專題01 平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型（解析版）

專題01平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個結論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，從而可得，則有，，即可求的度數(shù)．【詳解】解：過點作，如圖，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答的關鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運用．例2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）某些燈具的設計原理與拋物線有關．如圖，從點照射到拋物線上的光線，等反射后都沿著與平行的方向射出．若，，則．

【答案】【分析】可求，由，即可求解．【詳解】解：，，，，，，故答案：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關鍵．例3．（2022下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，設，，則與之間的數(shù)量關系正確的是（

）A．B．C．D．與沒有數(shù)量關系【答案】A【分析】過C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：過C作∥，∥，，，，，，，，，故選：A．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關鍵是過C作，得到，由平行線的性質(zhì)來解決問題．例4．（2023下·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB//CD，，，，則度．

【答案】90【詳解】解：如圖，過點E作EH∥AB，過點F作FG∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，又∵，，∴，，∴，∴，即：，∴．故答案為：90．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，作輔助線構造內(nèi)錯角是解題的關鍵．例5．（2023下·四川雅安·七年級雅安中學?？计谥校┤鐖D，，平分，平分，若，則的度數(shù)=．【答案】40度/【分析】先作，作，可知，即可得出，，．再根據(jù)角平分線定義得，，然后根據(jù)，代入整理得出，即可得出答案．【詳解】過點B作，過點C作，∵，∴，∴，，．∵平分，平分，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等，確定各角之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．例6．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）如圖，已知，點E，F(xiàn)分別在直線上，點O在直線之間，如圖所示，分別在和的平分線上取點M，N，連接，則；如果，，，連接，則（用m，n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】過點O作，過點M作，過點，則，由平行線的性質(zhì)推出，同理得，由此推出，再由角平分線的定義得到，進一步推出，由此即可得到答案；同理求出當，，時，的值即可．【詳解】解：如圖所示，過點O作，過點M作，過點，∵，∴，∴，∵，∴，同理可證，∴；∵，∴，∴，∵分別是的角平分線，∴，∵，，∴，∴；；同理當時，可得，，∵，，∴，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．例7．（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，，，則、、之間滿足的數(shù)量關系為．

【答案】【分析】如圖，過E作，過F作，過G作，再證明，再結合平行線的性質(zhì)可得結論．【詳解】解：如圖，過E作，過F作，過G作，∵，∴，

∵，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴；故答案為：【點睛】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．例8．（2023·浙江七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關系并說明理由．【答案】見解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：過點E作直線a∥AB，則a∥AB∥CD，則∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：過點E作直線b∥AB，則b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：過點E，F(xiàn)，G作直線c∥AB，d∥AB，e∥AB，則c∥AB∥d∥e∥CD，則∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.例9．（2022上·江西景德鎮(zhèn)·九年級校聯(lián)考期中）直線，點M、N分別在直線上．(1)如圖1，的數(shù)量關系為：；(2)如圖2，直線與分別交于點E、F，連接，的平分線交于點H．①當，時，請判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖3，當保持并向左平移，在平移的過程中猜想、與的數(shù)量關系，請直接寫出結論．【答案】(1)(2)①，見解析；②或【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線．明確角度之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．（1）如圖1中，過點P作．利用平行線的性質(zhì)證明即可；（2）①利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義證明即可；②分如圖中，當點P在的右側(cè)時；如圖中，當點P值的左側(cè)時，兩種情況，利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義求解即可．【詳解】（1）解：如圖1中，過點P作．∴，∴，，∴，∴．故答案為：；（2）①解：，理由如下：如圖2，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：；②解：由題意知，分P值的右側(cè)，P值的左側(cè)，兩種情況求解：如圖中，當點P在MN的右側(cè)時，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴．如圖中，當點P值的左側(cè)時，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴．課后專項訓練1．（2023下·浙江·七年級期中）如圖，，平分，且，垂足為F，若，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點F作，則，由平行線的性質(zhì)得到，由角平分線的定義求出，再由垂線的定義求出，則．【詳解】解：如圖所示，過點F作，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∵，即，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，正確作出輔助線是解題的關鍵．2．（2023下·吉林松原·七年級校聯(lián)考期中）山上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到，，再根據(jù)周角的定義求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關鍵．3．（2023下·浙江杭州·七年級?？计谥校┮阎鐖D：，與的角平分線交于點，則圖中與的關系是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由角平分線的定義可得，，由平行線的性質(zhì)可求得，從而求得，由對頂角相等得，則有，即可求解．【詳解】如圖，與的角平分線交于點，，，，，，，，，，．故選：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運用．4．（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，點在上，，，則下列結論正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點E在AC上的任意一點，∴AE無法判斷等于CE，∠BED無法判斷等于45°，故（1）、（4）錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關鍵．5．（2023下·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點E作，則，由平行線的性質(zhì)得，過點C作，則有，同理，結合角平分線的定義即可求得結果．【詳解】解：如圖，過點E作，∵，∴，∴，∴，過點C作，則有，

