廣東省初中數(shù)學(xué)中考命題規(guī)律分析

廣東省初中數(shù)學(xué)中考命題規(guī)律分析

目錄

【模塊一】知識(shí)模塊考查題量分布.......................................1

【模塊二】經(jīng)典題型分析...............................................2

經(jīng)典考查題型一：用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)（易）.........................2

經(jīng)典考查題型二：幾何體的三視圖及立體圖形三視圖（易）............4

經(jīng)典考查題型三：代數(shù)式化簡(jiǎn)求值（易）.............................6

經(jīng)典考查題型四：統(tǒng)計(jì)與概率綜合（中）.............................8

經(jīng)典考查題型五：方程、不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（中）...............15

經(jīng)典考查題型六：圓綜合（難）....................................18

經(jīng)典考查題型七：二次函數(shù)綜合（難）..............................25

經(jīng)典考查題型八：幾何綜合（難）..................................35

2021-2023年廣東省初中數(shù)學(xué)中考命題規(guī)律分析

【模塊一】知識(shí)模塊考查題量分布

圖形的統(tǒng)計(jì)與概

模塊名稱數(shù)與式方程與不等式函數(shù)圖形的性質(zhì)

變化率

東莞市

中山市

韶關(guān)市

珠海市

汕頭市

佛山市

近

江門市

湛江市

年

茂名市

中

肇慶市169141886

考

惠州市

題

梅州市

考

汕尾市

查

河源市

題

陽(yáng)江市

量

清遠(yuǎn)市

潮州市

揭陽(yáng)市

云浮市

廣/p>

深圳市178101588

考情分析:

。東省除廣州市和深圳市獨(dú)立命題外，其他各市的中考數(shù)學(xué)考試內(nèi)容是相同的（后續(xù)統(tǒng)一命'

名為廣東）.從近幾年的數(shù)學(xué)試意來(lái)看，重點(diǎn)考查叢礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，知識(shí)點(diǎn)考查的比較全

面，但思維難度不大，大多數(shù)題目屬于中等偏易類題目，做好基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)是取得高分的

關(guān)鍵；

壓軸題多以代幾綜合類題目為主，其考查方向相對(duì)比較靈活，因此需要復(fù)習(xí)的覆蓋面也會(huì)隨

之增大.

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【模塊二】經(jīng)典題型分析

經(jīng)典考查題型一：用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)（易）

NO1.題型特點(diǎn)

給出較大的數(shù)或遠(yuǎn)小于1妁數(shù)，要求用科學(xué)記數(shù)法將該數(shù)表示出來(lái).

NO2.解題技能

<\

用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的最終結(jié)果是。xl（）"的形式，具體的方法是移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)法，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)

的位數(shù)決定了〃的值：小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)，〃為正；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)，"為負(fù).

注意：〃的取值范圍要求是iKavlO.

NO3.經(jīng)典考題

1.（2023?廣東）2023年5月28日，我國(guó)自主研發(fā)的。919國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成

功.0919可儲(chǔ)存的186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186X105B.1.86x105C.18.6xl04D.186xl0*1234

【解答】解：將186000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.86X1O5.

故選：B.

2.（2023?深圳）深中通道是世界級(jí)“橋、島、隧、水下互通”跨海集群工程，總計(jì)用了320000

萬(wàn)噸鋼材，320000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.32xlO6B.3.2x10’C.3.2x10°D.32x10s

【解答】解：320000=3.2x10$.

故選：B.

3.（2022?深圳）某公司一年的銷售利潤(rùn)是1.5萬(wàn)億元.1.5萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.15x10"B.1.5x!012C.1.5x10"D.15xlO12

【解答】解：1.5萬(wàn)億=1500000000000=1.5x1（）12.

故選：3.

4.（2021?廣東）據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)發(fā)布，截至2021年5月23日，31個(gè)省（區(qū)、市）

及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗51085.8萬(wàn)劑次，將“51085.8萬(wàn)”用科學(xué)

記數(shù)法表示為（）

A.0.510858xIO9B.51.0858xl07C.5.10858xIO4D.5.10858x1（/

【解答】解：51085.8萬(wàn)=510858000=5.10858x1()8,

故選：D.

5.(2023?廣州)近年來(lái)，城市電動(dòng)自行車安全充電需求不斷攀升.截至2023年5月底，某

市已建成安全充電端口逾280000個(gè)，將280000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【解答】解：280000=2.8xlO5,

故答案為：2.8xl()5.

