安徽省蚌埠市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次四校聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期蚌埠市第一次四校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的，選對得5分，選錯得0分．1.設(shè)數(shù)列的前項和，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前項和與第項的關(guān)系求出.【詳解】數(shù)列的前項和，則.故選：A2.要排一份有5個獨(dú)唱節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個舞蹈節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先排5個獨(dú)唱節(jié)目共種；再排舞蹈節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，從剩下5個空中選3個插空共有種，可得選項.【詳解】第1步，先排5個獨(dú)唱節(jié)目共種；第2步，排舞蹈節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，從剩下5個空中選3個插空共有種，所以一共有種排法．故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).3.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.當(dāng)時，取得極小值 D.當(dāng)時，取得極小值【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系及極值的定義，結(jié)合圖象，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A，由圖知，當(dāng)時，的符號有正有負(fù)，不是單調(diào)的函數(shù)，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當(dāng)時，是增函數(shù)，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，且在左側(cè)附近，，在右側(cè)附近，，所以是極大值點(diǎn)，在處取到極大值，所以選項C錯誤，對于選項D，由圖知，且在左側(cè)附近，，在右側(cè)附近，，所以是極小值點(diǎn)，在處取到極小值，所以選項D正確，故選：D.4.某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子，則第10代得到的種子數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：，A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型計算即可.【詳解】由題意，第10代得到的種子數(shù)為故第10代得到的種子數(shù)約為故選：C.5.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】因為，，，構(gòu)造函數(shù)，因為，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，，，因為，所以，故選項A，C，D錯誤，選項B正確，故選：B.6.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且公差不為0，若，，，成等比數(shù)列，，則（）A.7 B.8 C.10 D.123【答案】C【解析】【分析】設(shè)公差為，由題意可得方程組，解方程組求出可得答案.【詳解】設(shè)公差為，由題意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故選：C.7.已知數(shù)列的通項公式為，，當(dāng)時，成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知是遞增數(shù)列，，得，代入解析式得，根據(jù)恒成立條件即得.【詳解】由，當(dāng)時，成立，即數(shù)列遞增，則對于任意的，都有.已知，則有恒成立，即對于任意的都成立，因為當(dāng)時，，所以.故選：C.8.已知點(diǎn)P在曲線y=上，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是（）A.[0,) B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因為，所以，選A.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、正切函數(shù)的值域.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在遞增的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)條件求解出的值，然后根據(jù)的單調(diào)性求解出，利用，即可判斷選項A的正誤，對于選項B、C和D，根據(jù)條件，先求出，再等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，即可求解.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以，又因為，由，解得或，又因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，對于選項A，因為，所以選項A正確，對于選項B，因為，所以，所以，所以不為常數(shù)，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，所以，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，所以，所以，則是等差數(shù)列，且公差為，所以選項D正確，故選：AD.10.某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“面對面”義診活動，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，每家企業(yè)至少派1名醫(yī)生，則下列結(jié)論正確的是（）A.所有不同分派方案共種B.所有不同分派方案共36種C.若甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D.若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共30種【答案】BCD【解析】【分析】先將四人分成三組，然后分配到三個企業(yè)即可判斷AB；分企業(yè)有兩人和企業(yè)只有一人，兩種情況討論即可判斷C；先求出甲，乙安排到同一家企業(yè)的種數(shù)，再利用排除法求解即可.【詳解】由題意，所有不同分派方案共種，故A錯誤，B正確；對于C，若甲必須到A企業(yè)，若企業(yè)有兩人，則將其余三人安排到三家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則不同分派方案有種，若企業(yè)只有一人，則不同分派方案有種，所以所有不同分派方案共種，故正確；對于D，若甲，乙安排到同一家企業(yè)，則將剩下的兩人安排到另外兩家企業(yè)，每家企業(yè)一人，則有種不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企業(yè)，則所有不同分派方案共種，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.不等式的解集為C.