，y,>,

取7+3>2,

取/>-1,

□x2-x,=3

0x.<—,

2

0-1<x<-,

2

團函數(shù)的最大值為州=。(X/-2)2-1,最小值為-1,

取?(-1)=1?

Q)

同J一<。WJ—；

99

若M、N在對稱軸的異側(cè)，xt<2,

1

團％>5，

0-<X1<2,

同函數(shù)的最大值為片。（》2）2-1,最小值為-1,

映（-1）=1,

1

（M+1）

9、2

0-<（X（4-1）<9,

14

0-<a<-,

99

14

綜上所述，。的取值范圍為

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)及二次函數(shù)的最值等問題：當(dāng)

開口向上（向下）時，自變量的取值離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函數(shù)值就越大（越?。?

4.（2022?浙江杭州?統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)兇=2爐+加+。（4c是常數(shù)）的圖像與x軸交于48兩

點?

（1）若力，8兩點的坐標(biāo)分別為（1,0）,（2,0）,求函數(shù)M的表達式及其圖像的對稱軸.

（2）若函數(shù)X的表達式可?以寫成）[=2（X-力）2-2（才是常數(shù)）的形式，求〃+c,的最小值.

⑶設(shè)一次函數(shù)（〃?是常數(shù)）.若函數(shù)月的表達式還可以寫成y=2（X—M（X—〃L2）的形式，當(dāng)函

數(shù)y=x-為的圖像經(jīng)過點（廝.0）時，求與-的值.

【答案】⑴y=2（x—l）（x—2）,久=]

⑵Y

閉.％_陽=0或/―/〃=|'

【分析】（1）利用待定系數(shù)法計算即可.

（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，構(gòu)造以加c為函數(shù)的二次函數(shù)，求函數(shù)最值即可.

（3）先構(gòu)造y的函數(shù)，把點（%0）代入解析式，轉(zhuǎn)化為?%的一元二次方程，解方程變形即可.

【解析】（1）由題意，二次函數(shù)3=2/+bx+c（b,。是常數(shù)）經(jīng)過（1,0）,（2,0）,

2+b+c=0

職，

4+2/>+c=0

b=-6

解得

c=4

團拋物線的解析式>.=2X2-6X+4=2(X-1)(A:-2).

0圖像的對稱軸是直線工=一?=一普=]

2a2x22

(2)由題意,得y=2--4法+2*-2,

2

0y\=2x+bx+ct

0b=-4//,c=2h?-2

0b+c=2/r-4/z-2=2(/?-1)--4,

團當(dāng)〃=1時，8+c的最小值是4

(3)由題意,得y=y=2(x-w)(x-w-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-/w)-5]

因為函數(shù)y的圖像經(jīng)過點（不，0）,

所以(小一6)[2(與--5]=0,

所以占一加二°,或再一根二：

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值，對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的最值，對稱

性是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?浙江?九年級專題練習(xí)）已知拋物線。：…@+1）2—4（。/0）經(jīng)過點41.0）.

⑴求拋物乙的函數(shù)表達式.

⑵將拋物線。向上平移〃？（〃?〉0）個單位得到拋物線右.若拋物線4的頂點關(guān)于坐標(biāo)原點。的對稱點在

拋物線。上，求用的值.

⑶把拋物線。向右平移〃（〃>0）個單位得到拋物線人.已知點H8-f,s）,Q（f-4”）都在拋物線右上,

若當(dāng)/>6時，都有$>廠，求〃的取值范圍.

【答案】⑴y=(.r+l)2—4

⑵加=4

⑶〃>3

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解.

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解.

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)對稱軸為直線x=?=1>0,開口向上，進而得到點尸在點。的左側(cè)，分兩種

情況討論：①當(dāng)P，。同在對稱軸左側(cè)時，②當(dāng)尸，。在對稱軸異側(cè)時，③當(dāng)P，。同在對稱軸右側(cè)時即

可求解.

【解析】（1）解：將4析）代入得:0=（1+1）2?-4,

解得：?=1,

同拋物線乙的函數(shù)表達式：y=（x+l）2-4.

（2）（3將拋物線。向上平移個單位得到拋物線乙,

團拋物線右的函數(shù)表達式：），=*+1）2-4+〃].

團頂點（l,4lm）,

團它關(guān)于。的對稱點為（1，4-加），

將（1,4—〃代入拋物線。得：4一血=0,

團，〃=4.

