2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓錐曲線》專項(xiàng)測(cè)試卷含答案

第第頁(yè)2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓錐曲線》專項(xiàng)測(cè)試卷含答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1、在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)定義判定軌跡曲線并寫出方程．有時(shí)還要注意軌跡是不是完整的曲線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量或進(jìn)行限制．2、應(yīng)用圓錐曲線的定義時(shí)，要注意定義中的限制條件．在橢圓的定義中，要求；在雙曲線的定義中，要求；在拋物線的定義中，定直線不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．此外，通過(guò)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比為定值可將三種曲線統(tǒng)一在一起，稱為圓錐曲線．3、圓錐曲線定義的應(yīng)用主要有：求標(biāo)準(zhǔn)方程，將定義和余弦定理等結(jié)合使用，研究焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積，求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．4、用解析法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)是通過(guò)方程進(jìn)行討論的，再通過(guò)方程來(lái)研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)．不僅要能由方程研究曲線的幾何性質(zhì)，還要能運(yùn)用兒何性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題，如利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系等．5、橢圓焦點(diǎn)為，，P為橢圓上的點(diǎn)，，則6、雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，為雙曲線上的點(diǎn)，，則．7、橢圓焦半徑橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，①焦點(diǎn)在軸：焦半徑(左加右減)；②

焦點(diǎn)在軸：焦半徑(上加下減)．8、雙曲線焦半徑設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，①焦點(diǎn)在軸：在左支，在右支；②焦點(diǎn)在軸：在下支，在上支．9、設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是橢圓的中心，P是橢圓上任意一點(diǎn)，，則．10、設(shè)、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是雙曲線的中心，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，，則．11、等軸雙曲線滿足：；12、若橢圓（雙曲線）與直線交于兩點(diǎn)，其中，，，為中點(diǎn)，（橢圓）；（雙曲線）1．（2023?北京）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為5，則A．7 B．6 C．5 D．42．（2023?新高考Ⅰ）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．3．（2023?甲卷）已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則A． B． C． D．4．（2023?乙卷）已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為A． B． C． D．5．（2023?乙卷）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A． B．4 C． D．76．（2023?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和，直線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若△面積是△面積的兩倍，則A． B． C． D．7．（2023?甲卷）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則A．1 B．2 C．4 D．58．（2021?新高考Ⅰ）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．69．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則A．的準(zhǔn)線為 B．直線與相切 C． D．10．（2022?全國(guó)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最小值為．11．（2021?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且．若，則的準(zhǔn)線方程為．考點(diǎn)一：阿波羅尼斯圓與圓錐曲線【例1】（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【變式1-3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：蒙日?qǐng)A【例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，其蒙日?qǐng)A方程為，M為蒙日?qǐng)A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考）19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為 D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為18考點(diǎn)三：阿基米德三角形【例3】（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為拋物線的弦，，分別過(guò)作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過(guò)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．底邊的直線方程為；C．是直角三角形；D．面積的最小值為.【變式3-1】（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┻^(guò)拋物線C：（）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，，設(shè)，的交點(diǎn)為M，稱△AMB為阿基米德三角形.則關(guān)于阿基米德三角形AMB，下列說(shuō)法正確的有（

）A．△AMB是直角三角形B．頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線C．MF是△AMB的高線D．△AMB面積的最小值為【變式3-2】（多選題）（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．C．對(duì)于任意的點(diǎn)，必有向量與向量共線D．面積的最小值為考點(diǎn)四：仿射變換問(wèn)題【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則面積最大值為.【變式4-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)，面積最大，并且最大值為.記，當(dāng)面積最大時(shí)，﹐.Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)，.【變式4-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B，C分別是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積最大值為.考點(diǎn)五：圓錐曲線第二定義【例5】（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，，分別是的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且，則A．6 B．8 C．10 D．12【變式5-2】（2024·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六：焦半徑問(wèn)題【例6】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．【變式6-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，【變式6-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．8考點(diǎn)七：圓錐曲線第三定義【例7】（江蘇省南京市中華中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期初數(shù)學(xué)試題）橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且直線的斜率為，則直線斜率為（