若恒成立，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，直接求出單調(diào)區(qū)間，即可求解；對于B，利用選項A中結(jié)果，結(jié)合，即可求解；對于C，分和兩種情況，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)，根據(jù)條件可得，構(gòu)造函數(shù)，求出的最大值，即可求解；對于D，根據(jù)條件得到，再結(jié)合選項A的結(jié)果，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，由，得到，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以選項A錯誤，對于選項B，由得到，由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，又，所以的解集為，故選項B正確，對于選項C，由，得到，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，由，得到，所以，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，則，故選項C正確，對于選項D，由，得到，則，由選項A知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，故選項D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線過原點(diǎn)的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而根據(jù)直線過原點(diǎn)即可求解切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】由得設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為由于切線經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即，故答案為：13.用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給如圖中五個區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域所涂顏色不同，共有_________種不同的涂色方法.（用數(shù)字回答）【答案】【解析】【分析】按照使用了多少種顏色涂色分兩類計數(shù)，再相加即可得解.【詳解】若四種顏色全部用到，則同色或同色，則共有種；若只用三種顏色涂色，則同色且同色，共有種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有種涂色方法.故答案為：.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷奇偶性，即可求解不等式.【詳解】由得，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又由得函數(shù)是奇函數(shù)，則由得，所以，解得.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.現(xiàn)有0，1，2，3，4這五個數(shù)字，回答下列兩個問題．（1）用這5個數(shù)字能夠組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）用這5個數(shù)字能夠組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？【答案】（1）96；（2）60.【解析】【分析】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個數(shù)字即可計算得解；（2）選偶數(shù)先排個位數(shù)，分個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；【小問1詳解】先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個數(shù)位，有種排法，再排四個非0數(shù)字有種，由分步乘法計數(shù)原理得，所以能組成96個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；【小問2詳解】當(dāng)個位數(shù)字為0時，則可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，當(dāng)個位數(shù)字為2或4時，則可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，所以用這5個數(shù)字能夠組成組成個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；16.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）最大值為2，最小值為.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)，求出，求出解析式，并解不等式，求出單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到函數(shù)極值情況，和端點(diǎn)值比較后得到答案.【小問1詳解】，由題意得，即，解得，故解析式為，定義域為R，令，令得或，令得，故上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然為極小值點(diǎn)，故，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問2詳解】由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，表格如下：1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又，故的最大值為2，最小值為.17.設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前14項的和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得出，結(jié)合前項和與通項的關(guān)系將已知與得出的式子兩式做減，再化簡即可得出，即可證明；（2）根據(jù)（1）得出，結(jié)合已知即可得出當(dāng)為偶數(shù)時，即，將數(shù)列的前14項從第2項開始兩兩分組，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得出答案.【小問1詳解】，則，，得，即，，即令中，得，解得，則是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知，則，，且，當(dāng)為偶數(shù)時，，即，，，．18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）當(dāng)時，在上為減函數(shù)，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（3）【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，由已知可得，解方程即可求解的值；（2）對分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（3）對分類討論，結(jié)合（2）中結(jié)論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解的取值范圍．【小問1詳解】由，求導(dǎo)得，直線的斜率為，又函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，即，解得．【小問2詳解】因為，，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)，解得，當(dāng)，解得，所以時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增．綜上，可知：當(dāng)時，在上減函數(shù)，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．【小問3詳解】①若，由（2）可知：最多有一個零點(diǎn)，②當(dāng)時，由（1）可知：當(dāng)時，取得最小值，，由于均為上單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，故只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，由，即，故沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，，，由，故在有一個零點(diǎn)，假設(shè)存在正整數(shù)，滿足，則，由，所以，因此在上有一個零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略，1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.已知.（1）求證：當(dāng)時，；（2）設(shè).（ⅰ）求證：數(shù)列為遞減數(shù)列；（ⅱ）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明出不等式；（2）（?。?，令，，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，即可求解函數(shù)的單調(diào)性，從而得到數(shù)列的