（3）把。向右平移〃個單位，得

y=（x+l-〃）2-4,對稱軸為直線x=〃=開「向上，

0點P（8—,s）,C（/-4,r）,

由]>6得：8T<2<，-4,

團點?在點。的左側(cè)，

①當(dāng)P,。同在對稱軸左側(cè)時，

w-1>Z-4,即〃>/一3,

團/>6,0w>3,

②當(dāng)P,。在對稱軸異側(cè)時，

囹$>廠，

回〃一1—（8一/）>/—4—（〃一1）,

解得：〃>3,

③當(dāng)P,Q同在對稱軸右側(cè)時，都有,（舍去），

綜上所述：〃>3.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象平移變換，熟練掌握待定系數(shù)法及平移

的性質(zhì)結(jié)，巧妙運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）【問題背景】

“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具.綜合實踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一

根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子嫊r裝置.

【實驗操作】

綜合實踐小組設(shè)計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm,開始放水后每隔lOmin觀

察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：

流水時間〃min010203040

水面高度。/cm（觀察值）302928.12725.8

任務(wù)1分別計算表中每隔lOmin水面高度觀察值的變化量.

【建立模型】

小組討論發(fā)現(xiàn)：）=0,〃=30〃是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近

似地刻畫水面高度h與流水時間/的關(guān)系.

任務(wù)2利用f=0時，//=30；/=10時，力=29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度〃與流水時間，的函數(shù)解析式.

【反思優(yōu)化】

經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差.小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，

減少偏差.通過查閱資料后知道：，為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對

應(yīng)力的觀察值之差的平方和，記為卬；卬越小，偏差越小.

任務(wù)3（1）計算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值.

(2)請確定經(jīng)過(0,30)的一次函數(shù)解析式，使得■的值最小.

【設(shè)計刻度】

得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計刻度，通過刻度宜接讀取時間.

任務(wù)4請你簡要寫出時間刻度的沒計方案.

【答案】任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：A=-0.1/+30；任務(wù)3：(1)0.05?(2)〃=-0.102f+30；任務(wù)4：見解

析

【分析】任務(wù)1：根據(jù)表格每隔lOmin水面高度數(shù)據(jù)計算即可；

任務(wù)2：根據(jù)每隔lOmin水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度力與流水時間，的是一次函數(shù)關(guān)

系，由待定系數(shù)法求解；

任務(wù)3：(1)先求出對應(yīng)時間的水面高度，再按要求求w值：

(2)設(shè)6=化+30,然后根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出此時w的值是關(guān)于％的二次函數(shù)解析式；由此求出Iv的值最

小時％值即可；

任務(wù)4：根據(jù)高度隨時間變化規(guī)律，以相同時間刻畫不同高度即可，類似如數(shù)軸三要素，有原點、正方向與

單位長度.最大量程約為294min可以代替單位長度要素.

【解析】解：任務(wù)1：變化量分別為，29-30=-l(cm)；28.1-29=-0.9(cm)；

27-28.1=-1.1(cm)；25.8-27=-1.2(cm)；

任務(wù)2：設(shè)，1=kt+b,

團，=0時，力=30,，=10時，〃=29；

b=30,

職

\\0k+b=29.

用水面高度h與流水時間/的函數(shù)解析式為h=-0.1/+30.

任務(wù)3：(1)當(dāng)/=0時，〃=-0"+30=30,

當(dāng)，=10時，/z=-0.1r+30=29,

當(dāng)1=20時，/?=-0.k+30=28,

當(dāng)/=30時，/?=-0.k+30=27,

當(dāng)，=40時，/?=-0.k+30=26,

團卬=(30-30『+(29-291+(28-28.1)2+(27-27)2+(26-25.8『

=0.05.

(2)設(shè)/?=6+30,則

卬=(30-30)2+(10攵+30-29『+(20Z+30-28.1丫+(30%+30-27『+(402+30-25.81

=(10%+1f+(20%+1.9)2+(30%+3)2+(40左+4.2)2

=3000公+612^+12+1.92+32+4.22.

當(dāng)”=-二、二一。.102時，w最小?

2x3000

回優(yōu)化后的函數(shù)解析式為/?=-0.102/+3().

任務(wù)4：時間刻度方案要點：

①時間刻度的0刻度在水位最高處；

②刻度從上向下均勻變大；

③每0.102cm表示lmin(1cm表示時間約為9.8min).

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用、方差的計算，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及一次函

數(shù)的函數(shù)值、二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

模擬演練

一、解答題

1.(2023?浙江杭州?校考三模)已知拋物線y=f-2a+l.