同理，∵和分別平分和，∴，∴，，即，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解二元一次方程組，構造平行線是解題的關鍵．6．（2023下·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點A和點B分別在直線a和b上，點C在直線a、b之間，且，，，則的度數(shù)是（

）

A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)角的和差求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟記“等腰三角形的兩底角相等”是解題的關鍵．7．（2023下·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）已知直線，將一塊含角的直角三角板按如圖方式放置，其中，兩點分別落在直線，上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：直線，∴，故選：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知，將直角三角形如圖放置，若∠2=40°，則∠1為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】B【分析】過A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠5的度數(shù)，進而得出的度數(shù)．【詳解】解：標注字母，如圖所示，過A作AB∥a，∵a∥b，∴a∥b∥AB，∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，又∵∠CAD=90°，∴∠4=50°，∴∠5=50°，∴∠1=180°-50°=130°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關鍵．9．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，則的度數(shù)是．【答案】【分析】直接作出，再利用平行線的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】作，∵，∴，∴，，，∴，，∴，故答案為．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確得出，是解題關鍵．10．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，三角形中，．交于，、分別是、上的點，連接、，，．則的度數(shù)為．

【答案】/85度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是先過點作，交于點，證明，再根據(jù)平行公理的推論證明，從而證明，再根據(jù)已知條件，求出，最后利用平行線的性質(zhì)求出答案即可．【詳解】解：如圖所示，過點作，交于點，，，，，，即，，，即，，，，，，故答案為：．

11．（2023上·浙江金華·七年級?？计谥校┤鐖D，，，則．

【答案】/54度【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)．過點P作直線，可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作直線，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：12．（2023上·甘肅·八年級校考階段練習）如圖，C島在A島的北偏東方向上，B島在A島的北偏東的方向上，C島在B島的北偏西方向上，從C島看A島、B島的視角．

【答案】/110度【分析】根據(jù)方向角，平行線的性質(zhì)可得答案．【詳解】如圖，作出點C的正北方向，

則，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了方向角，平行線的性質(zhì)，角的和，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．13．（2023下·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，直線，，為直角，則．

【答案】【分析】過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：過點作，如下圖：

則，∴，，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)并運用數(shù)學結合思想．14．（2023下·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，和的平分線相交于點P．請寫出、、的數(shù)量關系．

【答案】【分析】作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結合角平分線定義可得，再根據(jù)推出，，即可得出．【詳解】解：如圖，作，，，，，，，，和的平分線相交于點P．，，，，，，，，即．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差關系等，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．15．（2023下·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點O在內(nèi)部，且平分，射線交于點E，若，，則的度數(shù)為．

【答案】/87度【分析】過O作，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求解即可．【詳解】解：過O作，