經(jīng)典考查題型二：幾何體的三視圖及立體圖形三視圖（易）

NO1.題型特點(diǎn)

直接識(shí)別已知的簡(jiǎn)單幾何體或組合體的三視圖，或根據(jù)三視圖判斷簡(jiǎn)單幾何體或組合體的形

狀.

\/

NO2.解題技能

公記主視圖、.在視圖和俯視圖的準(zhǔn)確定義，掌握三個(gè)視圖之間的關(guān)聯(lián).從左面看-左視圖,從'

上而看-俯視圖，從正面看-主視圖.

注意：看得到的線用實(shí)線，看不到但存在的線用虛線表示.

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NO3.經(jīng)典考題

I.（2023?廣州）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（）

【解答】解：由主視圖和左視圖可以得到該兒何體是圓柱和小圓錐的復(fù)合體，由俯視圖可以

得到小圓錐的底面和圓柱的底面完全重合.

故選：D.

2.（2022?廣州）如圖是一個(gè)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖，這個(gè)幾何體可以是（）

【解答】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，

???判斷這個(gè)幾何體是圓錐.

故選：A.

3.（2021?廣東）下列圖形是正方體展開(kāi)圖的個(gè)數(shù)為（）

故選：c.

4.（2021?深圳）如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成小正方體后，和“建”字所

在面相對(duì)的面上的字是（）

A.跟B.百C.走

【解答】解：正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，和“建”字所在面

相對(duì)的面上的字是“百”.

故選：B.

經(jīng)典考查題型三：代數(shù)式化簡(jiǎn)求值（易）

NO1.題型特點(diǎn)

代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值既包括整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，又包括分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題；此類問(wèn)題的經(jīng)

典題型包括：直接代入型、整體代入型和消元代入型（常出現(xiàn)在分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題中）.

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NO2.解題技能

化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的表本解題要求是：先化藺，再求值

注意：化簡(jiǎn)結(jié)果和求值結(jié)果都是非常重要的得分點(diǎn)，要注意規(guī)范解題步驟.

\____________________________________；________________________________/

NO3.經(jīng)典考題

1.（2023?廣州）已知”>3，代數(shù)式：A=2/_8,B=3a*2+6a,C=/—4/+4a.

（1）因式分解4：

（2）在A,4,C中任選兩個(gè)代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分

式.

【解答】解：（1）2a2-8

=2（/-4）

=2(6/+2)(a-2)；

（2）選A,8兩個(gè)代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個(gè)分式（答案不唯一）,

2(a+2)(a—2)

3a(a+2)

2(a—2)

3a

|x2-I

2.（2023?深圳）光化簡(jiǎn)，再求值：（，+1）+工其11x=3.

x-1X-2x+l

［解答］解：原式二上忙!.QT）2

x-\（x+l）（x-l）

xx-1

x-\x+\

X

.r+1

原式=工=之

當(dāng)x=3時(shí),

3+14

*2-*45\

3.(2022?廣東)先化簡(jiǎn)，再求值：〃+-a----,其中a=5.

￡7-1

【解答】解：原式="("-)+'一

a-\

a2-a+a2-］

~'a^\

2a2-a-\

~~'a^\

_(2a+l)(a-l)

a-\

=2。+1,

當(dāng)a=5時(shí)，原式=10+1=11.

4.(2022?深圳)化簡(jiǎn)求值：(生匚一1)二:以+4,其中x=4.

XX-x

.hn3、Hn2A,-2x~—4x+4

【解答】解：(Z-------1)+—；------

XX-x

2x-2-x(A-2)2

=---------r------

xx(x-1)

x-2x(x-\)

x(x-2)2

x-\

=----9

x-2

當(dāng)x=4時(shí)，

3

=-.

2

5.(2021?深圳)先化簡(jiǎn)再求值：(，+1)J+6+9,其中彳=一1.

x+2x+3

［解答］解：原式=匕士.，」+3

x+2%'+6.v+9

_x+3x+3

x+2(x+3)2

1

-x+2'

當(dāng)x=-1時(shí)，原式=---=I.

-1+2

經(jīng)典考查題型四：統(tǒng)計(jì)與概率綜合（中）

NO1.題型特點(diǎn)

題干給出大量的文字和圖表信息，提煉題干中的關(guān)鍵信息，補(bǔ)全圖表并計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、

方差、平均數(shù)等分析數(shù)據(jù)、推斷結(jié)論的合理性、已知部分求整體、已知整體求部分等等.

