信號與系統(tǒng)課件 第10講學(xué)習(xí)資料

信號與系統(tǒng)第10

講教材位置:第4章連續(xù)時間傅里葉變換

§4.3內(nèi)容概要:連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講2開講前言－前講回顧非周期信號的傅里葉變換周期信號周期趨于無窮，得非周期信號傅里葉變換三個有用的公式傅里葉變換的收斂能量有限條件；狄里赫利條件常用信號的傅里葉變換指數(shù)、沖激、時域方波脈沖、頻域方波脈沖、單位階躍周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換由其傅里葉級數(shù)的系數(shù)可得2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講3開講前言－本講導(dǎo)入傅里葉變換的性質(zhì)可以簡化計算可以幫助進一步理解傅里葉變換的實質(zhì)根據(jù)周期信號傅里葉系數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系，可以將變換的性質(zhì)用于級數(shù)一些簡化的表示方法x(t)的傅里葉變換X(jω)可以記為：2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講4§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)1.線性2.時移性質(zhì)舉例：將信號分解為兩個單脈沖之和利用時移性質(zhì)信號的時移，其傅里葉變換的模不變能量不變2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講52025/4/305§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)f1(t)t0A

f2(t)t0A

2

20

()

2

4

6

相位譜8

2

例：求矩形脈沖的頻譜函數(shù)。解：門函數(shù)的頻譜函數(shù)為)2()(wttwSaAjF2=由時延性可得顯然|F1(j)|=|F2(j)|

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講6§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)3.共軛及共軛對稱性如果x(t)為實函數(shù)表示為直角坐標(biāo)得：實部是頻率的偶函數(shù)虛部是頻率的奇函數(shù)表示為極坐標(biāo)

得到：模是頻率的偶函數(shù)，相位是頻率的奇函數(shù)實函數(shù)的共軛性質(zhì)，使得計算中只需有正頻率的值即可2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講7§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)3.共軛及共軛對稱性（續(xù)）如果x(t)為實偶函數(shù)，X(jω)也是實偶函數(shù)如果x(t)為實奇函數(shù)，X(jω)是純虛奇函數(shù)如何證明其為實函數(shù)？如果實函數(shù)用其奇偶函數(shù)之和來表示2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講8§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)3.共軛及共軛對稱性（練習(xí)）2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講9§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)4.微分與積分時域微分：時域積分沖激函數(shù)反映了積分所產(chǎn)生的直流分量（平均值）2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講102025/4/30§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)課堂練習(xí)已知沖擊函數(shù)的傅立葉變換，利用積分性質(zhì)求階躍函數(shù)的傅立葉變換？已知階躍函數(shù)的傅立葉變換，利用微分性質(zhì)求沖擊函數(shù)的傅立葉變換？2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講112025/4/3011§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)利用微分、積分性質(zhì)，求圖示波形的傅立葉變換【解答】實函數(shù)奇函數(shù)純虛函數(shù)奇函數(shù)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講12§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)利用積分性質(zhì)的注意事項函數(shù)求導(dǎo)后丟失的直流分量2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講132025/4/3013§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)5.時間與頻率的尺度變換時域中函數(shù)尺度變化x(t)=sint在0t2π間有一個完整的正弦波。x(t)沿t軸壓縮三倍，新函數(shù)應(yīng)記為x(3t)=sin3t.x(t)沿t軸擴展兩倍，新函數(shù)應(yīng)記為x(t/2)=sin(t/2).0x(t)=sint.1tπ2π2πt01πx(3t)=sin3t.012πt結(jié)論：代表信號的函數(shù)x(t)沿時間軸壓縮或擴展而成的新函數(shù)，當(dāng)a是大于1的正實數(shù)時，表示信號壓縮了a倍,當(dāng)a是小于1的正實數(shù)時，表示信號擴展了1/a倍2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講142025/4/3014§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)傅里葉變換的尺度變化關(guān)系表達式證明：令τ

=at

若a>0若a<0綜合兩種情況，便可求證結(jié)論信號在時域中壓縮（擴展）a倍，它在頻域中要擴展（壓縮）a倍。對于a=-1的情況，時域中沿縱軸反褶等效頻域中沿縱軸反褶。2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講152025/4/3015§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)尺度變化圖解x(t/2)t01-

x(t)t01

2

22

2

0

2

2X(2j)(a)a=0.5(b)a=1x(2t)t01

4

4

4

0

2

X(j)2

4

(c)a=24

0

1/2X(j/2)4

22025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講162025/4/3016§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)等效脈寬和等效頻寬對任意形狀的x（t）和X(j

