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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年陜西省西安八十三中高二(下)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=3x?x3的極大值點(diǎn)是(
)A.(1,2) B.1 C.2 D.?12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+2π3),則曲線y=f(x)在A.2x+2y+3=0 B.x+2y?3=03.回文聯(lián)是我國(guó)對(duì)聯(lián)中的一種.用回文形式寫成的對(duì)聯(lián),既可順讀,也可倒讀,不僅意思不變,而且頗具趣味.相傳,清代北京城里有一家飯館叫“天然居”,曾有一副有名的回文聯(lián):“客上天然居,居然天上客;人過大佛寺,寺佛大過人.”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù),稱之為:“回文數(shù)”.如55,696,3773等,那么用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為(
)A.36個(gè) B.56個(gè) C.64個(gè) D.84個(gè)4.已知函數(shù)f(x)=lnx2?x+ax在定義域上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)aA.(?∞,?2) B.(?∞,?2] C.(?2,+∞) D.[?2,+∞)5.當(dāng)x≠0時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)存在導(dǎo)數(shù)f′(x),且滿足f(x)+xf′(x)=ex,若f(1)=0,則f(?1)=(
)A.1e?e B.?1e C.6.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ex,f(x)=k有2個(gè)實(shí)數(shù)解,則k的取值范圍是(
)A.(?∞,?1e2) B.(?1e7.若直線l與函數(shù)f(x)=ex?2(x>1)和g(x)=lnx的圖象分別相切于點(diǎn)A,B,則|AB|=A.2 B.22 C.28.已知函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,若f(x1)=g(A.?e B.?1e C.?1 二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=2x3?6x+1,則A.g(x)=f(x)?1為奇函數(shù)
B.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,1)
C.f(x)的極小值為?3
D.若關(guān)于x的方程f(x)?m=0恰有3個(gè)不等的實(shí)根,則m的取值范圍為(?3,5)10.給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)≥0在D上恒成立,則稱f(x)在D上是“下凸函數(shù)”.下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是(
)A.f(x)=x2?4x+3 B.g(x)=log1211.已知f(x)=x?x2π?sinxA.f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B.f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3
C.若f(x1)=f(x2),則x三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。12.函數(shù)y=12x13.乙巳蛇年,古城榆林燃動(dòng)全國(guó)秧歌熱潮,國(guó)內(nèi)外共39支隊(duì)伍匯聚榆林,舞動(dòng)非遺年味.現(xiàn)有4名國(guó)際友人,每人從俄羅斯、保加利亞、榆林市直教育系統(tǒng)的三支秧歌隊(duì)中選擇觀看一支,則不同的觀看方式有______.(用數(shù)字作答)14.在邊長(zhǎng)為8×5cm的長(zhǎng)方形鐵片的四角切去邊長(zhǎng)相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體箱子,則箱子容積的最大值為______cm3.15.已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是
.四、解答題:本題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2+bx(a,b∈R)在x=?3處取得極大值為9.
(1)求a,b的值;17.(本小題14分)
已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N?),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4?2a18.(本小題14分)
為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達(dá)式.
(Ⅱ)19.(本小題16分)
在四棱錐P?ABCD中,點(diǎn)E是棱PA上一點(diǎn),BE⊥PD,PA=PB=PD,AB=AD=12CD=2,∠DAB=60°.
(1)證明:PD⊥平面PAB;
(2)若CD//AB20.(本小題16分)
已知函數(shù)f(x)=alnx+1x,其中a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)的最小值為a2,求a的值;
(2)若存在0<x1<x2,且參考答案1.B
2.D
3.C
4.D
5.D
6.B
7.C
8.B
9.ACD
10.ABC
11.BCD
12.(0,1)
13.81
14.18
15.?316.解:(1)f′(x)=x2+2ax+b,
因?yàn)閒(x)在x=?3處取得極大值為9,
則f′(?3)=0f(?3)=9,
即9?6a+b=0?9+9a?3b=9,解得a=1,b=?3,
經(jīng)檢驗(yàn),上述結(jié)果滿足題意,
(2)由(1)得f(x)=13x3+x2?3x,∴f′(x)=x2+2?3?(x+3)(x?1),
令f′(x)<0,得?3<x<1;令f′(x)>0,得x<?3或x>1,
∴f(x)在[?3,3]上的單調(diào)遞減區(qū)間是17.解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,
所以q2+q?6=0,
又因?yàn)閝>0,解得q=2,
所以bn=2n.
由b3=a4?2a1,可得3d?a1=8①,
由S11=11b4,可得a1+5d=16②,
聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,
由此可得an=3n?2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為a18.解:(Ⅰ)設(shè)隔熱層厚度為xcm,由題設(shè),每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=k3x+5.
再由C(0)=8,得k=40,
因此C(x)=403x+5.
而建造費(fèi)用為C1(x)=6x,
最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)
(Ⅱ)f′(x)=6?2400(3x+5)2,令f′(x)=0,即2400(3x+5)2=6.
解得x=5,x=?25319.(1)證明:取AB的中點(diǎn)F,連接FD,F(xiàn)P,BD,
因?yàn)镻A=PB,AB=AD,∠DAB=60°,所以AB=AD=BD,
所以AB⊥PF,AB⊥FD,
又PF∩FD=F,所以AB⊥平面PFD,從而AB⊥PD,
因?yàn)锽E⊥PD,AB?BE=B,所以PD⊥平面PAB.
(2)解:因?yàn)镻D⊥平面PAB,所以PD⊥PB,PD⊥PA,又AB=AD=BD=2,
所以PA=PB=PD=2,
因?yàn)镻A2+PB2=AB2,所以PB⊥PA,
以P為坐標(biāo)原點(diǎn),PA,PB,PD的方向分別為x,y,z軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P?xyz,
則A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,2),
因?yàn)镃D/?/AB,所以DC=2AB=(?22,22,0),PD=(0,0,2),
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),
由m?DC=0m?PD=020.解:(1)函數(shù)定義域?yàn)閧x|x>0},
f′(x)=ax?1x2=ax?1x2,
若a≤0,則f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,無最小值,
若a>0,由f′(x)=0得x=1a,
所以在(0,1a)上,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
在(1a,+∞)上,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)的最小值,極小值為f(1a)=aln1a+a,
由aln1a+a=a2,得lna+a=1,
設(shè)g(a)=lna+a,則g′(a)=1a+1>0,
所以g(a)為(0,+∞)上的增函數(shù),且g(1)=1,解得a=1,
綜上所述,a=1.
(2)由f(x1)=f(x2),得alnx1+1x1=alnx2+1x2,
即alnx2x1+1x2?
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