\/

NO2.解題技能

從先要看清給出的圖表標(biāo)題，分析各個(gè)圖表一間的聯(lián)系，注取關(guān)鍵信息，掌握中位數(shù)、眾叁\

方差等分析數(shù)據(jù)代表的含義及具體的計(jì)算公式，已知部分求整體，已知整體求部分等補(bǔ)全圖

表的能力很重要.

注意：根據(jù)列表法或樹(shù)狀圖法求事件發(fā)生的概率也是?？嫉狞c(diǎn).列表法適用于計(jì)算兩步隨機(jī)

七件發(fā)生的概率，而樹(shù)狀圖法適用于計(jì)算兩步及更多步的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

y

NO3.經(jīng)典考題

1.（2023?深圳）為了提高某城區(qū)居民的生活質(zhì)量，政府將改造城區(qū)配套設(shè)施，并隨機(jī)向某

居民小區(qū)發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷（1人只能投1票），共有休閑設(shè)施，兒童設(shè)施，娛樂(lè)設(shè)施，健身設(shè)施

4種選項(xiàng)，一共調(diào)查了〃人，其調(diào)查結(jié)果如下：

如圖，為根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖1）和條形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖I可答下

面的問(wèn)題：

①調(diào)查總?cè)藬?shù)a=—人；

②請(qǐng)補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖；

③若該城區(qū)共有10萬(wàn)居民，則其中愿意改造“娛樂(lè)設(shè)施”的約有多少人？

④改造完成后，該政府部門向甲、乙兩小區(qū)卜.發(fā)滿意度調(diào)查問(wèn)卷，其結(jié)果（分?jǐn)?shù)）如卜.：

項(xiàng)目休閑兒童娛樂(lè)健身

小區(qū)

甲7798

乙8879

若以進(jìn)行考核，小區(qū)滿意度（分?jǐn)?shù)）更高;

若以進(jìn)彳丁考核，—小區(qū)滿意度（分?jǐn)?shù)）更高.

【解答】解：①，由題意得，=40-40%=100,

故答案為：100：

②樣本中“娛樂(lè)”的人數(shù)100-17-13-40=30（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下:

圖2

30

@100000x—=30000(人)，

1(X)

答：該城區(qū)1（）萬(wàn)名居民中愿意改造“娛樂(lè)設(shè)施”的約有30000人;

④按照進(jìn)行考核，甲：7+7+9+8=7.75（分），乙：8+8+7+9=8（分），因此乙

44

的較好,

按照進(jìn)行考核，甲：7+7+18+8=8（分），-8+14+9=7.8（分），因此甲的較

1+1+2+11+1+2+1

好，

故答案為：乙，甲.

2.（2023?廣東）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用時(shí)間，小

紅做了試驗(yàn)，第一周（5個(gè)工作日）選擇A線路，第二周（5個(gè)工作日）選擇8線路，每天在

固定時(shí)間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時(shí)間.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（單位：min）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

實(shí)驗(yàn)序12345678910

號(hào)

A線路15321516341821143520

所用時(shí)

間

8線路25292325272631283024

所川時(shí)

間

根據(jù)以上信息解答卜.列問(wèn)題:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時(shí)間22a1563.2

4線路所用時(shí)間b26.5C6.36

(1)填空：a=；b=：c=；

(2)應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖

從小到大順序?yàn)椋?4,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10個(gè)數(shù),

中位數(shù)在第5和6個(gè)數(shù)為18和20,

所以中位數(shù)為心2=]9,

2

求平均數(shù)b-25+29+23+25+27+26+31+28+30+24_?68

10

眾數(shù)c=25,

故答案為；19,26.8,25.

（2）小紅統(tǒng)計(jì)的選擇A線路平均數(shù)為22,選擇6線路立均數(shù)為26.8,用時(shí)差不太多.而方

差63.2>6.36,相比較〃路線的波動(dòng)性更小，所以選擇3路線更優(yōu).

3.（2022?廣州）某校在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生參加“平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間”

的調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

頻數(shù)分布表

運(yùn)動(dòng)時(shí)間頻數(shù)頻率

//min

領(lǐng)數(shù)分布直方圖

3Q,/<6040.1頻數(shù)

（學(xué)生人數(shù)）

60,,t<9070.1756

4

2

9Q,/<120a0.350

8

6

12Q,r<15090.2254

2

150,,/<1806b0

合計(jì)n1

請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息解答卜列問(wèn)題：

（1）頻數(shù)分布表中的々=,b=,〃=；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）若該校九年級(jí)共有480名學(xué)生，試估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于

120min的學(xué)生人數(shù).