⑴當(dāng)f=2時，求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

⑵若該拋物線上任意兩點M(XQD，短都滿足:當(dāng)$＜馬＜1時，(石一再)(%-%)＜。，當(dāng)1＜王＜超時，

(x,-x2%)＞0,試判斷點(3,7)是否在拋物線上；

2

(3)P(t+1,乂),Q⑵-4,先)是拋物線y=x-2/x+1上的兩點,且總滿足y,ny2，求/的最值.

【答案】(1)拋物線的對稱軸為x=2,其頂點坐標(biāo)為(2,-3)

⑵點(3,7)不在拋物線上

(3)］的最大值為5,最小值為3

【分析】(1)將f=2代入拋物線解析式，然后化成頂點式，即可獲得答案；

(2)結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可確定該拋物線的對稱軸為x=l,進而求得該拋物線解析式，然后判斷點

(3,7)是否在拋物線上即可；

(3)結(jié)合拋物線解析式可得該拋物線開口向上，其對稱軸為x=/,已知點P在拋物線對稱軸右側(cè).分兩種

情況討論；①當(dāng)點Q在對稱軸右側(cè)或在對稱軸上，且在點〃的左側(cè)或與點,重合時滿足條件；②當(dāng)點Q在

對稱軸左側(cè)，且點Q到拋物線對稱軸的距離小于或等于點產(chǎn)到對稱軸的距離時滿足條件.然后列關(guān)于/的不

等式，求解即可.

【解析】（1）解:當(dāng)f=2時，

該拋物線解析式為/-4x+1=（X-2）2-3,

國拋物線的對稱軸為直線4=2,其頂點坐標(biāo)為Q,-3）；

（2）點（3,7）不在拋物線上，理由如下：

當(dāng)看時,（內(nèi)一天）（凹一外）<°，

13y「為>0,即片〉為，

當(dāng)1<%<工2時，（不一與）（必一力）>（），

f3yt-y2<0,即為〈必，

回該拋物線的對稱軸為x=l,

此時可有工=-三=="1，

2x1

團該拋物線解析式為y=x2-2x+l.

令x=3,則y=32—2x3+l=4,7,

團點（3,7）不在拋物線上；

（3）對于寸也物線y=Y-2“+l,

團。=1>0,

團該拋物線開口向上，其對稱軸為直線1=八

0點P在拋物線對稱軸右側(cè)，

①當(dāng)點。在對稱軸右側(cè)或在對稱軸上，且在點P的左側(cè)或與點P重合時滿足條件，

02/-4>/J.2z-4</+l,

解得4W5；

②當(dāng)點。在對稱軸左側(cè)，且點。到拋物線對稱軸的距離小廣或等于點。到對稱軸的距離時滿足條件，

回2/-4</且+,

解得3W4.

綜上所述，當(dāng)3WY5時，滿足乂之為，

酎的最大值為5,最小值為3.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征等知識，理解題意，運用數(shù)

形結(jié)合和分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵.

2.(2023?浙江杭州?杭州市豐潭中學(xué)?？既?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)乂=寸-3妝+1(。是常

數(shù))

⑴當(dāng)。=2時，求函數(shù),圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸：

(2)若函數(shù)X圖象經(jīng)過點(Lp),(-1,4)，求證：/^<4；

⑶若〃<0,y2=x-3a+i,凹,力的圖象交于點(不，加),(出，〃)，(3<々)，設(shè)(與，〃)為X圖象上一點*3工9)，

求與一X的值.

【答案】(1)拋物線的頂點坐標(biāo)為(3,-8),對稱軸為直線x=3

⑵見詳解

⑶-1

【分析】(1)由配方法可求出頂點坐標(biāo)；

(2)將已知兩點代入求出〃=2-3〃，q=2+3%再表示出〃夕=4-9a。由a<0,即可求解；

y=x2-3ax+1

(3)聯(lián)立，1y2=x-3a+l,解得：內(nèi)=3%超=1，再根據(jù)(?%〃)與5M關(guān)于對稱軸對稱即可得出結(jié)果.