∵，∴，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∵，∴，∴，故答案為：.【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，添加平行線，利用平行線的性質(zhì)求解是解答的關鍵．16．（2023下·湖北鄂州·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，，垂足為點，，.試判斷和之間的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，，，求證：．【答案】（1），理由見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再利用垂直定義及平行線的判定得到，最后利用平行公理即可解答；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再利用平行線的判定即可得到結論．【詳解】（1），理由如下：過點作，，，，∴，，，，，，；（2）連接，，，，，即，．【點睛】本題考查了垂直的定義，平行線的判定與性質(zhì)，余角的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．17．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）如圖1，分別過點，作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，，代入數(shù)據(jù)即可得到結論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，由，，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是得到結論；（3）如圖2，過點作，設，則，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，于是得到結論．【詳解】（1）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案為：；（2）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如圖2，過點作，由（2）知，，設，則，平分，平分，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．18．（2023下·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期中）如圖1、圖2，已知∠1+∠2＝180°．（1）若圖1中∠AEF＝∠HLN，試找出圖中的平行線，并說明理由；（2）如圖2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，試探究∠P與∠Q的數(shù)量關系？（直接寫答案，不寫過程）．【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，理由詳見解析；（2）∠P＝3∠Q．【分析】（1），；由同旁內(nèi)角互補可得；延長交于，由平行線的性質(zhì)及已知，可得，從而可判定；（2）；作，先由平行線的性質(zhì)推得，從而；同理可得；再將已知代入計算即可得解．【詳解】解：（1），理由如下：，；延長交于；（2）理由如下：，作，，，同理可得，．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線三線八角的基本模型是解題的關鍵．19．（2023下·福建廈門·七年級?？计谥校τ谄矫鎯?nèi)的和，若存在一個常數(shù)，使得，則稱為的系補周角．如若，，則為的6系補周角．(1)若，求的4系補周角的度數(shù)．(2)如圖，，點是平面內(nèi)一點，連接，，，若是的3系補周角，求的度數(shù)．

【答案】(1)(2)【分析】（1）設的4系補周角的度數(shù)為，根據(jù)新定義列出方程求解即可；（2）過E作，得，又由是的3系補周角得到，則，求得即可【詳解】（1）解：設的4系補周角的度數(shù)為，根據(jù)新定義得，，解得，，答：的4系補周角的度數(shù)為，（2）解：過E作，如圖，∴，

∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵是的3系補周角，∴，∴，∴；【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，一元一次方程的應用，理解題意是解題的關鍵．20．（2022下·北京·七年級北師大實驗中學?？计谀╅喿x下面材料：彤彤遇到這樣一個問題：已知：如圖，，E為，之間一點，連接，，得到，求證：．

彤彤是這樣做的：過點E作，則有．∵，∴．∴∴．即．請你參考彤彤思考問題的方法，解決問題：已知：直線，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點E．

(1)如圖1，當點B在點A的左側(cè)時，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，當點B在點A的右側(cè)時，設，，直接寫出的度數(shù)（用含有x，y的式子表示）．【答案】(1)；(2)【分析】（1）過點E作，當點B在點A的左側(cè)時，根據(jù)，，參照彤彤思考問題的方法即可求的度數(shù)；（2）過點E作，當點B在點A的右側(cè)時，，參照彤彤思考問題的方法即可求的度數(shù)．【詳解】（1）如圖1，過點作，

，

平分，平分，，，，；（2）過點E作，如圖2，

則，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵平分，平分，，∴，，∴．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．21．（2023下·浙江·七年級專題練習）（1）如圖①，AB//CD，則∠2＋∠4與∠1＋∠3＋∠5有何關系？請說明理由；（2）如圖②，AB//CD，試問∠2＋∠4＋∠6與∠1＋∠3＋∠5＋∠7還有類似的數(shù)量關系嗎？若有，請直接寫出，并將它們推廣到一般情況，用一句話寫出你的結論．

【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由見解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情況：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等．【分析】（1）首先分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行線的性質(zhì)，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（2）首先分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行線的性質(zhì)，即可證得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．【詳解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．理由：分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．理由：分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．結論：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等．

【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．22．（2023下·浙江·七年級專題練習）如圖1