【解答】解：（1）由題意可知，H=4^0.1=40,

.-.^=40x0.35=14,6=6+40=0.15,

故答案為：14；0.15；40；

（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

頻數(shù)分布直方圖

（3）480x^2=180（名），

40

答：估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于120min的學(xué)生人數(shù)為180名.

2.（2022?深圳）某工廠進(jìn)行廠長(zhǎng)選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“良

好”，“合格”，“不合格”.

（1）本次抽查總?cè)藬?shù)為—，“合格”人數(shù)的百分比為一;

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為一；

（4）在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為

【解答】解：（1）本次抽查的總?cè)藬?shù)為8?16%=50（人），

“合格”人數(shù)的百分比為1-（32%+16%+12%）=40%，

故答案為：50人，40%：

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為360°x32%=115.2。,

故答案為：115.2°；

（4）列表如下:

甲乙丙

甲（乙，甲）（丙，甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）

由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中剛好抽中甲乙兩人的有2種結(jié)果，

所以剛好抽中甲乙兩人的概率為2.

63

故答案為：1.

3

4.（2022?廣東）為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，在農(nóng)產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)銷售中實(shí)行目標(biāo)管理，根據(jù)目標(biāo)完成的情

況對(duì)銷售員給予適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì)，某村委會(huì)統(tǒng)計(jì)了15名俏售員在某月的俏售額（單位：萬(wàn)元）,

數(shù)據(jù)如下：

1047541054418835108

（1）補(bǔ)全月銷售額數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）月銷售額在哪個(gè)值的人數(shù)最多（眾數(shù)）？中間的月銷售額（中位數(shù)）是多少？平均月

銷售額（平均數(shù)）是多少？

（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果，確定一個(gè)較高的銷售目標(biāo)給予獎(jiǎng)勵(lì)，你認(rèn)為月銷額定為多少合適？

人數(shù)

A

NTTFF一…ITTT…，

345781018銷售制萬(wàn)元

【解答】解：（1）補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，如圖,

（2）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可得,

眾數(shù)為：4（萬(wàn)元），中位數(shù)為：5（萬(wàn)元），平均數(shù)為:

3x1+4x4+5x3+7x1+8x2+10x3+18x1,丁一、

------------------------------------=7（萬(wàn)兀）,

15

（3）應(yīng)確定銷售目標(biāo)為7萬(wàn)元，激勵(lì)大部分的銷售人員達(dá)到平均銷售額.

5.（2021?廣東）某中學(xué)九年級(jí)舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,

（2）若規(guī)定成績(jī)大于或等于90分為優(yōu)秀等級(jí)，試估計(jì)該年級(jí)獲優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生人數(shù).

【解答】解：（1）由列表中9（）分對(duì)應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90,

由于人數(shù)總和是20人為倡數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個(gè)和第II個(gè)數(shù)據(jù)都是9。分,

因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)該是90,

鼎,以80x2+85x3-90x8+95x5+1（X）x2八八

平均數(shù)是：---------------------------------=90.5；

24-3+8+5+2

（2）根據(jù)題意得:

600x8+5+2=45。（人）,

20

答：估計(jì)該年級(jí)獲優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生人數(shù)是450人.

經(jīng)典考查題型五：方程、不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（中）

NO1.題型特點(diǎn)

此類實(shí)際問(wèn)題通?？梢越柚诹蟹匠蹋ńM）、不等式（組）進(jìn)行求解，根據(jù)題目的已知條件

可以列一元一次方程、二元一次方程、分式方程、一元二次方程、不等式（組）等進(jìn)行求解.

NO2.解題技能

4解題意之后找到題目中量之間的關(guān)系，列方程、不等式并求解，如果是分式方程，需要加

行臉根.一般情況下，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)步驟為：

①設(shè)未知數(shù)；

②列方程（組）、不等式：組）；

③解方程（組）、不等式￡組），注意：如果是分式方程要檢驗(yàn)；

也^題.

NO3.經(jīng)典考題

1.（2023?深圳）某商場(chǎng)在世博會(huì)上購(gòu)置力，8兩種玩具，其中8玩具的單價(jià)比A玩具的單

價(jià)貴25元，且購(gòu)置2個(gè)5玩具與1個(gè)A玩具共花費(fèi)200元.