）A． B．3 C． D．【變式7-2】（2024·安徽六安·高三六安一中階段練習(xí)）已知為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的斜率記為，則的最小值為A．8 B．4 C．2 D．1考點(diǎn)八：定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法【例8】已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足，則當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．【變式8-1】（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此橢圓的離心率為．【變式8-2】（2024·浙江·校聯(lián)考）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)和，且.點(diǎn)滿足，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為．考點(diǎn)九：切線問(wèn)題【例9】（2024·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，過(guò)C中心的直線交C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上其橫坐標(biāo)是點(diǎn)M橫坐標(biāo)的3倍，直線NP交C于點(diǎn)Q，若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則C的離心率為．【變式9-1】（2024·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過(guò)拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線（為拋物線的焦點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是．【變式9-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線，M為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，記A，B，M的橫坐標(biāo)分別為，則下列關(guān)系：①；②；③.其中正確的是(填序號(hào))．考點(diǎn)十：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例10】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，若，且的面積為，則A．2 B．3 C．6 D．9【變式10-1】（2024·云南·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)校考期末）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A．9 B．3 C．4 D．8【變式10-2】（2024·江西贛州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為q，則q取最大值時(shí)，的面積為（

）A．1 B． C．2 D．考點(diǎn)十一：焦點(diǎn)弦問(wèn)題【例11】（2024·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式11-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是雙曲線的左支上一點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．C． D．【變式11-2】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（，的橫坐標(biāo)不相等），弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若，則（

）A．14 B．16 C．18 D．20考點(diǎn)十二：圓錐曲線與張角問(wèn)題【例12】（2024·湖南·高三校聯(lián)考期末）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式12-1】（2024·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？迹┮阎?，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式12-2】（2024·湖南常德·統(tǒng)考）定義：點(diǎn)為曲線外的一點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取最大值時(shí)，叫點(diǎn)對(duì)曲線的張角.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)對(duì)圓的張角為，則的最小值為.考點(diǎn)十三：圓錐曲線與角平分線問(wèn)題【例13】（2024·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，其右支上有一點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)向的平分線引垂線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率.【變式13-1】（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，．【變式13-2】（2024·福建龍巖·統(tǒng)考）已知拋物線，直線過(guò)點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)，若的平分線過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為．考點(diǎn)十四：圓錐曲線與通徑問(wèn)題【例14】（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┻^(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，則的通徑長(zhǎng)為.【變式14-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的通徑（過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為.【變式14-2】已知，是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，則C的方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)十五：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問(wèn)題【例15】（2024·河南鄭州·高三河南省新鄭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖：為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線在上的點(diǎn)處反射后射出（共線），且，則的離心率為.

