2025版高考數(shù)學一輪復習第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第5講古典概型講義理含解析

PAGEPAGE10第5講古典概型[考綱解讀]1.理解古典概型及其概率計算公式，能計算一些隨機事務包含基本領(lǐng)件及其事務發(fā)生的概率．(重點、難點)2.了解隨機數(shù)意義，能運用模擬方法估計概率．[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考的熱點之一.預料2024年將會考查：①古典概型的基本計算；②古典概型與其他學問相結(jié)合.題型以解答題的形式呈現(xiàn)，與實際背景相結(jié)合，試題難度中等.1．基本領(lǐng)件的特點(1)任何兩個基本領(lǐng)件都是eq\o(□,\s\up1(01))互斥的．(2)任何事務(除不行能事務)都可以表示成eq\o(□,\s\up1(02))基本領(lǐng)件的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件eq\o(□,\s\up1(01))只有有限個．(2)等可能性：每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性eq\o(□,\s\up1(02))相等．3．假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本領(lǐng)件的概率都是eq\o(□,\s\up1(01))eq\f(1,n)；假如某個事務A包括的結(jié)果有m個，那么事務A的概率P(A)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).1．概念辨析(1)在一次試驗中，其基本領(lǐng)件的發(fā)生肯定是等可能的.()(2)“在相宜條件下，種下一粒種子視察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事務．()(4)從市場上出售的標準為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,3)答案A解析由題意得，取到白球的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案B解析從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6個基本領(lǐng)件，其中這兩個數(shù)字之積小于5的有(1,2)，(1,3)，(1,4)共3個基本領(lǐng)件，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).故選B.(3)從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案D解析從5名醫(yī)生中選派兩名醫(yī)生的基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的基本領(lǐng)件m＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6，所以所求事務概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選D.(4)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析全部可能的排列方法有Aeq\o\al(3,3)＝6種，2本數(shù)學書相鄰的排列方法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4種(先排列數(shù)學書，再把兩本數(shù)學書作為整體和語文書進行排列)．所以依據(jù)概率的計算公式，所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選C.題型eq\a\vs4\al(一)古典概型的簡潔問題1．(2024·全國卷Ⅱ)從2名男同學和3名女同學中任選2人參與社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3答案D解析設(shè)2名男同學為A1，A2,3名女同學為B1，B2，B3，從以上5名同學中任選2人總共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10種可能，選中的2人都是女同學的狀況共有B1B2，B1B3，B2B3共3種可能，則選中的2人都是女同學的概率為P＝eq\f(3,10)＝0.3.故選D.2．(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.3．(2024·沈陽模擬)將A，B，C，D這4名同學從左至右隨機地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學”的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)答案B解析A，B，C，D4名同學排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．當A，C之間是B時，有2×2＝4種排法，當A，C之間是D時，有2種排法，所以所求概率為eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).條件探究把舉例說明2的條件“放回后”改為“不放回”，其他條件不變，結(jié)果又如何？解畫出樹狀圖如圖：全部的基本領(lǐng)件共有20個，滿意題意的基本領(lǐng)件有10個，故所求概率P＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).結(jié)論探究舉例說明2條件不變，求抽到第一張卡片上的數(shù)與其次張卡片上的數(shù)的和為偶數(shù)的概率．解全部基本領(lǐng)件共有25個，滿意條件的基本領(lǐng)件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共13個．故所求概率P＝eq\f(13,25).1．求古典概型概率的步驟(1)推斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事務，設(shè)出所求事務A；(2)分別求出基本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事務A中所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事務A的概率．2．基本領(lǐng)件個數(shù)的確定方法1．用兩個字母G，A與十個數(shù)字0,1,2，…，9組成5位的車牌號碼，兩個字母不能重復，且每個號碼中都包含這兩個字母．其中兩個字母排在前兩位的概率為()A.eq\f(1,20) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,2)答案B解析總的基本領(lǐng)件的個數(shù)為Aeq\o\al(2,5)×103，其中兩個字母排在前兩位的狀況有Aeq\o\al(2,2)×103，由古典概型的概率公式，得P＝eq\f(A\o\al(2,2)×103,A\o\al(2,5)×103)＝eq\f(2×1,5×4)＝eq\f(1,10).2．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以eq\f(7,10)為概率的事務是()A．都不是一等品 B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品答案D解析從5件產(chǎn)品中任取2件有10種取法，設(shè)3件一等品為1,2,3；2件二等品為4,5.