（1）求A,8玩具的單價(jià)；

（2）若該商場(chǎng)要求購(gòu)置“玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購(gòu)置玩具的總額不高于20000

元，則該商場(chǎng)最多可以購(gòu)置多少個(gè)A玩具？

【解答】解：（1）設(shè)每件A玩具的進(jìn)價(jià)為x元，則每件6玩具的進(jìn)價(jià)為（x+25）元，

根據(jù)題意得：2（x+25）+i=200,

解得：x=50?

可得x+25=50+25=75,

則每件A玩具的進(jìn)價(jià)為50元，每件8玩具的進(jìn)價(jià)為75元；

（2）設(shè)商場(chǎng)可以購(gòu)置A玩具y個(gè)，

根據(jù)題意得：50y+75x2%20000,

解得：y?100,

則最多可以購(gòu)置A玩具100個(gè).

2.（2023?廣東）某學(xué)校開(kāi)展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12km,甲、乙兩同學(xué)騎自

行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲匕乙早到lOmin,求乙同學(xué)騎自行車

的速度.

【解答】解：設(shè)乙騎自行車的速度為Xkm/h,則甲騎自行車的速度為1.2Xkm/h,

根據(jù)題意得乜-，=工-,

x61.2x

解得x=12.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原分式方程的解，

答：乙騎自行車的速度為I2km/h.

3.（2022?廣東）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購(gòu)買1本.若每人

出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元.問(wèn)學(xué)生人數(shù)和該書單價(jià)各是多少？

【解答】解：設(shè)學(xué)生有x人，該書單價(jià)y元，

8v，=3

根據(jù)題意得：（7.

x=7

解得:

y=53

答：學(xué)生有7人，該書單價(jià)53元.

4.（2022?深圳）某學(xué)校打算購(gòu)買甲乙兩種不同類型的筆記本.已知甲種類型的筆記本的單

價(jià)比乙種類型的要便宜1元，且用110元購(gòu)買的甲種類型的數(shù)量與用120元購(gòu)買的乙種類

型的數(shù)量一樣.

（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價(jià).

（2）該學(xué)校打算購(gòu)買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購(gòu)買的乙的數(shù)量不超過(guò)甲的3倍，

則購(gòu)買的最低費(fèi)用是多少.

【解答】解：（1）設(shè)甲類型的筆記本單價(jià)為工元，則乙類型的筆記本單價(jià)為（x+1）元，

由題意得，119=型，

xx+\

解得x=ll,

經(jīng)檢驗(yàn)x=11是原方程的解，且符合題意，

.??乙類型的筆記本單價(jià)為x+1=11+1=12（元），

答：甲類型的筆記本單價(jià)為II元，乙類型的筆記本單價(jià)為12元；

（2）設(shè)甲類型筆記本購(gòu)買了a件，費(fèi)用為w元，則乙類型的筆記本購(gòu)買了（100-。）件，

.,購(gòu)買的乙的數(shù)量不超過(guò)平的3倍，

.,.IOO-a,3a,且100-。一0,

解得25制7100,

根據(jù)題意得卬=11。+12（100—a）=11。+1200—12〃=一。+1200,

,/-I<0,

??.w隨〃的增大而減小，

.?”=100時(shí)，卬最小值為一100+1200=1100（元），

答：最低費(fèi)用為1100元.

5.（2021?廣東）端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華

民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場(chǎng)上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購(gòu)

進(jìn)的豬肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50

元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高I元時(shí)，每天少售出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)：

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元（50如k65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(rùn)（單位：元），

求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤(rùn).

【解答】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)“元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)（。-10）元，

80006000

則llhl----=-----，

aa-10

解得：。=40,經(jīng)檢驗(yàn)a=40是方程的解，

二豬肉每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元，

答：豬肉每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元；

（2）由題意得，當(dāng)x=50時(shí)，每天可售出100盒，

當(dāng)豬肉粽每盒售價(jià)x元（50領(lǐng)k65）時(shí)，每天可售口00-2。-50）］盒，

.,.），=戈100—2（x-50）］-43x［100-2（%-50）］=-2x2+280x-8000,

配方，得：），二一2。-70）2+1800,

xv70時(shí)，y隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=65時(shí)，y取最大值，最大值為：-2x（65-70）2-1800=1750（元）.

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為），=-2/+28（比-8000（5晚k65）,且最大利潤(rùn)為1750元.

