河南省名校學術聯盟2025屆高三下學期模擬沖刺數學試卷（三）

第頁四川天地人教育資料出品河南省名校學術聯盟2025屆高三下學期模擬沖刺數學試卷（三）學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025屆·河南·三模]若復數z滿足,則z的虛部為()A. B. C. D.1．答案：A解析：,所以,其z的虛部為.故選:A.2．[2025屆·河南·三模]設集合,,若,則()A. B. C. D.2．答案：C解析：因為,又,所以當時,可得.故選:C.3．[2025屆·河南·三模]已知點,,,則向量在上的投影向量為()A. B. C. D.3．答案：A解析：由題意,,所以在上的投影為,且上的單位向量為,所以在上的投影向量為.故選:A4．[2025屆·河南·三模]人工智能技術（簡稱AI技術）已成為引領世界新一輪科技革命和產業(yè)改革的戰(zhàn)略性技術,AI技術加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為M市統計的2024年11月至2025年3月這5個月該市AI電腦的月銷量,其中x為月份代號,y（單位:萬臺）為AI電腦的月銷量.月份2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月月份代號x12345月銷量y0.50.911.21.4經過分析,y與x線性相關,且其線性回歸方程為,則2025年3月的殘差為()（實際值與預計值之差）A. B. C.0.02 D.0.044．答案：B解析：因為,,所以,所以y關于x的線性回歸方程為,2025年3月對應的,故此時殘差為.故選:B.5．[2025屆·河南·三模]已知,,則()A. B. C. D.5．答案：B解析：由誘導公式可知,又,,所以,所以.故選:B.6．[2025屆·河南·三模]已知定義在R上的函數的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且滿足,在區(qū)間上單調遞減,,則關于x的不等式的解集為()A. B. C. D.6．答案：D解析：由得的圖象關于直線對稱,又,得,解得,由在上單調遞減,可知在上單調遞增,畫出的大致圖象如下所示,結合圖象及可得或,解得或,不等式的解集為.故選:D.7．[2025屆·河南·三模]在平面直角坐標系中,點F為拋物線的焦點,點,,動點G滿足,且,則的最小值為()A. B. C. D.7．答案：C解析：設點,由,及,得,即,又,消去,得,的最小值即為點F到直線的距離d,由已知得,而,故的最小值為.故選:C.8．[2025屆·河南·三模]某公司研發(fā)的一不規(guī)則益智玩具如下圖所示,其配套的玩具收納箱表面有不同形狀的孔洞,可以通過旋轉嚴絲合縫地將玩具通過孔洞塞進收納箱中,則以下四個形狀的孔洞不會出現在該玩具收納箱的表面的是()A. B.C. D.8．答案：D解析：由題意在玩具旋轉過程中,若其在水平面上的投影形狀與孔洞的形狀相同,則該玩具可以通過旋轉嚴絲合縫地通過孔洞塞入收納箱中,將A,B,C選項中三個形狀的孔洞以如圖所示形式擺放,可以得到形狀相同的結果,此時圖示玩具可以通過旋轉嚴絲合縫地塞入.對于D選項,無法找到合適的情況使其可以嚴絲合縫地塞入,故其不會出現在該玩具收納箱的表面.故選:D.二、多項選擇題9．[2025屆·河南·三模]若x,,則“”的一個充分不必要條件是()A. B. C. D.9．答案：BCD解析：,故“”是“”的充要條件,故A錯誤;由得能推出,反之不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故B正確;由可得,故,反之不成立,故“”是“”的充分不必要條件,故C正確;易知“”是“”的充分不必要條件,故D正確.故選:BCD.10．[2025屆·河南·三模]已知曲線是實軸、虛軸分別在直線和直線上的雙曲線,其焦點分別為,,點P,Q是C上的兩個動點,則()A.C的實軸長為B.C的離心率為C.若,則的面積為8D.若線段的中點為M,O為坐標原點,則直線,的斜率之積為定值10．答案：BC解析：設C的實軸長為,虛軸長為,聯立,解得或,因為實軸在直線上,則雙曲線C的兩個頂點分別為,,所以,即實軸長,故A錯誤;易知曲線C的漸近線分別為x軸,y軸,兩漸近線的夾角為,所以,所以C的離心率為,故B正確;由雙曲線的定義得,兩邊平方得,因,則,則,因,則,故,所以,故C正確;設,,則,所以,,故,不是定值,故D錯誤.故選:BC.11．[2025屆·河南·三模]在棱長為2的正方體中,P是側面上的一個動點（含邊界）,Q是的中點,則()A.當P為的中點時,異面直線與所成的角為B.存在點P,使得平面C.若,則點P的軌跡長度為D.當P為的中點時,三棱錐的外接球表面積為11．