【變式15-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知橢圓C：，為其左、右焦點(diǎn)．M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6.動(dòng)直線l為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為；S的取值范圍為．【變式15-2】（2024·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為.考點(diǎn)十六：圓錐曲線與四心問(wèn)題【例16】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，為內(nèi)心，若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式16-1】（2024·廣西·統(tǒng)考）已知點(diǎn)A，B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【變式16-2】（2024·浙江臺(tái)州·高三臺(tái)州一中校考開學(xué)考試）已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O可能為的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心參考答案1．（2023?北京）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為5，則A．7 B．6 C．5 D．4【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離．由方程可知，是拋物線的準(zhǔn)線，又拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)的距離相等，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線定義的應(yīng)用，屬簡(jiǎn)單題．2．（2023?新高考Ⅰ）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．【答案】【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線為、，則，中，，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)求值問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．3．（2023?甲卷）已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則A． B． C． D．【答案】【解析】橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，設(shè)，，不妨，可得，，即，可得，，，可得．可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．4．（2023?乙卷）已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，設(shè)，則，根據(jù)題意可得：，，又，當(dāng)，，時(shí)，取得最大值．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的最值的求解，函數(shù)思想，屬中檔題．5．（2023?乙卷）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A． B．4 C． D．7【答案】【解析】根據(jù)題意，，即，其幾何意義是以為圓心，半徑為3的圓，設(shè)，變形可得，其幾何意義為直線，直線與圓有公共點(diǎn)，則有，解可得，故的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和，直線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若△面積是△面積的兩倍，則A． B． C． D．【答案】【解析】記直線與軸交于，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，，由△面積是△的2倍，可得，，解得或，或，或，聯(lián)立可得，，直線與相交，所以△，解得，不符合題意，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．7．（2023?甲卷）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則A．1 B．2 C．4 D．5【答案】【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)在橢圓上，滿足，可得，又由橢圓，其中，則有，，可得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及勾股定理與三角形的面積，關(guān)鍵是掌握橢圓的幾何性質(zhì)．8．（2021?新高考Ⅰ）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．6【答案】【解析】，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為9．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．9．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則A．的準(zhǔn)線為 B．直線與相切 C． D．【答案】【解析】點(diǎn)在拋物線上，，解得，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于，，則，直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故直線與拋物線相切，選項(xiàng)正確；根據(jù)對(duì)稱性及選項(xiàng)的分析，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與拋物線在第一象限交于，，，，聯(lián)立，消去并整理可得，則，，，，由于等號(hào)在時(shí)才能取到，故等號(hào)不成立，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線方程的求解，直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，同時(shí)還涉及了兩點(diǎn)間的距離公式以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．（2022?全國(guó)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最小值為．【答案】2．【解析】如圖，令，，得，，即，，則當(dāng)時(shí)，有最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的應(yīng)用，考查圓的參數(shù)方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11．（2021?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且．若，則的準(zhǔn)線方程為．【答案】．【解析】法一：由題意，不妨設(shè)在第一象限，則，，，．所以，所以的方程為：，時(shí)，，，所以，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：．法二：根據(jù)射影定理，可得，可得，解得，因此，拋物線的準(zhǔn)線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．考點(diǎn)一：阿波羅尼斯圓與圓錐曲線【例1】（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在圖1中，以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，設(shè)阿氏圓圓心為，半徑為r.因?yàn)?，所以，所?設(shè)圓O與AB交于點(diǎn)M.由阿氏圓性質(zhì)，知.又，所以.又，所以，解得，所以，所以點(diǎn)P在空間內(nèi)的軌跡為以O(shè)為球心，半徑為4的球.當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部時(shí)，如圖2所示，截面圓與，分別交于點(diǎn)M，R，所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)的軌跡為.因?yàn)樵谥校?，，所以，所以，所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為.故選：B.【變式1-1】（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心1為半徑的圓，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.【變式1-2】（2024·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，．設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得，即．要使的面積最大，只需點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時(shí)，此時(shí)面積為．故選：C.