X=%

【解析】(1)解：當(dāng)。=2時，y=x2-6.r+l=(x-3)2-8,

「?拋物線的頂點坐標(biāo)為(3,-8),對稱軸為直線x=3；

(2)證明：??函數(shù)圖象經(jīng)過點(Lp),(-1國)，

〃=1-3。+1=2-3。，<7=1+3。+1=2+3。，

pq=(2-3。)(2+3〃)=4-9",

?/9a120,

pq"；

3?)=x2-3ax+1

(3)解：聯(lián)立“>2=x—3a+l,解得：辦=3々,々=1,

Y=為

a<0,

:.3a<\,故％=3〃,占=1，

???>?必的圖象交于點(3。,M,("),

???(5)與(如〃)關(guān)于二次函數(shù)y,=x2-3ax+1的對稱軸x=y對稱，

/.1+x,=^-x2,/.x3=3a-l,

x?l-xi=3a-l-3a=-l.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特點、二次函數(shù)的增減性，

熟練掌握二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特點及二次函數(shù)的性質(zhì)是解即的關(guān)鍵.

3.(2023?浙江杭州?杭州市公益中學(xué)?？既?已知拋物線,1=〃*7〃)(1一/?)(〃，，"，〃是實數(shù)，。/0)與.1

軸交于A,3兩點.

⑴若4=1,同A,“兩點的坐標(biāo)分別為(1,0),(-2,0),求函數(shù)X的表達式及其圖象的頂點坐標(biāo)；

⑵函數(shù),的圖象與％軸只有一個交點，經(jīng)過點(〃?-2/)，(4-6,/),求用的值;

⑶若拋物線M過點(1，〃)，(6,4),。<0,P>q,求證zn+”7.

(19、

【答案】⑴X=(x—l)(x+2),

IZ4,

⑵m=1

⑶證明見解析

【分析】(1)由“交點式”關(guān)系式性質(zhì)得，〃1、〃的值為1、-2,再代入。=1,即可求出關(guān)系式，再將對

稱軸代入即可求出頂點；

(2)判斷出兩點在同一條水平線上，故可求對稱軸為x=l,由函數(shù)X的圖象與x軸只有一個交點得，m與

〃值相等，即是對稱軸的值；

(3)由題意，分三種情況分類討激，從而得到兩點在對稱軸的兩側(cè)時，點(Lp)離軸更近，列出方程求解即

可得證.

【解析】(1)解：A,8兩點的坐標(biāo)分別為。,0),(-2,0),

；?加、〃的值為1、-2,

。=1,

:.y\=(x-l)(x+2),

-2+111小、*力少用/1~1,r、9

由,工=m丁+一n二"==，4把1n彳=一；7代入關(guān)系式得'=（一；;-1）（一:+2）=一:,

2222224

（19、

?,?頂點坐標(biāo)為一弓，-7；

（2）解:?（w-2j）,（4-見。縱坐標(biāo)相同,

函數(shù)M的圖象與x軸只有?個交點，

m=〃=1；

（3）證明：由拋物線關(guān)系式得對稱軸工=等，

d<0,

???拋物線開口向下，

①當(dāng)（l,p）,（6,g）兩點位于對稱軸左側(cè)時，

???）'隨x的值的增大而增大，

:p<q,不符題意;

②當(dāng)（6國）兩點位于對稱軸右側(cè)時，

???）'隨x的值的增大而減小，

:p>q,不受加、〃影響；

③當(dāng)（1.〃），（6國）兩點位于對稱軸兩側(cè)時，

由題意得，拋物線上的點離對稱軸越近，縱坐標(biāo)越大，

p>q,

???點（1，P）離對稱軸更近，即亨-1<6-空，解得〃葉〃<7,

:.ni+n<l.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，“交點式”關(guān)系式的對稱軸的計算及其應(yīng)用是解題關(guān)

鍵.

4.（2023?浙江杭州?校聯(lián)考二模）已知二次函數(shù)y=&+（3A+l）x+3（k為常數(shù)，&工0）.

⑴求證：無論上取任何實數(shù)時，函數(shù)與*軸總有交點；

⑵若女為正整數(shù)，且函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù).

①已知A（ay）,8（1,乃）是該函數(shù)圖象上的兩點，且）'>%，求實數(shù)。的取值范圍；

②將拋物線向右平移機（24〃區(qū)4）個單位，與x釉的兩個交點分別為P（x，O）,。伍，0）,若士=上-I

IvlAjA,

請結(jié)合圖象直接寫出用的取值范圍.

【答案】（1）見解析

（2）①實數(shù)4的取值范圍為。<一5或〃>1；@0<M<|

【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可得到結(jié)論；

（2）先根據(jù)左為正整數(shù)，且函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求出k的值，即可得到二次函數(shù)

的解析式，①令x=0,x=〃，分別求出>'與丹的值，由“必得到不等式/+4.+3>8,解不等式即可得

到答案；②先求出平移后的拋物線的解析式，再求出平移之后的拋物線與x軸的交點，即

分別表示出占-X，%與，代入求出I的范圍,從而即可得到答案.