答案：BC解析：對于A,如圖1,取的中點M,連接,,因為,,,所以,所以,則可得,又,平面,所以平面,因為平面,所以,因為,,平面,所以平面,又平面,所以,故A錯誤;對于B,如圖2,當P為的中點時,易證得四邊形為平行四邊形,所以,因為平面,平面,所以平面,故B正確;對于C,如圖3,取的中點E,連接,,在正方體中,平面,且,所以平面,因為平面,所以,則,則點P在側面內的運動軌跡是以E為圓心,1為半徑的半圓,其軌跡長度為,故C正確;對于D,如圖4,當P為的中點時,取的中點M,三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球,設與的外心分別為E,F,則球心O為的中點,易求得,由余弦定理,,所以,由正弦定理,,所以所求外接球O的半徑,其表面積為,故D錯誤.故選:BC.三、填空題12．[2025屆·河南·三模]已知等差數列的前n項和為,若,則________.12．答案：22解析：由題意,則,所以.故答案為:2213．[2025屆·河南·三模]已知函數在區(qū)間上恰有2個極大值點和1個極小值點,則的取值范圍為________.13．答案：解析：由二倍角的余弦公式可得,因為,所以,又函數在區(qū)間上恰有2個極大值點和1個極小值點,即區(qū)間內恰好取得2次最大值和1次最小值,由余弦函數的圖象可知,解得,即的取值范圍為.故答案為:.14．[2025屆·河南·三模]將1,1,2,2,2,2,2,3,5這9個數填入如圖所示的格子中,要求每個數都要填入,且每個格子中只能填一個數,則不同的填法共有________種,若填入的每行各數之和為偶數,則不同的填法共有________種.（用數字作答）14．答案：1512;324解析：將這9個數填入,不同的填法種數為,這9個數中有4個奇數,5個偶數,因為填入的每行數之和為偶數,故每行有偶數個奇數,則只需將4個奇數按0,2,2分成三組,當兩個1在同一行時,不同的填法種數為,當兩個1不在同一行時,不同的填數方法種數為.故不同的填法種數為.故答案為:1512;324.四、解答題15．[2025屆·河南·三模]記的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.（1）證明:;（2）若平分交于點D,且,求的最大值.15．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明:由正弦定理及,得,因為,所以,所以,即,因為,所以,所以,即,又因為,所以,又,所以.（2）由平分,則,因為,即,整理可得,又因為,則,可得,當且僅當,即時取等號,所以的最大值為.16．[2025屆·河南·三模]2024年10月30日,我國神舟十九號載人飛船順利升空,并與中國空間站成功對接.為弘揚航天精神,某大學舉辦了一次“逐夢星辰大?！教毂敝R競賽.競賽分為初賽和決賽,初賽規(guī)則為:每位參賽者依次回答5道題,連續(xù)答錯2道題或5道題都答完,則比賽結束.假定大學生張某答對這5道題的概率依次為,,,,,且各題是否答對互不影響.（1）若至少連續(xù)答對4道題,可得到一張直升卡,直接進入決賽,求張某得到直升卡的概率;（2）記張某初賽結束時已答題的個數為X,求X的分布列及數學期望.16．答案：（1）（2）分布列見解析,解析：（1）用表示張某第i道題答對,用表示張某第i道題答錯,由題意得,,,,,記張某得到直升卡為事件K,則.即張某得到直升卡的概率為.（2）由題可得X的可能取值為2,3,4,5.,,,,則X的分布列如下,X2345P所以.17．[2025屆·河南·三模]如圖四棱錐中,平面,,,,.（1）證明:平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.17．答案：（1）證明見解析（2）.解析：（1）如圖,取的中點E,連接,,因為,,所以四邊形為平行四邊形,則,又,所以,因為,所以,,由平行四邊形性質得,則,由三線合一性質得,故,則,所以,因為平面,平面,所以,因為,平面,平面,所以平面.（2）由已知得,因為平面,平面,所以,因為,所以由勾股定理得,即,則為等腰直角三角形,設其斜邊上的高為h,由等面積公式得,解得,以B為坐標原點,,所在直線分別為x軸,y軸,過B作垂直于平面的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,,,,,設平面的法向量為,則取,解得,可得,設直線與平面所成角為,則,故直線與平面所成角的正弦值為.18．[2025屆·河南·三模]已知函數（1）當時,求的零點個數;（2）若,,求m的最大值;（3）證明:.18．答案：（1）兩個（2）（3）證明見解析解析：（1）當時,,所以,令,則,所以在R上單調遞減,即在R上單調遞減,又,則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,又因為,所以存在,,使得,所以有兩個零點.（2）由,得,下證當時,,,令,則,令,則,所以在R上單調遞減,又,則的解集為,則的解集為,所以在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,所以,即,所以m的最大值為.（3）證明:由（2）可得,當且僅當時取等號,所以,所以且因為當時,所以,所以即.19．[2025屆·河南·三模]已知橢圓的左、右頂點分別為,,上頂點B在直線上,且三邊的平方和為30.（1）求C的方程;（2）過點且斜率不為0的直線與C交于M、N兩點.（i）求面積的最大值;（ii）設點G是線段上異于M,N的一點,滿足,證明