【變式1-3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，點(diǎn)M在圓上，取點(diǎn)，連接，有，當(dāng)點(diǎn)不共線時(shí)，，又，因此∽，則有，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，有，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是線段BN與圓O的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C考點(diǎn)二：蒙日?qǐng)A【例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，其蒙日?qǐng)A方程為，M為蒙日?qǐng)A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令橢圓的半焦距為c，由橢圓的離心率，得，，因此橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，由蒙日?qǐng)A的性質(zhì)得，于是線段PQ是圓的直徑，即，則面積的最大值為，即，，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B【變式2-1】（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？迹?9世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以橢圓的蒙日?qǐng)A的方程為：，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可得兩圓外切，所以，解得.故選：B.【變式2-2】（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為 D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為18【答案】D【解析】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；當(dāng)長(zhǎng)方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為和4，其對(duì)角線長(zhǎng)為，因此蒙日?qǐng)A半徑為，圓方程為，B正確；設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)方形的面積的最大值是20，此時(shí)該長(zhǎng)方形為正方形，邊長(zhǎng)為，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．考點(diǎn)三：阿基米德三角形【例3】（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為拋物線的弦，，分別過(guò)作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過(guò)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．底邊的直線方程為；C．是直角三角形；D．面積的最小值為.【答案】ABC【解析】依題意設(shè)，，由方程，可得，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，可得A處的切線方程為：，即，化簡(jiǎn)可得，所以直線的方程為，同理可得：直線BM的方程為，所以，則，因?yàn)?，解得，即，所以A正確；因點(diǎn)在直線上，可得，，即在上，在上，所以底邊的直線方程為，所以B正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則且，，因?yàn)?，所以，所以是直角三角形，所以C正確；取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)拋物線的定義，可得平行軸，所以因?yàn)?，，所以，，代入可得，?dāng)時(shí)，，所以D不正確.故選：ABC.【變式3-1】（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考）過(guò)拋物線C：（）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，，設(shè)，的交點(diǎn)為M，稱△AMB為阿基米德三角形.則關(guān)于阿基米德三角形AMB，下列說(shuō)法正確的有（

）A．△AMB是直角三角形B．頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線C．MF是△AMB的高線D．△AMB面積的最小值為【答案】ABC【解析】設(shè)，，，，由可得：，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，設(shè)直線，聯(lián)立，化為，得到，．對(duì)于A，，，所以△AMB是直角三角形，故A正確；對(duì)于B，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得處的切線方程為：，則，化簡(jiǎn)可得：，所以直線的方程為：，同理可得：直線的方程為：，所以，則，因?yàn)?，解得：，所以，所以，因?yàn)閽佄锞€C：的準(zhǔn)線為，所以頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線，且取的中點(diǎn)，連接，平行軸，故B正確；對(duì)于C，，，所以所以MF是△AMB的高線，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槠叫休S，所以因?yàn)?，．所以，，代入可得：，?dāng)時(shí)，，故D不正確.故選：ABC.【變式3-2】（多選題）（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．C．對(duì)于任意的點(diǎn)，必有向量與向量共線D．面積的最小值為【答案】BCD【解析】設(shè)，，設(shè)直線，聯(lián)立，化為，而，所以.設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立，整理可得，由，可得.同理可得過(guò)點(diǎn)的切線斜率為.對(duì)于A，，，，故A錯(cuò)；對(duì)于B，可得點(diǎn)A，B處的切線方程分別為：，可得,又因?yàn)橹本€AB的斜率為，，又由A選項(xiàng)可知，所以，所以，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)AB的中點(diǎn)為，則由軸，而向量，向量與向量共線，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，面積的，可知當(dāng)最短時(shí)（最短為），也最短，最短為，所以面積的最小值為，故D正確.故選：BCD.考點(diǎn)四：仿射變換問(wèn)題【例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則面積最大值為.【答案】/【解析】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，，由于，因此時(shí)面積最大，此時(shí)，那么，故答案為：【變式4-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)，面積最大，并且最大值為.記，當(dāng)面積最大時(shí)，﹐.Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)，.【答案】421【解析】作變換此時(shí)橢圓變?yōu)閳A，方程為，當(dāng)時(shí)，最大，并且最大為，此時(shí)，.由于，，∴，，因?yàn)?，所?故答案為：；；4；2；1.【變式4-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B，C分別是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積最大值為.【答案】/4.5【解析】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，是圓的內(nèi)接三角形，設(shè)的半徑為，設(shè)所對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因?yàn)樵谏蠟橥购瘮?shù)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以圓的內(nèi)接三角形面積最大時(shí)為等邊三角形，因此，又因?yàn)?，?故答案為：.考點(diǎn)五：圓錐曲線第二定義【例5】（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，，分別是的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知的，故.∵的面積為，∴，∴.又∵，∴，，∴，又，∴，∴.∴的取值范圍為.故選：D.【變式5-1】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且，則A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)，，則，，，，，，．