【解析】（1）證明：根據(jù)題意可得：

A=（3k+i）2-4kx3=9k2+6k+\-{2k=9k2-6k+\=（3k-\）2>0.

.??無論2取任何實數(shù)時，函數(shù)與x軸總有交點；

（2）解：當(dāng)尸。時，去、（3攵+1）工+3=0,

i_-(3k+l)±J(3J)2,即廣-(3k+1)?(3k1)

2k~2k-

"=-1,X2=-3

1?函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù),

/.A:=±1,

4為正整數(shù)，

/.j=x2+4x+3,

2

①當(dāng)x=l時，y2=l+4xl+3=l+4+3=8,

當(dāng)工時，y=a2+4a+3,

y>y2f

：.a2+4a+3>8,

解得：4<一5或4>1,

實數(shù)。的取值范圍為：。<-5或。>1；

②拋物線的解析式為：y=Y+4x+3=(x+2)2-1,

?.?拋物線向右平移山(2?〃區(qū)4)個單位后的解析式為：y=(x+2r〃『-l,

令y=0,則(x+2—6『一1=0,

解得：X\=m-LXj=m-3,

2

=(m-3)(/n—l)=m-4m+3=(m-2)~-1,-x]=m—3-(m—l)=m—3—m+l=-2,

.?.-l<(/n-2)2-l<3,BP-1<X,X<3,

/.0<|xj^|<3,

-22

_L=_L__L=^ZA---=----

MXix2X}X2

.±>2

.M一§'

3

2

【點睛】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù),二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與x軸的交點，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

5.(2023?浙江金華?統(tǒng)考一模)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線人=，〃與某函數(shù)圖象交點記為點P,作該困

數(shù)圖象中，點尸及點P右側(cè)部分關(guān)于直線、=切的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點尸及點尸右側(cè)部分共同

構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，稱這個新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線)=切的"迭代函數(shù)〃.例如：圖1是函數(shù)y=x+i的

圖象，則它關(guān)于直線x=0的"迭代函數(shù)”的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)〃的解析式為

x+l(x>0)

V=4

'H+l(x<0).

圖1圖2

⑴寫出函數(shù)，，=X+1關(guān)于直線x=l的〃迭代函數(shù)〃的解析式為.

(2)若函數(shù)y=-x2+4x+3關(guān)于直線工=，〃的"迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(TO),則“=

⑶以如正方形48C。的頂點分別為：

A(“,a),B(a,-a),C(-a,-a\D(-a,a),其中〃>0.

①若函數(shù)戶目關(guān)于直線x=-2的"迭代函數(shù)〃的圖象與正方形ABC。的邊有3個公共點，則”：

②若。=6,函數(shù))，=9關(guān)于直線K=〃的“迭代函數(shù)〃的圖象與正方形ABCD有4個公共點，則〃的取值范圍

x

為.

X+1(X>1)

【答案】(1)>'=1

-x+3(x<1)

(2)立里或也Ll.

22

⑶①a=3或"痛，②或一1V〃<0或0<〃<1.

【分析】(1)根據(jù)“迭代函數(shù)〃的定義可知"迭代函數(shù)”的圖象是關(guān)于*=，〃的對稱，故求出>=x+1圖象上任意

兩點坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)y=x+i關(guān)于直線X=1的“迭代函數(shù)”是關(guān)于X=1對稱，求出對稱點坐標(biāo)，再由待定系

數(shù)法求出“迭代函數(shù)〃的解析式即可；

(2)先求出原拋物線當(dāng))，=0時兩點坐標(biāo)，根據(jù)“迭代函數(shù)〃的對稱性可知(-1,0)與其中一點對稱，分兩種情

況求解即可；

(3)①先畫出函數(shù))，=9關(guān)于直線x=-2的“迭代函數(shù)〃的圖象.根據(jù)三個公共點的不同情況分兩種情況求

x

解即可；

②根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對稱性可知.四個公共點的分別是第一象限兩個、第三象限或第二象限

兩個，分別結(jié)合圖象進行求解.