經(jīng)典考查題型六：圓綜合（難）

NO1.題型特點(diǎn)

圓是中考數(shù)學(xué)非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，涉及的知識(shí)點(diǎn)包括國(guó)周角定理，圓的對(duì)稱性，借助垂徑

定理解決實(shí)際問(wèn)題，此外還有利用切線的判定方法求證切線，借助圓中的相似、勾股定理、

口兌角三角函數(shù)等求解線段的長(zhǎng)度.7

NO2.解題技能

圓蓼西薪二晟超最前基行氯耒*紊\

一是借助切線的判定定理，結(jié)合已知條件證切線，常用方法為：①連半徑，證垂直；②作垂

直，證半徑；或利用切線的性質(zhì)進(jìn)行角度計(jì)算，此時(shí)在沒(méi)有連半徑的情況下，依然要連半徑，

得90°,兩個(gè)考試方向一般都會(huì)與切線相關(guān)；

號(hào)是借助勾股定理，相似三角形，三角函數(shù)等求線段長(zhǎng)度，這是近年來(lái)的熱門考點(diǎn).）

NO3.經(jīng)典考題

1.（2023?深圳）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O,A,8均在格點(diǎn)上，OA=3,

AB=2,以。為圓心，OA為半徑畫圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：

①過(guò)點(diǎn)A作切線AC,且AC=4（點(diǎn)C在A的上方）；

②連接OC，交O于點(diǎn)O：

③連接8。，與AC交于點(diǎn)、E.

（1）求證：DB為。的切線；

（2）求AE的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖:

(I)AC是圓的切線，

.?.N04C=9O。，

OC=5，

由題意得：OD=AO=3,OB=OC=5>ZAOC=NDOB,

.-.△AOC^ADOB(SAS),

Z.ODB=ZOAC=90°，

OD是圓的半徑，

:.DB為O的切線：

(2)ZCDE=ZC4O=9()0,ZC=ZC,

..△CDE^ACAO,

CDCE

.?----=-----9

ACCO

即：2=延，

45

解得：CE=2.5,

AE=AC-CE=4-2.5=i.5.

2.(2022?廣東)如圖，四邊形A3C。內(nèi)接于O,AC為O的直徑，ZADB=/CDB.

(1)試判斷△ABC的形狀，并給出證明；

(2)若AB=g,AD=l,求CD的長(zhǎng)度.

B

【解答】解：(1)△44C是等腰直角三角形，證明過(guò)程如下:

AC為O的直徑，

ZADC=ZA^C=90°,

?/ZADB=/CDB,

AB=BC，

/.AB=BC，

又??NA5c=90。，

「.△ABC是等腰直角三角形.

(2)在RtAA5c中，AB=BC=4i,

:.AC=2,

在Rt^ADC中，AD=\,AC=2,

:.CD=y/3.

即8的長(zhǎng)為：G.

3.(2022?深圳)一個(gè)玻璃球體近似半圓O,AB為直徑.半圓O上點(diǎn)C?處有個(gè)吊燈所，

EF/IAB,COLAB,Er的中點(diǎn)為O,04=4.

(I)如圖①，CM為一條拉線,M在08上，OA/=1.6,。尸=0.8,求C￡)的長(zhǎng)度.

(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓0相切，，為切點(diǎn)，M為03上一點(diǎn),M4為入射光線，NH

為反射光線，/OHM=NOHN=45°,tanZCOH=-,求QV的長(zhǎng)度.

4

(3)如圖③，M是線段04上的動(dòng)點(diǎn)，用〃為入射光線，=50°,"N為反射光線

交圓。于點(diǎn)N,在用從。運(yùn)動(dòng)到4的過(guò)程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

【解答】解：（1）OM=1.6,DF=0.8,EFIIAB,

DF是△COW的中位線，

.,?點(diǎn)。是oc的中點(diǎn)，

?.oc=OA=4,

;.CD=2；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)、N作ND工OH于點(diǎn)D,

NOHN=45。,

:.NNHD是等腰直角三角形，

:,ND=HD,

3

-.tanZCO//=-,ZNDO=90°,

4

ND3

.?----=-9

OD4

設(shè)ND=3x=HD,則O￡>=4x,

OH=OA=4,

:.OH=3x+4x=4,

4

:.x=—>

7

/.A^D=-x3=—,O￡>=-x4=—,

7777

/.ON=yjOD2+ND2=—;

7

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)

至點(diǎn)7,故點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為Q4+AT的長(zhǎng),

B何

:./OHB=/OBH=65°,

JOHM=/OHT,OH=OT,

:.ZOTH=ZOHT=65Q,

Z7O/7=50°,

/.ZAOT=180°-50°-50°=80°,

80x4x416

AT的長(zhǎng)==—7T

1809

.??點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=4+竺乃.

