2024-2025學(xué)年陜西省西安市西安八十三中高二（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西省西安八十三中高二（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)y=3x?x3的極大值點是(

)A.(1,2) B.1 C.2 D.?12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+2π3)，則曲線y=f(x)在A.2x+2y+3=0 B.x+2y?3=03.回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味.相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為：“回文數(shù)”.如55，696，3773等，那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為(

)A.36個 B.56個 C.64個 D.84個4.已知函數(shù)f(x)=lnx2?x+ax在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)aA.(?∞,?2) B.(?∞,?2] C.(?2,+∞) D.[?2,+∞)5.當(dāng)x≠0時，設(shè)函數(shù)f(x)存在導(dǎo)數(shù)f′(x)，且滿足f(x)+xf′(x)=ex，若f(1)=0，則f(?1)=(

)A.1e?e B.?1e C.6.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ex，f(x)=k有2個實數(shù)解，則k的取值范圍是(

)A.(?∞,?1e2) B.(?1e7.若直線l與函數(shù)f(x)=ex?2(x>1)和g(x)=lnx的圖象分別相切于點A，B，則|AB|=A.2 B.22 C.28.已知函數(shù)f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，若f(x1)=g(A.?e B.?1e C.?1 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=2x3?6x+1，則A.g(x)=f(x)?1為奇函數(shù)

B.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,1)

C.f(x)的極小值為?3

D.若關(guān)于x的方程f(x)?m=0恰有3個不等的實根，則m的取值范圍為(?3,5)10.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)≥0在D上恒成立，則稱f(x)在D上是“下凸函數(shù)”.下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是(

)A.f(x)=x2?4x+3 B.g(x)=log1211.已知f(x)=x?x2π?sinxA.f(x)的零點個數(shù)為4 B.f(x)的極值點個數(shù)為3

C.若f(x1)=f(x2)，則x三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。12.函數(shù)y=12x13.乙巳蛇年，古城榆林燃動全國秧歌熱潮，國內(nèi)外共39支隊伍匯聚榆林，舞動非遺年味.現(xiàn)有4名國際友人，每人從俄羅斯、保加利亞、榆林市直教育系統(tǒng)的三支秧歌隊中選擇觀看一支，則不同的觀看方式有______.(用數(shù)字作答)14.在邊長為8×5cm的長方形鐵片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的長方體箱子，則箱子容積的最大值為______cm3．15.已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是

．四、解答題：本題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2+bx(a,b∈R)在x=?3處取得極大值為9．

(1)求a，b的值；17.(本小題14分)

已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N?)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4?2a18.(本小題14分)

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達(dá)式．

(Ⅱ)19.(本小題16分)

在四棱錐P?ABCD中，點E是棱PA上一點，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=12CD=2，∠DAB=60°．

(1)證明：PD⊥平面PAB；

(2)若CD//AB20.(本小題16分)

已知函數(shù)f(x)=alnx+1x，其中a∈R．

(1)若函數(shù)f(x)的最小值為a2，求a的值；

(2)若存在0<x1<x2，且參考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.D

6.B

7.C

8.B

9.ACD

10.ABC

11.BCD

12.(0,1)

13.81

14.18

15.?316.解：(1)f′(x)=x2+2ax+b，

因為f(x)在x=?3處取得極大值為9，

則f′(?3)=0f(?3)=9，

即9?6a+b=0?9+9a?3b=9，解得a=1，b=?3，

經(jīng)檢驗，上述結(jié)果滿足題意，

(2)由(1)得f(x)=13x3+x2?3x，∴f′(x)=x2+2?3?(x+3)(x?1)，

令f′(x)<0，得?3<x<1；令f′(x)>0，得x<?3或x>1，

∴f(x)在[?3,3]上的單調(diào)遞減區(qū)間是17.解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．

由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，

所以q2+q?6=0，

又因為q>0，解得q=2，

所以bn=2n．

由b3=a4?2a1，可得3d?a1=8①，

由S11=11b4，可得a1+5d=16②，

聯(lián)立①②，解得a1=1，d=3，

由此可得an=3n?2．

所以{an}的通項公式為a18.解：(Ⅰ)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)=k3x+5．

再由C(0)=8，得k=40，

因此C(x)=403x+5．

而建造費用為C1(x)=6x，

最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為

f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)

(Ⅱ)f′(x)=6?2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．

解得x=5，x=?25319.(1)證明：取AB的中點F，連接FD，F(xiàn)P，BD，

因為PA=PB，AB=AD，∠DAB=60°，所以AB=AD=BD，

所以AB⊥PF，AB⊥FD，

又PF∩FD=F，所以AB⊥平面PFD，從而AB⊥PD，

因為BE⊥PD，AB?BE=B，所以PD⊥平面PAB．

(2)解：因為PD⊥平面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，又AB=AD=BD=2，

所以PA=PB=PD=2，

因為PA2+PB2=AB2，所以PB⊥PA，

以P為坐標(biāo)原點，PA，PB，PD的方向分別為x，y，z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P?xyz，

則A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,2)，

因為CD/?/AB，所以DC=2AB=(?22,22,0)，PD=(0,0,2)，

設(shè)平面PDC的一個法向量為m=(x,y,z)，

由m?DC=0m?PD=020.解：(1)函數(shù)定義域為{x|x>0}，

f′(x)=ax?1x2=ax?1x2，

若a≤0，則f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，無最小值，

若a>0，由f′(x)=0得x=1a，

所以在(0,1a)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

在(1a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)的最小值，極小值為f(1a)=aln1a+a，

由aln1a+a=a2，得lna+a=1，

設(shè)g(a)=lna+a，則g′(a)=1a+1>0，

所以g(a)為(0,+∞)上的增函數(shù)，且g(1)=1，解得a=1，

綜上所述，a=1．

(2)由f(x1)=f(x2)，得alnx1+1x1=alnx2+1x2，

即alnx2x1+1x2?