)，有傅里葉變換若令、Bs分別為x（t）和X(jω)等效寬度，根據(jù)等效脈沖寬度和等效頻帶寬度的定義，可以推導(dǎo)等效脈沖寬度和等效頻帶寬度之積為常數(shù)0x（0）x（t）t

0X（0）X（jω）

ωBs2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講172025/4/3017§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)6.對偶性證明上式右邊，將變量

用一個虛設(shè)變量τ代替，可得：相應(yīng)用ω替代t有將變量τ

用t代替，則得2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講182025/4/3018§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)如果x(t)

是t的偶函數(shù),其頻譜函數(shù)只有實部R（

），且為偶函數(shù)，此時

2x(-)=2x()=F

[X(jt)]=F

[R(t)]由此可知:偶函數(shù)x(t)

有頻譜函數(shù)R(

，則與R(

形式相同的時間函數(shù)R(t的頻譜函數(shù)為2x()。x(t)=(t)（1）t0(a)x()=2

()（2

）

0(c)R()=11t0(b)正變換R(t)=11

t0(d)反變換偶函數(shù)時域和頻域的對稱性2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講192025/4/3019§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)x(t)t01

2

2(a)

2

0t2

R(t)4

(c)

4

0

4

2

R()

2(b)02

2

2

x()(d)解：f(t)=1|t|<0|t|>

2

2其傅里葉變換2wtt)(SaX(j)=則根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，它的傅里葉變換為F

[X(jt)]=2x()=20||<||>2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講202025/4/3020§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)課堂練習(xí)利用對偶性質(zhì)求函數(shù)的傅立葉變換【解答】某信號x(t)有傅立葉變換X(t)的函數(shù)形式根據(jù)性質(zhì)有：2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講212025/4/3021§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)對偶性導(dǎo)出的其他性質(zhì)頻域微分頻域積分頻移性質(zhì)時域信號與復(fù)指數(shù)信號相乘的效果相當(dāng)于頻域里面的頻譜搬移2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講222025/4/3022§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)即x(t)cos

ct[X(j+jc)+X(j-jc)]/2同理：

F[x(t)sinct]=[X(jjc

)-X(j-jc

)]/2j2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講232025/4/3023§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)求矩形調(diào)幅信號G(t)?cos

ct的頻譜函數(shù).解:門函數(shù)的頻譜為G(t)t0A

2

2A

2

4

G(j

)0

6

2

4

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講242025/4/3024§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)矩形調(diào)幅信號的頻譜圖Atf(t)=G(t)?cos

ct

2

2A

2-

c2

c+2

c-?[G(j+j

c)+G(j-j

c)]0

討論：調(diào)制有什么意義？怎樣解調(diào)制？節(jié)省頻帶資源的方法？2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講25§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)7.帕薩瓦爾定理證明：2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講262025/4/3026§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)能量頻譜函數(shù)能量采用能量密度頻譜函數(shù)表示能量頻譜定義：某角頻率處的單位頻帶內(nèi)的信號能量。單位：焦耳/弧度/秒根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)，具有同樣振幅頻譜而相位頻譜不同的能量信號有相同的能量頻譜。x(t)t0A

2

2A4

0

4

2

X(j)

2

2

4

6

0G(

)A2

2

2

-x(t)t0A

2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講272025/4/3027§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)信號的脈沖寬度與頻帶寬度基于能量的定義有效脈寬的定義：有效脈寬

0為時域中絕大部分能量集中的那段時間，表示為式中是時間間隔0

內(nèi)的能量占總能量的百分?jǐn)?shù)一般選=90%。有效帶寬的定義:有效頻帶寬度Bs為在頻域中絕大部分能量集中的那一頻段,公式中

一般亦取90%基于最大值的定義：等效脈寬：脈沖從最大幅值下降到其1/K的時間間隔的兩倍；等效帶寬：從頻譜密度在零頻時的最大幅值F(0)下降到其1/K時所對應(yīng)的頻率.后者的定義有局限性2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講282025/4/3028§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)x(t)t01

2

2

4

0

4

2

X(j)