【解析】(1)解：當(dāng)x=l時，y=x+l=2,

當(dāng)x=2時，y=x+l=3,

回則點(1,2)、(2,3)關(guān)于直線x=l的對稱點為(1,2),(0,3),

設(shè)直線y=x+1關(guān)于直線x=1的對稱直線為尸3+〃，

,k+b=2

則一，

b=3

,k=-l

解得’,，

b=3

回直線為1y=-x+3,

X+1(X>1)

回函數(shù))，”關(guān)于直線AI的〃迭代函數(shù)〃的解析式為尸；

x+\(x>\)

故答案為：y=

-x+3(x<1)

(2)y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,

國)，=一/+叔+3的頂點坐標(biāo)為(2,7)

當(dāng)一3-2)2+7=()時，解得：4=-/+2,毛=夜+2,

即產(chǎn)t2+4x+3與4軸交點為(-x/7+2,0).(出+2,0)

若函數(shù)尸-1十4人十3關(guān)于直線"，”的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(-1,0),

當(dāng)(-V7+2,0)與(-1,0)是關(guān)于直線x=，〃對稱時，m=7'+ZT=,

2

當(dāng)(幣+2,0)與(—1,0)是關(guān)于直線x=m對稱時，加=汨+；--="+1>

22

綜上所述：若函數(shù)丁=-/+?+3關(guān)于直線戶切的“迭代函數(shù)"圖象經(jīng)過(TO),則加或小=

故答案為：立擔(dān)或巫

22

(3)①函數(shù))=9關(guān)于直線x=-2的"迭代函數(shù)〃的圖象如圖所示：

有兩種情況:

當(dāng)?shù)谝幌笙抻袃蓚€公共點時，第三個交點在第三象限，當(dāng)一2圖象上的點，）弓/=-3,此時X,

當(dāng)?shù)谌笙抻袃蓚€公共點時，第三個公共點在第?象限，函數(shù)圖象正好經(jīng)過正方形的頂點，x=y=〃，a=',

此時a=瓜,

綜上所述：若函數(shù)y=￡關(guān)于直線X=-2的“迭代函數(shù)〃的圖象與正方形ABCQ的邊有3個公共點，則〃=3或

x

a=瓜.

②如圖:

若。=6,函數(shù)），=9關(guān)于直線工二〃的“迭代函數(shù)〃的圖象與正方形A5CD有4個公共點，則第一象限一點一

x

定有兩個交點它們是（1,6）、（6,1）：

根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)〃的圖象對稱性，

/.當(dāng)讓1時，”迭代函數(shù)〃的圖象與正方形A8CD最多有3個公共點，

11.當(dāng)0<〃<1時，"迭代函數(shù)”的圖象與正方形ABCQ有4個公共點，如圖所示，

HI.當(dāng)〃<0,若第三象限由兩個公共點，則第二象限無公共點，

此時點（1,6）關(guān)于工二〃對稱點在正方形外，即：1-6,解得：〃<.■!，

此時點（-卜6）在函數(shù)y=9關(guān)于直線工”的"迭代函數(shù)〃的圖象，即：〃<-1,

X

即：〃〈-g時，"迭代函數(shù)〃的圖象與正方形A8CO在第三象限有兩個公共點，第二象限無公共點，

0.當(dāng)〃<0,若第二象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，

此時點。,6）關(guān)于工二"對稱點在正方形內(nèi)，即：1-2（1-〃）>-6,解得：〃

此時點（-1，-6）不在函數(shù)），=9關(guān)于直線工二〃的“迭代函數(shù)〃的圖象，即：〃>-1,

x

0.當(dāng)TV〃VO,若第一象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，

綜上所述：若。=6,函數(shù)1色關(guān)于直線工=〃的“迭代函數(shù)''的圖象與正方形A8CD有4個公共點，〃的取值

x

范圍為〃<一耳或一1<〃<0或0<”1.

【點懵】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運用新定義''迭代函數(shù)''，能夠?qū)D象的對稱轉(zhuǎn)化為點的對稱，

借助圖象解題是關(guān)鍵.

6.（2023?浙江湖州?統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線>=/+“|_。為對稱軸為直線戶2,且與x地交于4B

兩點，與y軸交于C點，其中41,0),連結(jié)8c.

⑴求點。的坐標(biāo)及此拋物線的表達式;

⑵點。為y釉上一點，若直線3。和直線8c的夾角為15。，求線段C。的長度；

⑶當(dāng)〃4x45時，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，直接寫出〃的取值范圍.