故選B．【變式5-2】（2024·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，，，左焦點(diǎn)為．則過(guò)左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°直線l的方程為．代入，得，設(shè)，，則，，又，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：，且，∴，故選：A．考點(diǎn)六：焦半徑問(wèn)題【例6】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由雙曲線的對(duì)稱性，假設(shè)在右支上，即，由到的距離為，而，所以，綜上，，同理，則，對(duì)于雙曲線，有且，所以，而，即.故選：D【變式6-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】由雙曲線的第二定義可知，，右支上的點(diǎn)，滿足，由，解得，在右支上，可得，可得，即，則，令，，可得而在，單調(diào)遞減，，，，故選：B【變式6-2】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．8【答案】A【解析】因?yàn)?，要使最小，而，由拋物線的對(duì)稱性可得與，與關(guān)于軸對(duì)稱，所以可得直線的斜率為1，又過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為：，，整理可得，，，所以可得，所以．故選：．考點(diǎn)七：圓錐曲線第三定義【例7】（江蘇省南京市中華中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期初數(shù)學(xué)試題）橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，設(shè)，則，又由，可得，因?yàn)?，即，可得，所以直線斜率的取值范圍.故選：A.【變式7-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且直線的斜率為，則直線斜率為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的斜率為，直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，，故直線斜率，故選:B．【變式7-2】（2024·安徽六安·高三六安一中階段練習(xí)）已知為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的斜率記為，則的最小值為A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【解析】由有點(diǎn)為線段的中點(diǎn),設(shè),則,所以,故,由于點(diǎn)A,B,P在雙曲線上,所以,代入上式中,有,所以,故最小值為4.選B.考點(diǎn)八：定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法【例8】已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足，則當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．【答案】5【解析】［方法一］：點(diǎn)差法＋二次函數(shù)性質(zhì)設(shè)，由得因?yàn)锳,B在橢圓上,所以，即，與相減得：，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最等號(hào)，即時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.故答案為：5．［方法二］：【通性通法】設(shè)線＋韋達(dá)定理由條件知直線的斜率存在，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立得，根據(jù)韋達(dá)定理得，由知，代入上式解得，所以．此時(shí)，又，解得．［方法三］：直線的參數(shù)方程+基本不等式設(shè)直線的參數(shù)方程為其中t為參數(shù)，為直線的傾斜角，將其代入橢圓方程中化簡(jiǎn)得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則．由韋達(dá)定理知，解得，所以，此時(shí)，即，代入，解得．［方法四］：直接硬算求解+二次函數(shù)性質(zhì)設(shè)，因?yàn)?，所以．即①，②，又因?yàn)椋裕环猎O(shè)，因此，代入②式可得．化簡(jiǎn)整理得．由此可知，當(dāng)時(shí)，上式有最大值16，即點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值有最大值2．所以．［方法五］：【最優(yōu)解】仿射變換如圖1，作如下仿射變換，則為一個(gè)圓．根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，等價(jià)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，則．當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)易得，此時(shí)．［方法六］：中點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用設(shè)，由可知，則中點(diǎn)．因?yàn)?，所以，整理得，由于，則時(shí)，，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：由題意中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，以及點(diǎn)差法可求出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，從而可以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解出；方法二：常規(guī)設(shè)線，通過(guò)聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及題目條件求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用基本不等式求出最值，由取等條件得解，是該題的通性通法；方法三：利用直線的參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用基本不等式求出最值，由取等條件得解；方法四：利用題目條件硬算求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解出；方法五：根據(jù)仿射變換，利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，從而解出，計(jì)算難度小，是該題的最優(yōu)解；方法六：利用中點(diǎn)弦的性質(zhì)找出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)關(guān)系式自身特征求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值，從而解出，計(jì)算量小，也是不錯(cuò)的方法．【變式8-1】（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此橢圓的離心率為．【答案】【解析】如圖所示：設(shè)直線AB過(guò)原點(diǎn)O，由題意得，設(shè)，CD的中點(diǎn)為，則，因?yàn)镃，D在橢圓上，所以，兩式相減得，所以，因?yàn)镺，M，P三點(diǎn)共線，所以，即，解得，所以，故答案為：【變式8-2】（2024·浙江·校聯(lián)考）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)和，且.點(diǎn)滿足，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為．【答案】.【解析】設(shè)，，則于是，同理，于是我們可以得到.即，所以Q點(diǎn)的軌跡是直線，即為原點(diǎn)到直線的距離，所以考點(diǎn)九：切線問(wèn)題【例9】（2024·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，過(guò)C中心的直線交C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上其橫坐標(biāo)是點(diǎn)M橫坐標(biāo)的3倍，直線NP交C于點(diǎn)Q，若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則C的離心率為．【答案】【解析】設(shè)，，則，，設(shè)、、，分別為直線、、的斜率，則，，，因直線是以為直徑的圓的切線所以，，所以，又在直線上，所以，因、在上，所以，，兩式相減得，整理得，故，即，，故.