9

4.（2022?廣州）如圖，AA是。O的直徑，點(diǎn)C在UO上，且AC=8,BC=6.

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作4c的垂線，交劣弧AC于點(diǎn)。，連接CD（保留作圖痕跡，不寫

作法）;

（2）在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)。到47的距離及sinNAC力的值.

【解答】解：（I）分別以A、。為圓心，大于為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別相交于

2

P、。兩點(diǎn)，畫直線PQ交劣弧AC于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,即作線段AC的垂直平分線,

由垂徑定理可知，宜線夕。一定過(guò)點(diǎn)O；

（2）項(xiàng)是。的直徑，

ZAC8=90。，

在RtaABC中，且AC=8,BC=6.

：.AB=yjAC2+BC2=10,

-ODLAC,

AE=CE=-AC=4,

2

又OA=OB,

.?.OE是AABC的中位線，

:.OE=-BC=3,

2

由于PQ過(guò)圓心O，且PQ_LAC,

即點(diǎn)。到AC的距離為3,

連接OC,在RtZXCDE中,

DE=OD-CE=5-3=2,CE=4,

:.CD=^DE2+EC2=J/+42=26

,sm/A3三=j=@

CD2755

5.（2021?深圳）如圖，AB為°。的弦，D,。為ACB的三等分點(diǎn)，AC/IBE.

(1)求證：Z4=ZE；

(2)若3C=3,BE=5,求CE的長(zhǎng).

【解答】(1)證明:

，.ACI/BE,

:.ZE=ZACD,

D,C為AC8的三等分點(diǎn),

BC=CD=AD,

：.ZACD^ZA,

:.ZE=ZA,

(2)解：由(1)知6C=CO=AO,

/.ZD=ZCBD=ZA=ZE,

;.BE=BD=5,BC=CD=3,,

CBBD35

---=--->即一=----,

BDDE5DE

25

解得DE=?,

3

:.CE=DE-CD=—-3=—.

33

經(jīng)典考查題型七：二次函數(shù)綜合（難）

NO1.題型特點(diǎn)

二次函數(shù)綜合問(wèn)題一般會(huì)出現(xiàn)在試卷后幾道壓軸題的位置，屬于中考難點(diǎn)，?？碱愋褪嵌?/p>

函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，其中幾何圖形的存在性問(wèn)題是熱門考點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用.

\>

NO2.解題技能

/三次函數(shù)綜合問(wèn)題的忠礎(chǔ)鋪墊知識(shí)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其次能夠根據(jù)已知條件利用待\

定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是必備技能.

對(duì)于存在性問(wèn)題，一般包括：等胺三角形的存在性、直角三角形的存在性、平行四邊形的存

在性、菱形的存在性、相似三角形的存在性等，處理存在性問(wèn)題的核心思想是分類討論.

注意：無(wú)論是面積問(wèn)題、發(fā)段關(guān)系問(wèn)題、角度問(wèn)題等，最終都會(huì)利用點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合幾何

Y+性得到關(guān)系式，因此掌握數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的.，

NO3.經(jīng)典考題

1.（2023?廣州）已知點(diǎn)〃（〃?,"）在函數(shù)），=-2（xvo）的圖象上.

x

（1）若〃z=—2,求〃的值；

（2）拋物線y=（工一/〃）（％-〃）與x軸交于兩點(diǎn)M,N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，

記拋物線的頂點(diǎn)為E.

①〃?為何值時(shí)，點(diǎn)后到達(dá)最高處；

②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C,C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為產(chǎn)，當(dāng)帆+〃工0時(shí)，是否存在

四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）把/〃=一2代入y=—（xvO）得〃=一~—=1;

x-2

故〃的值為1：

(2)①在y=0—7〃)0—〃)中，令y=0,則—〃)=0,

解得x=，〃或x=n，

點(diǎn)在函數(shù)y=-二(工＜0)的圖象上，

x

：.mn=-2,

令x=團(tuán)+",得y=(x-—〃)=--(/n—n)2=-2-—im+n)2?—2,

244

即當(dāng)〃7+〃=0,且"7〃=—2?

則加=2,解得：,n=-x/2(正值已舍去),

即加==歷時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處;

②假設(shè)存在，理由：

對(duì)于y=(x-/〃)(.r-〃)，當(dāng)x=0時(shí)，y=mn=-2,即點(diǎn)G(0,-2),

m+n

作MG的中垂線交MG于點(diǎn)7,交)，軸于點(diǎn)S,交x軸于點(diǎn)K,則點(diǎn)7(；〃?,

則tanNMKT=-Ln,

2

則直線75的表達(dá)式為：=.