【答案】⑴點C(0,3)；y=x2-4x+3

(2)3-百或3而3

(3)-1<?<2

【分析】(1)根據(jù)題意，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

⑵根據(jù)30c是等腰直角三角形，直線80和直線3c的夾角為15。，推出/。30=30?；騔ZMO=60。,

進行分類討論即可解答；

(3)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象以及函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值得出結(jié)論：

【解析】(1)回對稱軸為直線x=2,

啜=2,

/.Z?=-4,

何拋物線y=f—4x+c與y軸交于C點，4(1,0)代入得：

c—3,

團拋物線的解析式為y=J—4x+3,

由拋物線的表達式知，點C(0,3)；

(2)朋-3,0),C(0,3),

.?…BOC是等腰直角三角形，

則NC8O=45。，

團直線和直線的夾角為15。，

/.ZDBO=30°或NO8O=60。，

在Rf.BOD中,DO=BO-innZDBO,

50=3,

3

則DO=G

貝I」CO=OJOO=3-G

CD=DO-OC=36-3，

13CD的長度為3-6或3行-3;

(3)當(dāng)工=〃和x=5在對稱軸兩惻時，

此時，拋物線在x=2時，取得最小值,

當(dāng)工二〃和工=5關(guān)于工=2對稱時，最大值相等且為定值，即％=5時，），的值為最大值，

此時，函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，

此時〃二一1,

BP-l<n<2,函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值.

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，方程組的解法、二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)以及分類討論；本題綜合性強，注意分類討論；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合

思想的應(yīng)用.

7.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知拋物線），=/一2田+1.

⑴求該拋物線的對稱軸（用含，的式子表示）；

（2）若點M（f—2,m），N（f+3,〃）在拋物線），=/-2q+1上，試比較〃?，〃的大??；

⑶P（“y,）,Q（,q,%）是拋物線y=次+1上的任意兩點，若對于-1K%<3且9=3,都有yK乃，

求，的取值范圍；

（4）^（/+1,y）,Q（2-4,%）是拋物線），=/一2戊+1上的兩點，且均滿足,之為，求/的最大值.

【答案】⑴拋物線的對稱軸為直線4二，；

⑵〃>〃？；

⑶臼；

（4）/的最大值為5.

【分析】（1）把解析式化成頂點式即可求得；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可判斷；

（3）分3種情況求解即可；

（4）分兩種情況討論，根據(jù)題意列出關(guān)于，的不等式，解不等式即可解決問題.

【解析】（1）解：0y=x2-2rx+i=（x-r）2-r+1,

國拋物線的對稱軸為直線x=r；

（2）解：團點〃。一2,帆），N（/+3,〃）在拋物線>=/-2a+1上，

回拋物線的開口向上，對稱軸為直線4=，，

又削工一?-2）|=2,|r-（r+3）|=3,2<3,

團點N“+3,”)離拋物線y=,v2-2tx+\的對稱軸距離較大，

團〃>m；

(3)解：團拋物線的開口向上，

團離拋物線y=x2-2tx+\的對稱軸距離較大，函數(shù)值越大.

當(dāng)/>3時，點尸離對稱軸遠，不符合題意；

當(dāng)-1金工3時，由題意得，

解得"1,

0-l<r<lH,都有,工為；

當(dāng)7<-1時，點。離對稱軸遠，都有到與必.

綜上，當(dāng)Y1時，都有為”2.

(4)解：用拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=F,

0點P在拋物線y=x2-2tx+1對稱軸的右側(cè)，

①當(dāng)點。在對稱軸的右側(cè)或在對稱軸上，且在點P的左側(cè)或與點尸重合時滿足條件，

02/-4>rl.2/-4<r+l,

解得4MfM5：

②當(dāng)點Q在對稱軸的左側(cè)，且點。到拋物線時稱軸的距離小于或等于點P到對稱軸的距離時滿足條件，

02Z-4<r,+,

解得3q<4,

綜上所述：當(dāng)3W5時，滿足題意.

效的最大值為5.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?浙江杭州?杭州育才中學(xué)?？家荒?已知函數(shù)y=3〃)x-4是常數(shù)，且〃工0).

⑴若點(卜1)在二次函數(shù)y的圖象上，

①求該函數(shù)的表達式和頂點坐標(biāo)；

②若點尸（心〃。和Q（5,〃）在函數(shù)的圖象上，且機＜〃，求與的取值范圍；

⑵若函數(shù)y的圖象過（仆兄）和（演,打）兩點，且當(dāng)為＜乙4時，始終都有弘＞為，求。的取值范圍.

【答案】⑴①二次函數(shù)的表達式為丁=-/+4》-4,頂點坐標(biāo)（2,0）；②與＜-1或?。?