這10種取法是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中2件均為一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3種．所以至多有1件一等品的概率P＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).題型eq\a\vs4\al(二)古典概型的交匯問題角度1古典概型與平面對量相結(jié)合1．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，平面對量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事務“a⊥b”發(fā)生的概率；(2)求使得事務“|a|≤|b|”發(fā)生的概率．解由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)全部可能的取法共有36種．(1)若a⊥b，則有m－3n＝0，即m＝3n，符合條件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2種，所以事務“a⊥b”發(fā)生的概率為eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)若|a|≤|b|，則有m2＋n2≤10，符合條件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，故所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).角度2古典概型與函數(shù)、方程相結(jié)合2．(2024·河北武邑中學模擬)已知a∈{－2,0,1,3,4}，b∈{1，2}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)x＋b為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,10)答案B解析從集合{－2,0,1,3,4}中任選一個數(shù)有5種選法，使函數(shù)f(x)＝(a2－2)x＋b為增函數(shù)的是a2－2>0，解得a>eq\r(2)或a<－eq\r(2)，所以滿意此條件的a有－2,3,4，共有3個，由古典概型公式得函數(shù)f(x)＝(a2－2)x＋b為增函數(shù)的概率是eq\f(3,5).角度3古典概型與幾何問題結(jié)合3．將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．答案eq\f(7,12)解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿意直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，則當a＝1時，b＝1,2,3,4,5,6，共6種，當a＝2時，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當a＝3時，有4種，a＝4時，有3種，a＝5時，有2種，a＝6時，有1種，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度4古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合4．(2024·貴州省黔東南州第一次聯(lián)考)經(jīng)探討，城市公交車的數(shù)量太多簡潔造成資源奢侈，太少又難以滿意乘客需求．為此，某市公交公司從某站點的40名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間(單位：min)作為樣本分成5組如下表：(1)估計這40名乘客中候車時間不少于20分鐘的人數(shù)；(2)若從上表候車時間不少于10分鐘的7人中選2人作進一步的問卷調(diào)查，求抽到的兩人候車時間都不少于20分鐘的概率．解(1)候車時間不少于20分鐘的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，所以估計候車時間不少于20分鐘的人數(shù)為40×eq\f(1,5)＝8.(2)將候車時間在范圍[10,20)的4名乘客編號為a1，a2，a3，a4；候車時間在范圍[20,60)的3名乘客編號為b1，b2，b3.從7人中任選兩人包含以下21個基本領(lǐng)件：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，其中抽到的兩人候車時間都不少于20分鐘包含以下3個基本領(lǐng)件：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，故所求概率為P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).1．求解古典概型的交匯問題的步驟(1)依據(jù)相關(guān)學問構(gòu)建事務滿意的條件．(2)依據(jù)條件列舉全部符合的基本領(lǐng)件．(3)利用古典概型的概率計算公式求概率．2．破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的“三步曲”1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知全部的基本領(lǐng)件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，其次個數(shù)表示b的取值．滿意a2>b2的有6個基本領(lǐng)件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事務的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).2．在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________．答案eq\f(1,3)解析點P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種狀況，只有(2,1)，(2,2)這2個點在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，k)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤5，k∈Z，則△ABC是鈍角三角形的概率為________．答案eq\f(5,9)解析因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋k2)≤5，所以－2eq\r(6)≤k≤2eq\r(6).又因為k∈Z，所以k＝0，±1，±2，±3，±4.因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,2－k)，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0，則k<－2，k＝－3，－4；若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，則－1<k<3，所以k＝0,1,2；若eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))<0，則k>8(舍去)．所求概率為eq\f(5,9).4．(2024·吉林省梅河口五中二模)某大型超市在2024年元旦舉辦了一次抽獎活動，抽獎箱里放有2個紅球，1個黃球和1個藍球(這些小球除顏色外大小形態(tài)完全相同)，從中隨機一次性取2個小球，每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱．活動另附說