故答案為：【變式9-1】（2024·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過(guò)拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線（為拋物線的焦點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)），所以可設(shè)點(diǎn)，且當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為原點(diǎn)不合題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，聯(lián)立，消去可得，化簡(jiǎn)可得，令，可得，化簡(jiǎn)可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因?yàn)辄c(diǎn)，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，當(dāng)時(shí)，的方程為，的方程則或，滿足由兩式相除可得，即由，可得再代入，可得，化簡(jiǎn)可得，可得，可知點(diǎn)軌跡為半徑為的圓，圓心為,結(jié)合圖形可知，又，，則.故答案為：【變式9-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線，M為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，記A，B，M的橫坐標(biāo)分別為，則下列關(guān)系：①；②；③.其中正確的是(填序號(hào))．【答案】①【解析】由，得，求導(dǎo)得，則切線的斜率分別為，而，于是直線的方程為，直線的方程為，因此，則，而，從而，①正確；，即，②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，③無(wú)意義，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤，所以正確命題的序號(hào)是①.故答案為：①考點(diǎn)十：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例10】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，若，且的面積為，則A．2 B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】設(shè)，，則由橢圓的定義可得：①在△中，所以②，由①②得即所以，．故選：B．【變式10-1】（2024·云南·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？计谀┮阎?，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A．9 B．3 C．4 D．8【答案】B【解析】法一：設(shè)，，則，，∴．又，∴，解得．法二：由焦點(diǎn)三角形面積公式得故選：B【變式10-2】（2024·江西贛州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為q，則q取最大值時(shí)，的面積為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】根據(jù)橢圓定義，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)三角形是等腰三角形，易知，所以的面積為故選：B.考點(diǎn)十一：焦點(diǎn)弦問(wèn)題【例11】（2024·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∵，∴，因?yàn)?，所以，，?故選：A【變式11-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是雙曲線的左支上一點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則．由題可知，，∴，，，∴，的周長(zhǎng)為．∵當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，∴的周長(zhǎng)的最小值為．故選：A【變式11-2】（2024·四川遂寧·統(tǒng)考）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（，的橫坐標(biāo)不相等），弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若，則（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【解析】設(shè)，，弦的中點(diǎn)為，，則，所以，所以，則，所以弦的垂直平分線為．令，則，所以．又，所以．故選：D．考點(diǎn)十二：圓錐曲線與張角問(wèn)題【例12】（2024·湖南·高三校聯(lián)考期末）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】①時(shí)，上存在點(diǎn)滿足，設(shè)為橢圓短軸端點(diǎn)，當(dāng)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，要使橢圓上存在點(diǎn)滿足則，，，解得；②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，同理可得；的取值范圍是.故選：A.【變式12-1】（2024·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考）已知，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，，當(dāng)為上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)樽鴺?biāo)，，，所以，即，解得；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，，當(dāng)為左右頂點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)?，，，所以，即，解得，故選：C.【變式12-2】（2024·湖南常德·統(tǒng)考）定義：點(diǎn)為曲線外的一點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取最大值時(shí)，叫點(diǎn)對(duì)曲線的張角.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)對(duì)圓的張角為，則的最小值為.【答案】【解析】如圖，，要使最小，則最大，即需最小.設(shè)，則，∴當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)或，.故答案為：.考點(diǎn)十三：圓錐曲線與角平分線問(wèn)題【例13】（2024·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，其右支上有一點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)向的平分線引垂線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率.【答案】【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，則，因?yàn)椋?，則，，在中，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，即，所?故答案為：【變式13-1】（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，．【答案】【解析】由題可知，．因?yàn)槠椒?，所以到，的距離相等，設(shè)為，則．易知是的中位線，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，過(guò)作于，易得，則，從而．故答案為：【變式13-2】（2024·福建龍巖·統(tǒng)考）已知拋物線，直線過(guò)點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)，若的平分線過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為．【答案】【解析】設(shè)直線的方程為，即，設(shè)直線，的方程分別為，，即，，設(shè)，，的平分線過(guò)點(diǎn)，，整理得：，，，則，即，由，得，，．又，，解得：或（舍去）.故答案為：.考點(diǎn)十四：圓錐曲線與通徑問(wèn)題【例14】（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┻^(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，則的通徑長(zhǎng)為.【答案】【解析】設(shè)直