（2）＜7＞3

【分析】（1）①把（卜1）代入解析式計算即可；

②先求出〃=-9,再求出），=-（1-2）2=-9的解，即可根據(jù)，〃＜〃得到小的取值范圍；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性計算即可，注意分類討論.

【解析】（1）①團點（11）在二次函數(shù)）=o?+（l-%卜一4的圖象上，

0-1=67+（1-367）-4,

解得：a=-l,

回二次函數(shù)的表達式為y=-x2+4.v-4

0y=-（x-2）2

團頂點坐標(biāo)（2,0）；

②團Q（5,〃）在函數(shù)的圖象上，

0/?=-（5-2）2=-9,

當(dāng)y=_（x_2/=_9時，x.=-LX2=5,

團產(chǎn)―/+4]-4開口向下，且點P（/M）和。（5,用在函數(shù)的圖象上,且，

國不＜T或%＞5

（2）二次函數(shù)丁=辦2+。-3a）x-4對稱軸為直線x

-2a22a

4

（3當(dāng)王時，始終都有%＞為，

4

回當(dāng)XK]時，y隨X的增大而減小，

431

當(dāng)〃＞0時，在對稱軸左邊y隨X的增大而減小，即%

322a

3_J_>4

此時2a~3,解得aN3；

a>0

314

當(dāng)。<0時，在對稱軸右邊）'隨”的增大而減小，即；-丁工王<9工；

22a3

3_J_4

此時一五此不等式組無解；

”0

4

綜上所述，當(dāng)王時，始終都有X>刈，。的取值范圍為“23.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

9.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)丁=/+仆+〃的圖域與直線），=—+3的圖像交于人，8兩點，

點A的坐標(biāo)為（T,7）,點、的坐標(biāo)為（1,2）.

（1）求二次函數(shù)y=犬+奴+h的表達式.

⑵點M是線段A8上的動點，將點M向下平移h（h>0）個單位得到點N.

①若點N在二次函數(shù)的圖像上，求人的最大值.

②若〃=4,線段MV與二次函數(shù)的圖像有公共點，請求出點例的橫坐標(biāo)，〃的取值范圍.

【答案】⑴>+2.1；

（2）①九必二亍，（2）-4</?/<-30</??<1

【分析】（1）待定系數(shù)法計算即可.

（2）①設(shè)點M的坐標(biāo)為（利,一〃?-3）（-4<加<1）,則點N的坐標(biāo)為（帆,一6+3-/?）,

把（利,-/〃+3-〃）代入），=9+21-1構(gòu)造〃為函數(shù)的二次函數(shù)計算即可.

②當(dāng)。=4,點N的坐標(biāo)為（利-陽-1）代入解析式，確定機的值，結(jié)合圖像計算即可.

【解析】⑴把（T7）,（1,2）代入y=J+好+6得:

-4?+b=-9

a+b=\

解得。=2,b=-1,

^y=x2+2x-\.

（2）①設(shè)點例的坐標(biāo)為（孫一〃?-3）（-4<〃?<1）,則點N的坐標(biāo)為（利一〃?+3-力）.

把（以一加+3-/2）代入y=f+2］一］,得：

h=-in2-3〃?+4，

.（3丫25

【2）4

3

0?=-1<0,當(dāng)〃?=一二時，且滿足

2

c,25

田%=1?

②設(shè)點M的坐標(biāo)為（"?,一/〃+3）（-4<〃?<1）,則點N的坐標(biāo)為（/幾一〃?+3-〃）.

當(dāng)力=4,點N的坐標(biāo)為（因一加一1）,

把（"?,T7L1）代入得：+3m=0?

回"z=0或m=-3.

0-4</7Z<-3?￡0<777<1.

【點睛】本題考查了拋物線的解析式，最值，點的平移，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?浙江金華?統(tǒng)考二模）定義：若〃為常數(shù)，當(dāng)一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)和為八的點，則稱

該點為這個函數(shù)圖象關(guān)于〃的“恒誼點〃，例如：點（1,2）是函數(shù)y=2X圖象關(guān)于3的“恒值點〃.

圖1圖2

⑴判斷點（1,3）,（2,8）,（3,7）是否為函數(shù)y=5.L2圖象關(guān)于10的〃恒值點〃.

（2）如圖L拋物線y=2f+版+2與x軸交于力，8兩點（力在8的左側(cè)），現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿

x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示.

①求翻折后44之間的拋物線解析式.（用含力的代數(shù)式表示，不必寫出x的取值范圍）

②當(dāng)新圖象上恰好有3個關(guān)于c的“