2Bs01x（t）t

01k..高斯脈沖0.BsX(j)1k

F(0)等效脈寬τ0：等效帶寬Bs：等效脈寬τ0：τ等效帶寬Bs：2π/τ2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講292025/4/3029§4.3連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)舉例：給定了頻域波形可以利用帕斯瓦爾定理在頻域計算E利用微分性質(zhì)計算D2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講30課堂練習(xí)1210-13-32025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講31本講小結(jié)連續(xù)時間傅里葉變換性質(zhì)線性時移性質(zhì)頻移性質(zhì)共軛及共軛對稱性質(zhì)時域微分積分性質(zhì)頻域微分積分性質(zhì)對偶性質(zhì)時域與頻域的尺度變換帕斯瓦爾定理信號與系統(tǒng)第10次課外作業(yè)教材習(xí)題:4.23、4.29、4.32(b)(c)2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講33信號系統(tǒng)試驗第一部分：matlab入門(4學(xué)時)目標(biāo)通過學(xué)習(xí)matlab的基本數(shù)據(jù)表達和基本運算表達，熟悉matlab關(guān)于基本數(shù)據(jù)類型、矩陣數(shù)據(jù)類型的表示和計算操作；通過學(xué)習(xí)matlab的基本輸入輸出表達，熟悉matlab關(guān)于數(shù)據(jù)輸入和輸出的操作；具體要求構(gòu)思一個可以通過函數(shù)作圖繪制的圖畫場景；結(jié)合matlab的函數(shù)運算和函數(shù)繪制輸出功能，完成所構(gòu)思圖畫的生成。2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講34信號系統(tǒng)試驗第二部分：數(shù)碼音樂的生成(8學(xué)時)目標(biāo)通過運用matlab生成音樂信號，熟悉信號的數(shù)學(xué)表達、信號的采樣與數(shù)字化；通過對數(shù)字音樂進行頻域的諧波添加，熟悉信號在時域和頻域的表達；通過對數(shù)字音樂在時域的包絡(luò)調(diào)制，熟悉信號的時域處理。具體要求分析音階的頻率構(gòu)成，選擇一段熟悉的音樂，根據(jù)其音調(diào)和時長生成數(shù)字音樂；分析鋼琴、小提琴和薩克斯的音色差異，了解頻域的諧波構(gòu)成對形成不同音色的作用，對生成的數(shù)字音樂進行諧波添加，至少生成兩種音色的音樂風(fēng)格；分析鋼琴、小提琴和薩克斯的音色差異，了解時域的包絡(luò)調(diào)制對形成不同音色的作用，對生成的數(shù)字音樂進行包絡(luò)調(diào)制，至少生成兩種音色的音樂風(fēng)格；2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講35信號系統(tǒng)試驗第三部分：音樂處理（4學(xué)時）目標(biāo)通過設(shè)計頻域濾波器，對生成的數(shù)字音樂進行頻域濾波，達到要求的音響效果；通過設(shè)計時域濾波器，對生成的數(shù)字音樂進行時域濾波，達到要求的音響效果；通過DCT變換，在保證一定的音響效果的前提下，實現(xiàn)數(shù)字音樂的數(shù)據(jù)壓縮。具體要求分析古典、流行、爵士等音樂風(fēng)格的頻率特性，設(shè)計頻域選擇性濾波器，對生成的數(shù)字音樂進行濾波處理，至少達到兩種音樂風(fēng)格的效果；分別針對高通和低通特性，設(shè)計時域濾波器，對生成的數(shù)字音樂進行時域處理，達到抑制低頻和高頻的效果；了解離散余弦變換的原理，對生成的數(shù)字音樂進行DCT正反變換。設(shè)計對數(shù)字音樂進行壓縮/解壓縮的編碼器/解碼器，要求在保證指定的頻率響應(yīng)基礎(chǔ)上實現(xiàn)最大的壓縮比。2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講36信號系統(tǒng)試驗選做部分：音樂合成目標(biāo)和要求選擇一首熟悉的歌曲伴奏音樂，或者自己生成該伴奏音樂；改變其音調(diào)，但保持音樂節(jié)奏不變；改變其節(jié)奏，但保持音樂音調(diào)不變；錄制自己清唱的該歌曲，并形成數(shù)字音樂；根據(jù)自己演唱的音調(diào)和節(jié)奏，調(diào)整伴奏音樂；將自己演唱的歌曲和調(diào)整后的伴奏音樂合成。2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講37基本樂理什么是聲音噪音、語音、樂音樂音特征基波構(gòu)成規(guī)律諧波頻譜-音色包絡(luò)波形-音型電子音樂速度與節(jié)奏2025/4/30信號與系統(tǒng)－第10講38基本樂理樂音的基波構(gòu)成音名：CDEFGAB每個音名對應(yīng)固定的頻率音高：中音A的頻率為220Hz音調(diào)與唱名