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(竺吆，-i).

22

由垂徑定理知，點(diǎn)C在尸G的中垂線上，則R7=2(53_)，c)=2x(_g+2)=3.

??,四邊形尸GEC為平行四邊形，

則廢=用；=3=無(wú)-"=-；-九，

解得：及.=_g,

17

即—(〃?-n)2=—,且run=—2,

42

則〃?+n=±JS,

,E(網(wǎng)

??匕(-----,

2

2.（2023?深圳）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可

以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫

塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間.

如圖1，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形A8CD和拋物線板＞構(gòu)成，其中八A=3m,

BC=4m,取3c中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作線段3c的垂直平分線。￡交拋物線AEQ于點(diǎn)石，若以

。點(diǎn)為原點(diǎn)，8c所在直線為x軸，OE為），軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）如圖2,拋物線AED的頂點(diǎn)頊0,4）,求拋物線的解析式：

（2）如圖3,為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置/JG7，

SMNR,若FL=NR=0.75m,求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng)；

（3）如圖4,在某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線透過(guò)A點(diǎn)恰好照射到。點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為CK,

求CK的長(zhǎng).

圖1住2酣障

【解答】解：(1)?;AB=3m,AD=13C=4m,E(0,4),

A(—2,3),B(-2,0),C(2,0),D(2,3),

設(shè)拋物線表達(dá)式為y=av2+bx+c,

將A、。、石三點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式,

4a-2b+c=3

得■4a+2b+c=3?

c=4

1

4

解得卜=0.

c=4

.?.拋物線表達(dá)式為），=--x2+4.

-4

答：拋物線表達(dá)式為y=-：V+4.

（2）設(shè)G（T,3）,則〃t—3,3+之），

44

解得（負(fù)值舍去），

4

..GM=2t=-.

2

答：兩個(gè)正方形裝置的間距的長(zhǎng)為」m.

2

（3）取最右側(cè)光線與拋物線切點(diǎn)為尸，如圖4,

圖4

設(shè)直線AC的解析式為），=h+9

-2k+b=3

'2k+b=0'

解得「，

b=-

2

「?直線AC的解析式為y=--x+-，

42

FKI/AC,

設(shè)/內(nèi)：y=一:4+m'

3

y=-x+m

4

12,

y=——x+4

4

ZH1->3八

得——廠+—x+4A—〃z=0,

44

31

/.A=(―)2-4x(——)(4-，〃)=0?

44

解得〃?=殳，

16

直線FK的解析式為y=~x+—，

.416

令y=0,得x=史，

12

“73「97

BK=—+2=——

1212

9749

:.CK=BK-BC=——4

127?

答：CK的長(zhǎng)為2m.

12

3.(2022?廣州)已知直線/:)，=去+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,7)和點(diǎn)(1,6).

(1)求直線/的解析式；

(2)若點(diǎn)。(〃?,〃)在直線/上，以。為頂點(diǎn)的拋物線G過(guò)點(diǎn)(0,-3),且開(kāi)口向下.

①求〃?的取值范圍；

②設(shè)拋物線G與直線/的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)也

在G上時(shí)，求G在他效改叫+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo).

55

【解答】解:(1)將點(diǎn)(0.7)和點(diǎn)(1,6)代入)，=6+匕，

b=7

"'k+b=6'

化=一1

解得

〃二7

y=-x+7；

(2)①。點(diǎn)P(〃?,〃)在直線/上,

+7

設(shè)拋物線的解析式為y=4X加)2|7m

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-3),

anr+7-m=-3,

m—\0

m-2

拋物線開(kāi)口向下,

<0>

m-10_

——^<0?

m

v10且mH0;

②拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，〃，

。點(diǎn)與。關(guān)于x=w對(duì)稱，

.??Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為〃?+],

y=-xA1

聯(lián)M方程組

y=a{x-m)2+7-ni

整理得or2+(1-2ma)x+am2-m=0,

P點(diǎn)和Q點(diǎn)是直線/與拋物線G的交點(diǎn),

Ic1

m+m+—=2m----

2a

解得〃?=2或m=--

2

當(dāng),〃=2時(shí)，y=-2(x-2)2+5,

此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，

圖象在1的k裝上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)；

219

當(dāng)〃?=_g時(shí)，y=-2(x+1)+一，

2

_5

此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線x

~2

圖象在-2效k-1上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,|)；

綜上所述：G在早融與+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-